高等数学A复习资料及参考解答

C. x 1是 f ( x)的可去间断点 D. x 2是 f ( x)的第一类间断点
4. 为使 f ( x)
1 cos x x2 , x 0
在 x 0 处连续 ， a =（ A ）
a,
x0
1
A.
2
B. 2
C. 1
1
5. 取 x 为积分变量，定积分
ydy =（ C ）
0
D. 0
4
x
A.
(1
) dx
B.
(1 x) y
1 ex
x
x
利用常数变易法求解，其对应的齐次方程为：
(1 x)
y
y0
x
其通解为： y c ex x
常数变易，令 y u( x) ex ，代入到原方程得： u (x) 1 x
两边积分得： u(x) x c
故原方程的通解为： y x c ex x
13.设函数 f ( x) 有连续的导数， f (0) 0 且 f (0) b ，
0
0
8
3
8
V4
1 ydy
(1 y) 2
1
3
13
6 ． 设 函 数 f (x) 在 闭 区 间 [a, b] 上 连 续 ， 在 (a, b) 内 可 导 。 证 明 ： 在 ( a, b) 内 至 少 存 在 一 点
，使得
bf (b) af (a) [ f ( ) f ( )]( b a)
证明：构造辅助函数
dx 13． 3 2 x2 =
1
14． 2x 1dx = 2
1
2
arctan( x) c
6
3
13
2
三、 计算题 :
1. 已知函数 f ( x) 2x3 6 x2 a 在闭区间 [ 2,2] 上的最大值为 3，求 f ( x) 在 [ 2,2] 上的最小值 . 解： f (x) 6x2 12x
f ( x) 12 x 12
A. y 是比 x 高阶的无穷小
B. y 是比 x 低阶的无穷小
C. y 是与 x 同阶的无穷小
D. y 是与 x 等价的无穷小
3x
8 . d (1
sin t 2 )dt =（ A
）
0
A. (1 sin9x 2 )d (3x) C． 3(3x sin 9x2 )dx
2
B. 3 sin 9x dx D. 3(1 sin3x 2 )dx
x 2 2 位于第一象限的部分上求一点 P，使曲线与该点处的切线及两坐标轴所围图形的面积最小。
C.
x 0 是 f ( x) 的振荡间断点
1
C． (ecosx ) ' ecosx
D. [ln( 5 x )] ' 1 x
11 .
d
b
arc cot xdx
（
C）
dx a
A. arc cot x
B. arc cot b arc cot a
C． 0
D.
12. 设 f ( x) 有二阶连续导数，且
1
1 x2
a
a
0
0
a
令 x t, 则 f ( x) dx f ( x)dx
a
0
a
a
所以 f ( x) dx = f (x) f ( x) dx
a
0
4. 一条曲线通过点 A(1,2) 和 B(2,0), 且任一点处的切线斜率与该点横坐标成正比例，求该曲线方程
解：由已知可得 y kx
6
积分得 y kx 2 c 2
p( x)dx
q(x)e dx
ex
c
所以通解 y e x (e x c) x
6.
已知
lim
x2
x2 x2
ax x
b 2
2,求 a与b
解：依题意得： lim ( x2 ax b) 0 x2
原式 =lim 2x a 4 a
x 2 2x 1
3
4a
解
2得
3
a2
从而 lim (x 2 2x b) 8 b 0 x2
4
解： 4 sin x 1 cos2 xdx 0
4
4 cosx 1 cos2 xdx 2 4 cosx sin xdx 1
4
0
2
1
原式
2 9.求微分方程 xy e y 1 的通解
解：分离变量得 dy
1 dx
1 ey x
积分得 y ln(1 ey ) ln x c
4
即 y ln(1 1 ) cx 1
(D
A ． y c1x2 c2 x c3
B ． x2 y2 c
C. y ln(c1 cosx) ln(c2 sin x)
D. y c1 cos2 x
1 yn
15. 设 lim n1
yn
b ， 则下列选项正确的是 ( C )
)
c2 sin 2 x
A. 当 y 1 时 b 1
B. 当 y 1 时 b 1
A. f ( x) 是与 sin(1 x) 等价的无穷小 B. f (x) 是比 x 高阶的无穷小
C. f (x) 是比 x 低阶的无穷小
D. f ( x) 是与 ln x 等价的无穷小
3. 设函数 f ( x)
x2 1
x2
3x
, 则下列选项正确的是 (
2
C
)
A. x 1是f ( x)的无穷间断点 B. x 2是f (x)的可去间断点
将点 A ， B 代入上式得
kc2 2 2k c 0
解得 k
4
3
8 c
3
所求曲线方程为 y
2 x2 8 33
5. 曲线 y x 2 2x 和 x 轴围成一平面图形，求此平面图形绕
y 轴旋转一周所围成的旋转体的体积 .
解：由旋转体的体积公式知
V
0
[1
1 y ] 2dy
0
[1
1 y ]2 dy
1
1
计算定积分得：
在 ( 2,2) 内有惟一驻点 x 0而 f (0) 0
f (0) 为 f ( x) 在 [ 2,2] 上的最大值从而可得 a 3
又 f ( 2) 37 ， f ( 2) 5
f ( x) 在 [ 2,2] 上的最小值为 -37
2. 求由参数方程
x
sin t 所确定的函数 y
y( x) 的二阶导数
d 2y
f ( x)
f (0) 0,lim
1， 则 ( B )
x 0 |x|
A. f (0) 是 f ( x) 的极大值
B. f (0) 是 f ( x) 的极小值
C. 点 (0, f (0)) 是曲线 y f ( x) 的拐点
D. f (0) 不是 f ( x) 的极值，点 (0, f (0)) 也不是曲线 y f (x) 的拐点
x1
x1
5． x 1 x 2 dx =
3
1 (1
x2) 2
c
3
0
6． ( 2 2
4 x 2 )dx =
22
sin x 10
7． lim
=0
x
x
8. 微分方程 4 y 5y 0 的通解为 y
5 x
c1 c2e 4
2
sin x4 cos 1
9. lim x0
sin f (ln x)ef (x ) ，其中 f 可微，则 dy
0
2
1x dx
02
C.
1
(1
x2 )dx
D.
0
1 x2 dx
0
6. 若二阶常系数齐次线性微分方程有特解
y1 ex , y2
该微分方程为（ C ）
A． y 2 y 0
B ． y 2y y 0
1, 则
C. y y 0
D.
y 2y 0
7. 设 y 3x 1 ，则当 x 0 时，下列选项正确的是 ( C )
1 cos x
9. 设函数 y
x 2 ，下列选项正确的是 (
A. x 0 是 f ( x) 的跳跃间断点
B.
x
B
)
0是 f ( x) 的可去间断点
D. x 0 是 f ( x) 的无穷间断点
10. 下列选项正确的是 ( D
)
A. (sin x2 )' 2xcosx
B. [ f ( x0 )] ' f ' ( x0 )
13. 设 f ( x)、 g (x) 在 x=0 的 某 邻 域 内 连 续 ， 且 当 x 0 时 f ( x) 是 较 g(x) 的 高 阶 无 穷 小 ， 则 当 x 0 时
x
x
f (t)sin tdt 是较 tg (t)dt （ D ）无穷小
0
0
A 低阶 B
等价 C 同阶非等价
D 高阶
14. 下列函数中，可作为某二阶微分方程的通解的是
法线方程为： y x
四、综合与证明题 :
1. 求抛物线 x 2 2y 与其在点
1 1, 处的法线所围成的平面图形的面积
.
2
解： y x 1 1
3
法线方程为 y x
0
2
解方程组
x2 yx
2y 3
0 2
1
9
得交点 ( 1, ) 与 (3, )
2
2
所求面积 A
33 (
x
x2 )dx
12
2
16
=
3
2. 一条曲线通过点 A(1,6) 和 B(2,-9), 且任一点处的切线斜率与该点横坐标的立方成正比例，求该曲线方程
解：由已知可得 y kx3
积分得 y kx 4 c 4
将点 A ， B 代入上式得
k c6
4 4k c 9 解得 k 4 c7
所求曲线方程为 y
x4 7
3. 设 f ( x) 在 [ a, a] 上连续，证明：
a
a
f (x)dx = f ( x)
a
0
f ( x) dx
a
0
a
证： f (x)dx = f ( x) dx f ( x)dx
C. 当 y 1 时 b 1
D. 当 y 1 时 b 0
二、 填空题 :
1
1． lim x sin = 1
x
x
d 3x
2．
costdt =
dx 1
3 cos 3x
3. 微分方程 y 4 y 0 的通解为 y
c1 cos2x c2 sin 2x
x2 4. 已知 lim
sin( x 1)
a
1, 则 a = -1
y 3 cost
dx 2
解： dx cost dt
dy 3sin t dt
dy 3tan t
dx
d2 y dtx 2
3sec3 t
3. 已知 e x 是 f ( x) 的一个原函数，求
x 2 f (ln x)dx
解：由已知， f ( x) e x
所以 f (ln x)
1
x
从而 x2 f (ln x)dx
f ( x) a sin x x 0
F (x)
x
，
A
x0
求 A 的值 , 使 F ( x) 在 x 0 处连续 .
解： lim F ( x)
f (x) lim
a sin x
x0
x0
x
由已知条件以及洛必达法则知
f ( x) a sin x
lim
lim[ f (0) a cos x] b a
x0
x
x0
要使 F ( x) 在 x 0处连续，则 lim F ( x) F (0) A x0
b8
7. 求由参数方程
x y
a cos3 t
所确定的函数
a sin 3 t
y
y( x) 的二阶导数
d2y dx 2
解： dx dt
3acos2 t sin t
dy 3a sin 2 t cost dt
dy tan t
dx
d2y dtx 2
1 sec4 t csct 3a
8. 计算定积分 4 (sin x cos x) 1 cos2 xdx
x2 c 2
4. 计算定积分 2 (1 x) 1 sin 2 x dx
2
2
解：
2x1
sin 2
x dx
0
2
2
2
1
sin 2
x dx
2
2
x cos
dx
2
2
2
0
2
2
3
2
原式
2 5.求微分方程 xy (1 x) y
e2x 的通解 .
解：这是一阶线性微分方程
1x
e2 x
p(x)
, q( x)
x
x
p( x)dx ln x x c
F ( x) xf (x) 由已知可得 F ( x) 在闭区间 [ a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，故由拉格朗日定理知：
即 故
7. 在曲线 y
F (b) F ( a) F( )
ba
bf (b) af (a) f( )
ba bf (b) af ( a) [ f ( )
f( ) f ( )]( b a)
5
所以 A a b
14. 设函数 y y( x) 由方程 ex y cos(xy) 0 确定，求曲线 y y( x) 在点 (0,0) 处的切线方程和法线方程。
解：由隐函数的求导法则知： dy dx
y sin( xy) ex y ex y x sin( xy)
故 k dy
1
dx (0,0)
所以切线方程为： y x
10. 已知 f ( x)
ax 2 2 x2 1
3bx
5 , 试确定 a 与 b 的值，使得当
x
解： f ( x)
ax2
2 3bx3 3bx 5x2 5 x2 1
2
3b
5
a x2 3bx x 5 x2
1 1 x2
由于 lim f ( x) 0 x
所以必有 b 0
而 lim f ( x) a 5 x
故知 a 5
11. 微分方程 y 2y 2 y 0 的通解为 y
e f ( x)[ 1 f (ln x) x
ex (c1 cosx c2 sin x)
f (ln x) f ( x)]dx
12. 已知 f (x) 的一个原函数为 ln x ，则 xf ( x)dx ____________ ln x 1 c, or , ln x c
高等数学 A 复习资料
一、 单项选择题：
1.若 f ( x) 在点 x 0 处连续，并且 f (0) 0 ,则 ( D )
A. f 0 0
B. f (0) 0
f ( x)
C. lim
0
x0 x
2. 设 f ( x) x 1，则当 x
D . lim xf x 0 x0
1 时，下列选项正确的是 ( D )
11. 计算定积分
1 4sin 3 x x2 2 tan x
1
1 x2
dx
时， f ( x) 是无穷小量。
解：原式
1 4sin 3 x 2 tan x