高中数学知识点精讲精析 全称量词与存在量词0

1.3 全称量词与存在量词
1．全称量词
定义:在语句中含有短语“所有”、“每一个”、“任何一个”、“任意一个”“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词。

含有全称量词的命题叫作全称命题。

全称量词的否定是存在量词。

注意:在某些全称命题中，有时全称量词可以省略。

例如棱柱是多面体，它指的是“所有棱柱都是多面体”。

（1）“对所有的”、“对任意一个”等词在逻辑中被称为全称量词，记作“∀”，含有全称量词的命题叫做全称命题。

对M中任意的x，有p(x)成立，记作"∀"x∈M，p(x)。

（2）“存在一个”、“至少有一个”等词在逻辑中被称为存在量词，记作“∃”，含有存在量词的命题叫做特称命题。

M中至少存在一个x，使p(x)成立，记作"∃"x∈M，p(x)。

否定：
（1）对于含有一个量词的全称命题p："∀"x∈M，p(x)的否定┐p是："∃"x∈M，┐p(x)。

（2）对于含有一个量词的特称命题p："∃"x∈M，p(x)的否定┐p是："∀"x∈M，┐p(x)。

全称命题：其公式为“所有S是P”。

全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。

”
2．存在量词
定义:短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词。

含有存在量词的命题叫作特称命题。

特称命题 :其公式为“有的S是P”。

特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。

含有存在性量词的命题也称存在性命题。

例如：
⑴有一个素数不是奇数；
⑵有的平行四边形是菱形。

常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等。

特称命题“存在M 中的一个x ，使p （x ）成立”。

简记为： ，
读作：存在一个x 属于M ，使p （x ）成立。

3．含有量词的命题的否定
一般地，“)(,x p M x ∈∀”的否定为“)( ,x p M x ⌝∈∃”
“)(,x p M x ∈∃” 的否定为“)( ,x p M x ⌝∈∀”
4．理解对命题中关键词的否定：
1．下列是全称命题的是 （ ）
A ．每个人都应该孝敬父母！
B ．A ⊆φ (A 是非空集合)
C ．有的实数是循环小数
D ．正方形的每个角都是直角
【解析】D
2.“任意正数都能用x 轴上的点表示”的否定为 （ ）
A ．有一个正数不能用x 轴上的点表示
B ．任意负数都能用x 轴上的点表示
C ．任意非负数都能用x 轴上的点表示
D ．存在一个正数不能用x 轴上的点表示
【解析】D
3. 用不同的表述写出全称命题“指数函数都是单调函数”，错误的是： （ ）
A ．每一个指数函数都是单调函数
B ．凡是指数函数都是单调函数
C ．任选一个指数函数都是单调函数
D ．至少有一个指数函数是单调函数
【解析】D
4.命题p ：存在实数m ，使方程x 2
＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（ ）
A. 存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根
B. 不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根
C. 对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根
D. 至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根
【解析】B 注：非p ：∀m∈R，x 2 + mx +1 =0无实根。

它与B 等价
5. 指出下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假：
（1） 所有大于90º的角都是钝角.
（2） Z x ∈∃，使x 2的个位数字等于3. （3） 任何一个能被3整除的数都是奇数.
（4） 每一个四边形的四个顶点共圆.
（5） 有一个素数含有三个正因数。

【解析】全部是假的
6． 同住一间寝室的四名女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头，
另一人在听音乐，⑴ A 不在修指甲，也不在看书
⑵ B 不听音乐，也不在修指甲，
⑶ 如果A 不听音乐，那么C 不在修指甲，
⑷ D 既不在看书，也不在修指甲，
⑸ C 不在看书，也不在听音乐。

问她们各在做什么？ A 在_______ __ B 在_____ ____
C 在____________
D 在________ __
【解析】 听音乐，看书，修指甲，梳头
7. 某个岛上有100位居民，你去调查岛上的情况，每个人都可能对你说真话或说假话，
已知：(1)100人中存在说真话的人；
（2）任何两人中，至少有一人说假话；
请判断听到真话的可能性有多少？
【解析】 只有1人说真话。