河北省唐山市高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

唐山市2016—2017学年高三年级第三次模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合2
{|02},{|1}A x x x x =<<=<，则A
B =
A ．(0,1)
B ．(1,2)-
C ．(1,1)-
D ．(,1][2,)-∞-+∞ 2、已知i 为虚数单位，(1)1z i i -=+，则复数z 的共轭复数为 A ．i - B ．i C ．2i D ．2i -
3、某校有高级教师90人，一级教师120，二级教师75人，现按职称分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为 A ．10 B ．12 C ．16 D ．18
4、已知变量,x y 满足约束条件1021010x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪++≥⎩
，目标函数2z x y =+
的最小值为
A ．4
B ．-1
C ．-2
D ．-3
5、执行右侧程序框图，若输出2y =，则输入的x 的为 A ．-1
或 B ．1± C ．-2 D ．-1
6、已知平面α⊥平面β，则“直线m ⊥平面α”是“直线//m 平面β”的
A ．充分不必要条件
B ．必要充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 7、等差数列{}n a 的前11项和1188S =，则369a a a ++= A ．18 B ．24 C ．30 D ．32 8、函数()cos()(0)6
f x wx w π
=+>的最小正周期为π，则()f x 满足
A ．在(0,
)3
π
上单调递增 B ．图象关于直线6
x π
=
对称
C ．()3
f π
=
D ．当512
x π=时有最小值1- 9、函数()2
ln f x x x =的图象大致为
10、某几何体的三视图如图所示，则其体积为 A ．4 B ．8 C ．
43 D ．8
3
11、在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为2
2
4x y +=，直线l 的方程为(2)y k x =+，若在圆O 上至少存在三点到直线l 的距离为1，则实数k 的取值范围是
A ．[0,
3 B ．[33-
C ．11[,]22-
D ．1[0,]2
12、已知函数()32
f x x ax bx =++有两个极值点12,x x ，且12x x <，若10223x x x +=，
函数()()0()g x f x f x =- ，则()g x
A ．恰有一个零点
B ．恰有两个零点
C ．恰有三个零点
D ．至多两个零点
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13、已知向量(4,),(1,2)a x b =-=，若a ⊥b ，则x =
14、已知双曲线Γ过点，且与双曲线2
214
x y -= 有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准
方程为
15、直角ABC ∆的三个顶点都在球O 的球面上，2AB AC ==，若求的表面积为12π，则球心O 到平面ABC 的距离等于
16、{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是公比为整数的等比数列，
1143841,,a b a b a b ====，则数列{}n n a b 的前n 项和等于
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,,cos a b c a b b C -=． （1）求证：sin tan C B =；
（2）若2,a C =为锐角，求c 的取值范围．
18、（本小题满分12分）
某学校用简单的随机抽样的方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：
若将余额课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”． （1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？
（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动．
①共有多少种不同的抽取方法？
②求抽取的男女两位“读书迷”且均读书时间相差不超过2小时的概率．
19、（本小题满分12分）
如图，在平行四边形ABCD 中，0
24,60,,,BC AB ABC PA AD E F ==∠=⊥分别为,BC PE 的中点，AF ⊥平面PED ．
（1）求证：PA ⊥平面ABCD ； （2）求C 到平面PED 的距离．
20、（本小题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>经过点1
)2
E ，离心率2．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）设点M 在x 轴上的射影为点N ，过点N 的直线l 与椭圆Γ相较于,A B 两点，且
30NB NA +=，求直线l 的方程．
21、（本小题满分12分）
已知函数()(),ln x
f x e
g x x a ==+．
（1）设()()h x xf x =，求()h x 的最小值；
（2）若曲线()y f x =与()y g x =仅有一个交点，证明：曲线()y f x =与()y g x =在点P 处有相同的切线，且5(2,)2
a ∈ ．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程
点P 是曲线22
1:(2)4C x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C ． （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线(0)3
π
θρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，定点(2,0)M ，求MAB ∆的
面积．
23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲 已知函数()21f x x a x =++-． （1）若1a =，解不等式()5f x ≤；
（2）当0a ≠时，()1
()g a f a
=，求满足()4g a ≤的a 的取值范围．
唐山市2016—2017学年度高三年级第三次模拟考试
文科数学参考答案
一．选择题：
A 卷：BACCD DBDAC BA
B 卷：BCCAD DBBA
C BA 二．填空题： （13）2 （14）y 22－x 2
8
＝1
（15）1
（16）(n －1)2n ＋1
三．解答题：
（17）解：
（Ⅰ）由a －b ＝b cos C 根据正弦定理得sin A －sin B ＝sin B cos C ， 即sin(B ＋C )＝sin B ＋sin B cos C ，
sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B ＋sin B cos C ， sin C cos B ＝sin B ， 得sin C ＝tan B ．
…6分 （Ⅱ）由a －b ＝b cos C ，且a ＝1，b ＝2，得cos C ＝－ 1
2
，
…8分
由余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×(
－
1
2
)
＝7， 所以c ＝7．
…12分
（18）解：
（Ⅰ）设该校900名学生中“读书迷”有x 人，则730＝x
900，解得x ＝210.
所以该校900名学生中“读书迷”约有210人. …3分 （Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为a 35，a 38，a 41，抽取的女“读书迷”为 b 34，b 36，b 38，b 40(其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，
则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：
(a 35，b 34)，(a 35，b 36)，(a 35，b 38)，(a 35，b 40)， (a 38，b 34)，(a 38，b 36)，(a 38，b 38)，(a 38，b 40)， (a 41，b 34)，(a 41，b 36)，(a 41，b 38)，(a 41，b 40)，
所以共有12种不同的抽取方法． …8分
（ⅱ）设A 表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”， 则事件A 包含
(a 35，b 34)，(a 35，b 36)，(a 38，b 36)，(a 38，b 38)，(a 38，b 40)，(a 41，b 40)，
6个基本事件，
所以所求概率P (A )＝612＝ 1
2
．
…12分
（19）解：
（Ⅰ）连接AE ，在平行四边形ABCD 中， BC ＝2AB ＝4，∠ABC ＝60°，
∴AE ＝2，ED ＝23，从而有AE 2＋ED 2＝AD 2， ∴AE ⊥ED ．
∵P A ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥ED ， 又∵P A ∩AE ＝A ，∴ED ⊥平面PAE ，AF ⊂平面P AE
…3分
从而有ED ⊥AF ．
又∵P A ＝AE ＝2，F 为PE 的中点， ∴AF ⊥PE ，又∵PE ∩ED ＝E ， ∴AF ⊥平面PED ． …6分
（Ⅱ）设点C 到平面PED 的距离为d ，
在Rt △PED 中，PE ＝22，ED ＝23，∴S △PED ＝26． 在△ECD 中，EC ＝CD ＝2，∠ECD ＝120°，∴S △ECD ＝3．
…10分
由V C －PED ＝V P －ECD 得， 1 3S △PED ·d ＝ 1
3
S △ECD ·PA ，
∴d ＝S △ECD ·PA S △PED
＝2
2．
所以点C 到平面PED 的距离为22
．
…12分
（20）解：
（Ⅰ）由已知可得3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2a ＝3
2，解得a ＝2，b ＝1，
所以椭圆Γ的方程为x 24＋y 2
＝1．
…4分
（Ⅱ）由已知N 的坐标为(3，0)，
当直线l 斜率为0时，直线l 为x 轴，易知NB →＋3NA →＝0不成立． …5分 当直线l 斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋3， 代入x 24＋y 2
＝1，整理得，(4＋m 2)y 2＋23my －1＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 y 1＋y 2＝－23m
4＋m 2
，①
y 1y 2＝－1
4＋m 2
，②
…9分
由NB →＋3NA →＝0，得y 2＝－3y 1，③ 由①②③解得m ＝±
2
2
． A F P B
E C D
所以直线l 的方程为x ＝±
2
2
y ＋3，即y ＝±2(x －3)． …12分
（21）解：
（Ⅰ）h '(x )＝(x ＋1)e x ，
当x ＜－1时，h '(x )＜0，h (x )单调递减； 当x ＞－1时，h '(x )＞0，h (x )单调递增，
故x ＝－1时，h (x )取得最小值－ 1
e
．
…4分
（Ⅱ）设t (x )＝f (x )－g (x )＝e x
－ln x －a ，则t '(x )＝e x
－
1 x ＝x e x
－1
x
（x ＞0），
由（Ⅰ）得T (x )＝x e x －1在(0，＋∞)单调递增，又T (
1
2)＜0，T (1)＞0，
所以存在x 0∈
(
1
2，1)使得T (x 0
)＝0，
…6分
所以当x ∈(0，x 0)时，t '(x )＜0，t (x )单调递减；
当x ∈(x 0，＋∞)时，t '(x )＞0，t (x )单调递增， 所以t (x )的最小值为t (x 0)＝e x 0－ln x 0－a ＝0，
…8分
由T (x 0)＝0得e x 0＝1
x 0，所以曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在P 点处有相同的切线，
又a ＝e x 0－ln x 0，所以a ＝1
x 0＋x 0，
因为x 0∈
(
1
2，1)，所以a ∈(2，
5
2
)．
…12分
（22）解：
（Ⅰ）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ．
设Q (ρ，θ)，则P (
ρ，θ－ π 2)，则有ρ＝4cos (θ－ π
2
)
＝4sin θ．
所以，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ． …5分
（Ⅱ）M 到射线θ＝ π 3的距离为d ＝2sin π
3＝3，
|AB |＝ρB －ρA ＝4(sin π 3－cos π
3
)
＝2(3－1)，
则S ＝ 1
2
|AB |×d ＝3－3． …10分
（23）解：
（Ⅰ）f (x )＝|x ＋2|＋|x －1|,
所以f (x )表示数轴上的点x 到－2和1的距离之和， 因为x ＝－3或2时f (x )＝5，
依据绝对值的几何意义可得f (x )≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}． …5分
（Ⅱ）g (a )＝| 1 a ＋2a |＋| 1
a
－1|，
当a ＜0时，g (a )＝－ 2
a
－2a ＋1≥5，等号当且仅当a ＝－1时成立，所以g (a )≤4无
解；
当0＜a ≤1时，g (a )＝ 2
a
＋2a －1，
由g(a)≤4得2a2－5a＋2≤0，解得1
2≤a≤2，又因为0＜a≤1，所以
1
2≤a≤1；
当a＞1时，g(a)＝2a＋1≤4，解得1＜a≤3 2，
综上，a的取值范围是[12，32]．…10分。