期货期权入门第三章远期和期货合约的价格
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例：考虑购买一份4个月的远期合约，标的资产是从今 天开始一年后到期的贴现债券。债券的当前价格是 930美元（因为远期合约交割时，此债券据到期日还 有8个月的时间，所以将此债券看成8个月的贴现债 券）。计算远期合约交割价格。 解：我们假定4个月期的无缝隙那年利率（连续复利） 为6%，因为贴现债券不提供收益。用公式来计算远期 价格为F=SerT=930e0.06*4/12=948.79美元这就是今天 议定的远期合约交割价格。
三、远期价格和期货价格相等吗
远期价格和期货价格相等吗
当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变的时候，两个交割日相同 的远期合约和期货合约有同样的价格。有效期仅为几个月的远期期货合 约与期货合约价格之间的理论差异在大多数情况下是小得可以忽略不计 的。但实际上有很多可以引起两者价格差异的因素是没有考虑在内，包 括税收、交易成本和保证金。由于交易所和结算所的存在，期货合约对 方违约的风险要小于远期合约对方违约的风险，而且，有些时候期货合 约的流动性要比远期合约好得多。但尽管这样，在本书的 大多数情况 下，我们还是可以假定远期和期货价格相等。
861.76e 0.11 952.39
该策略的净盈利为：40美元+930美元-952.39美元=17.61美元
16
①判断： (900 40e0.091/ 2 40e0.11 )e0.11 (900 38.24)e0.11 40 912.39 905
远期合约价格被低估，应该买进远期合约，卖出现货。 ②套利：卖空债券现货，得价款900美元，其中38.24美元做6个月的无风险投资，
期价位高时借入此股票（实际交易是买入看跌的合约）卖出，
再到股价跌到一定程度时买进，以现价还给卖方，产生的差价
就是利润。
假设一位投资者于4月份卖空了500股IBM股票，每股价格是50 美元，7月份，当股票价格为30美元时，该投资者买回了这些股 票，结清了头寸。假设5月份每股股票支付了1美元的红利。计 算该投资者的收益。 投资者4月份建立空头头寸时，共收到： 500× $ 50＝ $25，000； 5月份红利使投资者需付出：500 × $ 1＝ $ 500 7月份投资者轧平头寸时，需付出：500 × $ 30= $15，000 投资者净收益为： $25,000 － $ 500－ $ 15,000＝$9,500
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例：考虑一个股价为50美元的股票的10个月期远期合约。 我们假设对所有的到期日，无风险利率（连续复利）都是年 利率8%。同时我们假设在3个月，6个月以及9个月后都会有 每股0.75美元的红利付出。计算远期合约价格。 红利的现值 I 为： I=0.75e-0.08*3/12+0.75e-0.08*6/12+0.75e-0.08*9/12=2.162美元 远期价格为 ： F=(50-2.162)e0.08*10/12=51.14美元 如果远期价格低于51.14美元，套利者可以买卖空股票购买 远期合约；如果远期价格高于51.14美元，套利者可以卖出 远期合约购买即期股票。
假定对部分市场参与者而言，以下几条全部都是正确的：
假 设
① 无交易费用 ② 所有的交易净利润使用同一税率
③ 市场参与者能够以相同的无风险利率借入和贷出资金
④ 当套利机会出现时，市场参与者将参与套利
以上假设的意思是：市场价格就是无套利机会的价格。
因为投资者一旦发现套利机会就会进行套利，直至没
有套利机会。
第三章 远期和期货价格的价格
一、预备知识
连续复利 卖空 假设 再回购利率 符号
连续复利
假设数额A以年利率R投资了n年。如果每年复利m次，当m趋近 于无穷大时（即连续复利），其终值为：
lim A(1 R / m)mn AeRn
m
如果已知终值为A，以利率R按连续复利方式贴现n年，其现值为：
Ae Rn
再回购协议(repo or repurchase agreement)是指证券所有者同意将其
再
证券出售给另一方，之后再以稍高一些的价格将这些证券买回的协议。
回
实际上是以证券为抵押的贷款，这种贷款几乎没有风险，因为如果借钱
购
的公司不遵守协议的话，债权人只需保留证券即可。
利
率
再回购利率(repo rate)。在回购协议中，证券出售和购回的价差就是对
支付已知现金收益的投资资产的远期价格
例1：一年后交割的息票债券远期合约的价格为930美元。 债券的即期价格为900美元。预期债券在6个月后以及12 个月后各支付40美元的利息。6个月期和12个月期的无风 险年利率分别为9%和10%。 例2：一年后交割的息票债券远期合约的价格为905美元。 债券的即期价格为900美元。预期债券在6个月后以及12 个月后各支付40美元的利息。6个月期和12个月期的无风 险年利率分别为9%和10%。
支付已知红利率投资资产的远期合约
已知红利率（资产的收益率）的证券：假定在持有期内，该证券按照其价格 的某个比率q连续地支付红利。 如果将红利不断地再投资于该证券，则所持 有的证券资产的价值将按照q的比率连续增加。 假定投资者采用以下策略： 1.即期买入e-qT个其收益还可进行再投资的资产 2.卖空远期合约 持有现货的收益就是持有期货的成本（机会成本），而持有期货的总成本 （期货价格与机会成本之和）应该等于持有现货的成本。否则就会导致套利。 所以：Se-qT=Fe-rT 即 F=Se(r-q)T 若F<Se(r-q)T时，套利者可以买进远期合约，卖出股票，获得无风险收益； 若F>Se(r-q)T时，套利者可以买入股票，卖出远期合约来锁定无风险收益。
股票指数
S&P500指数（标准普尔500）：包括400种工业股。40种公用事业股、20种交通事业股和 40种金融机构股。在任一时间股票的权重为该股票的总市值（=股价*流通的股票数）。
日经225股票平均指数：基于东京股票交易所TSE家交易额最大的股票的组合。根据股价进 行加权。在芝加哥商品交易所CME交易的该指数期货合约为指数乘以5.
股票指数期货
股票指数反映了一个假象的股票自合的价值变化。每种股票在组合中 的权重等于组合投资中该股票的比例。通常定义一个很小的时间段里股 票指数价值的上升百分比等于同一时间段内组成该组合的所有股票总价 值的上升百分比。股票指数不因派发现金红利而调整。如果假象组合中 的股票保持不变，则组合中中个股的权重就不会保持不变。如果组合中 某一股票的价格比其他股票上涨快得多，该股票的权重就会自动的增大。 以股价为权重就相当于保持组合不变，还有一种做法比较流行即以总市 值（股价*在外流通股数）为权重。这样，当股票分割、分红或扩股时， 投资组合会自动调整。
远期合约估价
对所有远期合约，远期合约多头的价值有个一般结论。设合约签署初始的交割价 格为K，当前远期价格为F，则：
f=（F-K）e-rT
例：假设一个6个月的远期合约多头，标的资产为不支付红利的股票。无风险利 率（连续复利）为10%，股票价格为25美元，交割价格为24美元。
解：S=25，r=0.10，K=24 远期价格为F=25e0.1*0.5=26.28美元 远期合约价值f=（26.28-24）e-0.1*0.5=2.17美元
例1.
①判断： (900 40e0.091/ 2 40e0.11 )e0.11 (900 38.24)e0.11 40 912.39 930
远期合约价格被高估，应该卖出远期合约，买进现货。
②套利：借入900美元（其中38.24美元以9%的年利率借入6个月，另外861.76 美元以10%的年利率借入1年）购买一份债券现货。同时建立一年后交割的远 期合约的空头。债券现货的首次利息支付40美元正好用来偿还6个月期38.24 美元贷款的本利和。一年之后，收到第二次利息支付40美元，执行远期合约， 交割现货得到价款930美元，同时支付861.76美元贷款的本利和
不支付收益的投资资产的远期价格
例1：期限为3个月的股票远期合约的价格为43美元。3个月后到期的无风 险年利率为5%，股票当前价格为40美元，不付红利。 ①判断： SerT=40e0.05*3/12=40.50<43 说明远期合约价格相对于现货价格被高估，应该卖出远期合约，买进现货。 ②套利：借40美元即期购入股票现货，同时持有3个月后卖出股票的远期 合约。3个月后，交割股票得价款43美元，归还到期贷款40.50美元，因 此，套利者在3个月后净盈利 43-40.50=2.5美元
卖 空
卖空一般指做空（股票期货等的投资术语），理论上是先 借货卖出，再买进归还。预期未来行情下跌，将手中股票按目
前价格卖出，待行情跌后买进，获取差价利润。其交易行为特
点为先卖后买。实际上有点像商业中的赊货交易模式。这种模
式在价格下跌的波段中能够获利，就是先在高位借货进来卖出，
等跌了之后再买进归还。比如预计某一股票未来会跌，就在当
1
R m1 / m2 m1 m1
1
m2
例： 1.考虑一个年息为10%的利率，半年记一次息。 解：m=2，Rm=0.10
定价的连续复利的利率为：2In（1+0.1/2）=0.09758 2.假定债权人给出贷款利息为年率8%，按连续复利计息。 而实际上利息是一季度支付一次。 解：m=4，Rc=0.08 每季度计一次息的等价年利率为：4（e0.08/4—1）=0.0808 即年利率为8.08%。也就是说，对于1000美元的贷款，要求 借款人每季度必须支付20.2美元的利息。
S：远期合约标的资产的即期价格
K：远期合约中的交割价格
f：当前远期合约多头的价值
F：当前的远期价格
r：对T时刻到期的一项投资而言，当前以连续复利计算的无风
பைடு நூலகம்
险利率
二、远期价格
I. 不支付收益的投资资产的远期价格 II. 支付已知现金收益的投资资产的远期价格 III. 支付已知红利率投资资产的远期合约 IV. 远期合约估价
假设Rc是连续复利的利率，Rm是与之等价的每年计m次
复利的利率。 e
Rc
(1
Rm )m
m
两边同时取对数可得
Rc
m ln(1
Rm m
)
Rm m(e Rc / m 1)
这些公式可以将复利频率为每年计m次的利率转换为连续复 利大的利率。同理，我们可以推算出任意两种复利方式下， 等价利率的相互转换。
Rm2
861.76美元做1年期无风险投资。同时建立一份债券期货多头。此策略在6个 月和12个月后分别产生40美元和952.39美元的现金流入。前面40美元用来支 付6个月后的债券利息；后面952.39美元中40美元用来支付一年后的债券利息， 905美元用来交割到期的远期合约，所得的债券用来平仓现货空头。
该套利策略的净盈利为： 952.39 40 905 7.39美元
12
例2：期限为3个月的股票远期合约的价格为43美元。3个月后到 期的无风险年利率为5%，股票当前价格为40美元，不付红利。
①判断： SerT=40e0.05*3/12=40.50>39美元
说明远期合约价格相对于现货价格被低估，应该买进远期合约， 卖出现货。
②套利：即期卖空股票现货，将收益作3个月的投资，同时持有 3个月后买进股票的远期合约。3个月后，收回投资，本利和为 40.50美元，交割远期合约得股票并支付价款39美元，将所得股 票用于现货空头的平仓。因此，套利者-在3个月后净盈利 40.5039=1.5美元
例：一个6个月期远期合约，标的资产预期提供年率 为4％的连续红利收益率。无风险利率(连续复利)为 每年10％。股价为$25，交割价格为$27。求远期 合约的价值和远期价格。 解：S=25，K=27，r=0.10，q=0.04,T=0.5。
远期合约多头的价值f为： f=25e-0.04×0.5-27e-0.1×0.5=-1.18美元 远期价格F为: F= 25e0.06×0.5 =25.76美元
方的利息收益。以此计算的利率就是再回购利率率。再回购利率仅比短
期国库券利率稍高一点。对许多在期货市场上操作的套利者而言，其相
关的无风险利率就是再回购利率 。
最普通的回购类型：是隔夜回购(overnightrepo)，该回购协议每天都重 新商定。
符
本章中将要用到的符号如下：
号
T：远期合约到期的时刻(年)
例：考虑购买一份4个月的远期合约，标的资产是从今 天开始一年后到期的贴现债券。债券的当前价格是 930美元（因为远期合约交割时，此债券据到期日还 有8个月的时间，所以将此债券看成8个月的贴现债 券）。计算远期合约交割价格。 解：我们假定4个月期的无缝隙那年利率（连续复利） 为6%，因为贴现债券不提供收益。用公式来计算远期 价格为F=SerT=930e0.06*4/12=948.79美元这就是今天 议定的远期合约交割价格。
三、远期价格和期货价格相等吗
远期价格和期货价格相等吗
当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变的时候，两个交割日相同 的远期合约和期货合约有同样的价格。有效期仅为几个月的远期期货合 约与期货合约价格之间的理论差异在大多数情况下是小得可以忽略不计 的。但实际上有很多可以引起两者价格差异的因素是没有考虑在内，包 括税收、交易成本和保证金。由于交易所和结算所的存在，期货合约对 方违约的风险要小于远期合约对方违约的风险，而且，有些时候期货合 约的流动性要比远期合约好得多。但尽管这样，在本书的 大多数情况 下，我们还是可以假定远期和期货价格相等。
861.76e 0.11 952.39
该策略的净盈利为：40美元+930美元-952.39美元=17.61美元
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①判断： (900 40e0.091/ 2 40e0.11 )e0.11 (900 38.24)e0.11 40 912.39 905
远期合约价格被低估，应该买进远期合约，卖出现货。 ②套利：卖空债券现货，得价款900美元，其中38.24美元做6个月的无风险投资，
期价位高时借入此股票（实际交易是买入看跌的合约）卖出，
再到股价跌到一定程度时买进，以现价还给卖方，产生的差价
就是利润。
假设一位投资者于4月份卖空了500股IBM股票，每股价格是50 美元，7月份，当股票价格为30美元时，该投资者买回了这些股 票，结清了头寸。假设5月份每股股票支付了1美元的红利。计 算该投资者的收益。 投资者4月份建立空头头寸时，共收到： 500× $ 50＝ $25，000； 5月份红利使投资者需付出：500 × $ 1＝ $ 500 7月份投资者轧平头寸时，需付出：500 × $ 30= $15，000 投资者净收益为： $25,000 － $ 500－ $ 15,000＝$9,500
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例：考虑一个股价为50美元的股票的10个月期远期合约。 我们假设对所有的到期日，无风险利率（连续复利）都是年 利率8%。同时我们假设在3个月，6个月以及9个月后都会有 每股0.75美元的红利付出。计算远期合约价格。 红利的现值 I 为： I=0.75e-0.08*3/12+0.75e-0.08*6/12+0.75e-0.08*9/12=2.162美元 远期价格为 ： F=(50-2.162)e0.08*10/12=51.14美元 如果远期价格低于51.14美元，套利者可以买卖空股票购买 远期合约；如果远期价格高于51.14美元，套利者可以卖出 远期合约购买即期股票。
假定对部分市场参与者而言，以下几条全部都是正确的：
假 设
① 无交易费用 ② 所有的交易净利润使用同一税率
③ 市场参与者能够以相同的无风险利率借入和贷出资金
④ 当套利机会出现时，市场参与者将参与套利
以上假设的意思是：市场价格就是无套利机会的价格。
因为投资者一旦发现套利机会就会进行套利，直至没
有套利机会。
第三章 远期和期货价格的价格
一、预备知识
连续复利 卖空 假设 再回购利率 符号
连续复利
假设数额A以年利率R投资了n年。如果每年复利m次，当m趋近 于无穷大时（即连续复利），其终值为：
lim A(1 R / m)mn AeRn
m
如果已知终值为A，以利率R按连续复利方式贴现n年，其现值为：
Ae Rn
再回购协议(repo or repurchase agreement)是指证券所有者同意将其
再
证券出售给另一方，之后再以稍高一些的价格将这些证券买回的协议。
回
实际上是以证券为抵押的贷款，这种贷款几乎没有风险，因为如果借钱
购
的公司不遵守协议的话，债权人只需保留证券即可。
利
率
再回购利率(repo rate)。在回购协议中，证券出售和购回的价差就是对
支付已知现金收益的投资资产的远期价格
例1：一年后交割的息票债券远期合约的价格为930美元。 债券的即期价格为900美元。预期债券在6个月后以及12 个月后各支付40美元的利息。6个月期和12个月期的无风 险年利率分别为9%和10%。 例2：一年后交割的息票债券远期合约的价格为905美元。 债券的即期价格为900美元。预期债券在6个月后以及12 个月后各支付40美元的利息。6个月期和12个月期的无风 险年利率分别为9%和10%。
支付已知红利率投资资产的远期合约
已知红利率（资产的收益率）的证券：假定在持有期内，该证券按照其价格 的某个比率q连续地支付红利。 如果将红利不断地再投资于该证券，则所持 有的证券资产的价值将按照q的比率连续增加。 假定投资者采用以下策略： 1.即期买入e-qT个其收益还可进行再投资的资产 2.卖空远期合约 持有现货的收益就是持有期货的成本（机会成本），而持有期货的总成本 （期货价格与机会成本之和）应该等于持有现货的成本。否则就会导致套利。 所以：Se-qT=Fe-rT 即 F=Se(r-q)T 若F<Se(r-q)T时，套利者可以买进远期合约，卖出股票，获得无风险收益； 若F>Se(r-q)T时，套利者可以买入股票，卖出远期合约来锁定无风险收益。
股票指数
S&P500指数（标准普尔500）：包括400种工业股。40种公用事业股、20种交通事业股和 40种金融机构股。在任一时间股票的权重为该股票的总市值（=股价*流通的股票数）。
日经225股票平均指数：基于东京股票交易所TSE家交易额最大的股票的组合。根据股价进 行加权。在芝加哥商品交易所CME交易的该指数期货合约为指数乘以5.
股票指数期货
股票指数反映了一个假象的股票自合的价值变化。每种股票在组合中 的权重等于组合投资中该股票的比例。通常定义一个很小的时间段里股 票指数价值的上升百分比等于同一时间段内组成该组合的所有股票总价 值的上升百分比。股票指数不因派发现金红利而调整。如果假象组合中 的股票保持不变，则组合中中个股的权重就不会保持不变。如果组合中 某一股票的价格比其他股票上涨快得多，该股票的权重就会自动的增大。 以股价为权重就相当于保持组合不变，还有一种做法比较流行即以总市 值（股价*在外流通股数）为权重。这样，当股票分割、分红或扩股时， 投资组合会自动调整。
远期合约估价
对所有远期合约，远期合约多头的价值有个一般结论。设合约签署初始的交割价 格为K，当前远期价格为F，则：
f=（F-K）e-rT
例：假设一个6个月的远期合约多头，标的资产为不支付红利的股票。无风险利 率（连续复利）为10%，股票价格为25美元，交割价格为24美元。
解：S=25，r=0.10，K=24 远期价格为F=25e0.1*0.5=26.28美元 远期合约价值f=（26.28-24）e-0.1*0.5=2.17美元
例1.
①判断： (900 40e0.091/ 2 40e0.11 )e0.11 (900 38.24)e0.11 40 912.39 930
远期合约价格被高估，应该卖出远期合约，买进现货。
②套利：借入900美元（其中38.24美元以9%的年利率借入6个月，另外861.76 美元以10%的年利率借入1年）购买一份债券现货。同时建立一年后交割的远 期合约的空头。债券现货的首次利息支付40美元正好用来偿还6个月期38.24 美元贷款的本利和。一年之后，收到第二次利息支付40美元，执行远期合约， 交割现货得到价款930美元，同时支付861.76美元贷款的本利和
不支付收益的投资资产的远期价格
例1：期限为3个月的股票远期合约的价格为43美元。3个月后到期的无风 险年利率为5%，股票当前价格为40美元，不付红利。 ①判断： SerT=40e0.05*3/12=40.50<43 说明远期合约价格相对于现货价格被高估，应该卖出远期合约，买进现货。 ②套利：借40美元即期购入股票现货，同时持有3个月后卖出股票的远期 合约。3个月后，交割股票得价款43美元，归还到期贷款40.50美元，因 此，套利者在3个月后净盈利 43-40.50=2.5美元
卖 空
卖空一般指做空（股票期货等的投资术语），理论上是先 借货卖出，再买进归还。预期未来行情下跌，将手中股票按目
前价格卖出，待行情跌后买进，获取差价利润。其交易行为特
点为先卖后买。实际上有点像商业中的赊货交易模式。这种模
式在价格下跌的波段中能够获利，就是先在高位借货进来卖出，
等跌了之后再买进归还。比如预计某一股票未来会跌，就在当
1
R m1 / m2 m1 m1
1
m2
例： 1.考虑一个年息为10%的利率，半年记一次息。 解：m=2，Rm=0.10
定价的连续复利的利率为：2In（1+0.1/2）=0.09758 2.假定债权人给出贷款利息为年率8%，按连续复利计息。 而实际上利息是一季度支付一次。 解：m=4，Rc=0.08 每季度计一次息的等价年利率为：4（e0.08/4—1）=0.0808 即年利率为8.08%。也就是说，对于1000美元的贷款，要求 借款人每季度必须支付20.2美元的利息。
S：远期合约标的资产的即期价格
K：远期合约中的交割价格
f：当前远期合约多头的价值
F：当前的远期价格
r：对T时刻到期的一项投资而言，当前以连续复利计算的无风
பைடு நூலகம்
险利率
二、远期价格
I. 不支付收益的投资资产的远期价格 II. 支付已知现金收益的投资资产的远期价格 III. 支付已知红利率投资资产的远期合约 IV. 远期合约估价
假设Rc是连续复利的利率，Rm是与之等价的每年计m次
复利的利率。 e
Rc
(1
Rm )m
m
两边同时取对数可得
Rc
m ln(1
Rm m
)
Rm m(e Rc / m 1)
这些公式可以将复利频率为每年计m次的利率转换为连续复 利大的利率。同理，我们可以推算出任意两种复利方式下， 等价利率的相互转换。
Rm2
861.76美元做1年期无风险投资。同时建立一份债券期货多头。此策略在6个 月和12个月后分别产生40美元和952.39美元的现金流入。前面40美元用来支 付6个月后的债券利息；后面952.39美元中40美元用来支付一年后的债券利息， 905美元用来交割到期的远期合约，所得的债券用来平仓现货空头。
该套利策略的净盈利为： 952.39 40 905 7.39美元
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例2：期限为3个月的股票远期合约的价格为43美元。3个月后到 期的无风险年利率为5%，股票当前价格为40美元，不付红利。
①判断： SerT=40e0.05*3/12=40.50>39美元
说明远期合约价格相对于现货价格被低估，应该买进远期合约， 卖出现货。
②套利：即期卖空股票现货，将收益作3个月的投资，同时持有 3个月后买进股票的远期合约。3个月后，收回投资，本利和为 40.50美元，交割远期合约得股票并支付价款39美元，将所得股 票用于现货空头的平仓。因此，套利者-在3个月后净盈利 40.5039=1.5美元
例：一个6个月期远期合约，标的资产预期提供年率 为4％的连续红利收益率。无风险利率(连续复利)为 每年10％。股价为$25，交割价格为$27。求远期 合约的价值和远期价格。 解：S=25，K=27，r=0.10，q=0.04,T=0.5。
远期合约多头的价值f为： f=25e-0.04×0.5-27e-0.1×0.5=-1.18美元 远期价格F为: F= 25e0.06×0.5 =25.76美元
方的利息收益。以此计算的利率就是再回购利率率。再回购利率仅比短
期国库券利率稍高一点。对许多在期货市场上操作的套利者而言，其相
关的无风险利率就是再回购利率 。
最普通的回购类型：是隔夜回购(overnightrepo)，该回购协议每天都重 新商定。
符
本章中将要用到的符号如下：
号
T：远期合约到期的时刻(年)