八年级初二数学第二学期勾股定理单元 期末复习专项训练学能测试试卷

八年级初二数学第二学期勾股定理单元 期末复习专项训练学能测试试卷
一、选择题
1．如图，点A 的坐标是(2)2，
，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ）
A ．（2，0）
B ．（4，0）
C ．（－22，0）
D ．（3，0）
2．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论：
①BD =CE ， ②BD ⊥CE ， ③∠ACE +∠DBC=30°， ④(
)2
22
2BE AD AB
=+．
其中，正确的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知：△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BQ ＝AC ，点F 在CE 的延长线上，CF ＝AB ，下列结论错误的是（ ）．
A ．AF ⊥AQ
B ．AF=AQ
C ．AF=AD
D ．F BAQ ∠=∠
4．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )
A．2B．2 C．3D．4
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=5,AC=53，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短长为（）
A．5B．53C．53
2D．
53
4
6．已知等边三角形的边长为a，则它边上的高、面积分别是（）
A．
2
,
24
a a
B．
2
3
,
24
a a
C．
2
33
,
24
a a
D．
2
33
,
44
a a
7．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为（）
A．（
2
2
）2013B．（
2
2
）2014C．（
1
2
）2013D．（
1
2
）2014
8．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是()
A．13 cm B．4cm C．4cm D．52 cm
9．如图，△ABC中，AB=10，BC=12，AC=13△ABC的面积是（）．
A ．36
B ．1013
C ．60
D ．1213 10．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A ．内角和为360°
B ．对角线互相平分
C ．对角线相等
D ．对角线互相垂直
二、填空题
11．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A 处出发沿长方体表面爬行到C ＇处，若长方体的长4cm AB =，宽2cm BC =，高1cm BB '=，则蚂蚁爬行的最短路径长是___________．
12．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆，连接DA ，若
22AB =，42AC =，则DA 的长为______．
13．如图,30AOB ∠=︒，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别
在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．
14．已知x ，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x ﹣6）2=9，y =3，则该三角形的第三边长为_____．
15．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．
16．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且AB =3，BC =5．
①线段OA的取值范围是______________；
②若BD-AC=1，则AC•BD= _________．
17．如图，在△ABC中，AB AC＝10，BC＝12，AD是角平分线，P、Q分别是AD、AB边上的动点，则BP＋PQ的最小值为_______．
18．四边形ABCD中AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，AD＝CD＝52，四边形ABCD的面积是_______．
19．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝5，AC＝2，D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，则EF的最小值是_____．
20．如图所示，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．
三、解答题
21．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；
（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．
22．阅读与理解：
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？
分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点
C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明AC
D AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．
感悟与应用：
（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断
AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，
12DC BC ==，
①求证：180B D ∠+∠=︒； ②求AB 的长．
23．定义：如图1，点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，若以AM 、MN 、BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．
（1）已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，若2AM =，3MN =，求BN 的长； （2）如图2，在Rt ABC △中，AC BC =，点M 、N 在斜边AB 上，45MCN ∠=︒，求证：点M 、N 是线段AB 的勾股分割点（提示：把ACM 绕点C 逆时针旋转
90︒）；
（3）在（2）的问题中，15ACM ∠=︒，1AM =，求BM 的长．
24．已知ABC ∆中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ∆的关于点B 的二分割线．例如：如图1，Rt ABC ∆中，90A ︒∠=，20C ︒∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于
点D ，若20DBC ︒∠=，显然直线BD 是ABC ∆的关于点B 的二分割线．
（1）在图2的ABC ∆中，20C ︒∠=，110ABC ︒∠=．请在图2中画出ABC ∆关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是 ；
（2）已知20C ︒∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ∆，所画ABC ∆同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是 ；
（3）已知C α∠=，ABC ∆同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．
25．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ． （1）补全图形.
（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).
（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.
26．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,5AB BC ==.
（1）求CD 的长.
（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.
①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.
②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.
27．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；
（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；
（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．
①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．
28．已知：四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD 的顶点A 重合，两边分别射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAP ＝60°．
（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，请直接判断△AEF 的形状是 ． （2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE ＝CF ； （3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝15°时，求点F 到BC 的距离．
29．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．
（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：
的大小的形状
…
直角三角形
…
直角三角形
…
请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；
（2）猜想一般结论在中，设，，（），
①若为直角三角形，则满足；
②若为锐角三角形，则满足____________；
③若为钝角三角形，则满足_____________．
（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面
（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．
（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）
A．一定是锐角三角形
B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形
C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是边AB的高线，动点E从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线CB运动．设E的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）AE＝（用含t的代数式表示），∠BCD的大小是度；
（2）点E在边AC上运动时，求证：△ADE≌△CDF；
（3）点E在边AC上运动时，求∠EDF的度数；
（4）连结BE，当CE＝AD时，直接写出t的值和此时BE对应的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题
1．D
解析：D
【详解】
解：（1）当点P在x轴正半轴上，
①以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴∠AOP=45°，OA=22，
∴P的坐标是（4，0）或（22，0）；
②以OA为底边时，
∵点A的坐标是（2，2），
∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP=AP；
（2）当点P在x轴负半轴上，
③以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴OA= 22
∴OA=AP=2
∴P的坐标是（-220）．
故选D．
2．B
解析：B
【分析】
①由AB=AC ，AD=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形ABD 与三角形ACE 全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE ；
②由三角形ABD 与三角形ACE 全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD 垂直于CE ；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°； ④由BD 垂直于CE ，在直角三角形BDE 中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．
【详解】
解：如图，
① ∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，
即∠BAD=∠CAE ，
∵在△BAD 和△CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝
∴△BAD ≌△CAE （SAS ），
∴BD=CE ，
故①正确；
②∵△BAD ≌△CAE ，
∴∠ABD=∠ACE ，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°，
∴∠BDC=90°，
∴BD ⊥CE ，
故②正确；
③∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，
故③错误；
④∵BD ⊥CE ，
∴在Rt △BDE 中，利用勾股定理得BE 2=BD 2+DE 2，
∵△ADE 为等腰直角三角形，
∴AE=AD ，
∴DE 2=2AD 2，
∴BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2，
在Rt △BDC 中，BD BC <，
而BC 2=2AB 2，
∴BD 2<2AB 2，
∴()2222BE AD AB
<+
故④错误，
综上，正确的个数为2个．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 3．C
解析：C
【分析】
根据BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，推导出EBH DCH ∠=∠；再结合题意，可证明FAC AQB △≌△，由此可得F BAQ ∠=∠,AF AQ =；再经90AEF ∠=得
90F FAE ∠+∠=，从而证明AF ⊥AQ ；最后由勾股定理得222AQ AD QD =+，从而得
到AF AD ≠，即可得到答案．
【详解】
如图，CE 和BD 相较于H
∵BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高
∴CE AB ⊥,BD AC ⊥
∴90BEC BDC AEF ADQ ∠=∠=∠=∠=
∴90EBH EHB DHC DCH ∠+∠=∠+∠=
∵EHB DHC ∠=∠
∴EBH DCH ∠=∠
又∵BQ ＝AC 且CF ＝AB
∴FAC AQB △≌△
∴F BAQ ∠=∠,AF AQ =，故B 、D 结论正确；
∵90AEF ∠=
∴90F FAE ∠+∠=
∴90BAQ FAE F FAE ∠+∠=∠+∠=
∴AF ⊥AQ 故A 结论正确；
∵90ADQ ∠=
∴222
AQ AD QD =+
∵0QD ≠
∴AQ AD ≠
∴AF AD ≠
故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高的性质，从而完成求解． 4．B
解析：B
【分析】
过点O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，由角平分线的性质得到OD=OE=OF ，根据勾股定理求出BC 的长，易得四边形ADFO 为正方形，根据线段间的转化即可得出结果.
【详解】
解：过点O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，
∵BO,CO 分别为∠ABC ，∠ACB 的平分线，
所以OD=OE=OF ，
又BO=BO,
∴△BDO≌△BEO,∴BE=BD.
同理可得，CE=CF.
又四边形ADOE为矩形，∴四边形ADOE为正方形.
∴AD=AF.
∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，∴BC=10.
∴AD+BD=6①,
AF+FC=8②，
BE+CE=BD+CF=10③，
①+②得，AD+BD+AF+FC=14，即2AD+10=14，
∴AD=2.
故选：B.
【点睛】
此题考查了角平分线的定义与性质，以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．5．C
解析：C
【分析】
在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，易证△AB’D≌△ABE，可得∠ABE=∠B’=60°，因此点E的轨迹是一条直线，过点C作CH⊥BE，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，然后根据直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案．
【详解】
解：在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴△AB’B是等边三角形，
∴∠B’=∠B’AB=60°，AB’=AB，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠B’AD+∠DAB=∠DAB+∠BAE，
∴∠B’AD=∠BAE，
∴△AB’D≌△ABE（SAS），
∴∠ABE=∠B’=60°，
∴点E在直线BE上运动，
过点C作CH⊥BE于点H，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，
∠CBH =180°-∠ABC -∠ABE =60°，
∴∠BCH =30°，
∴BH =12BC =52
， ∴CH =22BC BH -=
53． 即BE 的最小值是
53． 故选C ．
【点睛】 本题是一道动点问题，综合考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，将△ACB 构造成等边三角形，通过全等证出∠ABC 是定值，即点E 的运动轨迹是直线是解决此题的关键．
6．C
解析：C
【分析】 作出等边三角形一边上的高，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出BD ，利用勾股定理即可求出AD ，再利用三角形面积公式即可解决问题．
【详解】
解：如图作AD ⊥BC 于点D ．
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠B ＝60°，∠B AD ＝30°
∴1122
BD AB a == 由勾股定理得，2222213()2AD AB BD a a =-=-= ∴边长为a 的等边三角形的面积为
12×a 3＝32， 故选：C ．
【点睛】
本题考点涉及等边三角形的性质、含30°角的直角三角形、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
7．C
解析：C
【分析】
根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分S n的值，根据数的变化找出变化规
律“S n=(1
2
)n−3”，依此规律即可得出结论．
【详解】
解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，
∴S2+S2=S1．
观察，发现规律：S1=22=4，S2=1
2
S1=2，S3=
1
2
S2=1，S4=
1
2
S3=
1
2
，…，
∴S n=(1
2
)n−3．
当n=2016时，S2016=(1
2
)2016−3=(
1
2
)2013．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是
找出规律“S n=(1
2
)n−3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S n的
值，根据数值的变化找出变化规律是关键．8．D
解析：D
【解析】
【分析】
本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决..要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】
如图，
由图可知，彩带从易拉罐底端的A 处绕易拉罐4圈后到达顶端的B 处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为xcm ，
∵∵易拉罐底面周长是12cm ，高是20cm ，
∴x 2=(12×4)2+202∴x 2=(12×4)2+202，
所以彩带最短是52cm ．
故选D ．
【点睛】
本题考查了平面展开−−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，
9．A
解析：A
【分析】
作AD BC ⊥于点D ，设BD x =，得222AB BD AD -=，222AC CD AD -=，结合题意，经解方程计算得BD ，再通过勾股定理计算得AD ，即可完成求解．
【详解】
如图，作AD BC ⊥于点D
设BD x =，则12CD BC x x =-=-
∴222AB BD AD -=，222AC CD AD -=
∴2222AB BD AC CD -=-
∵AB=10，AC=
∴(()22221012x x -=-- ∴8x =
∴6AD ===
∴△ABC 的面积111263622BC AD =
⨯=⨯⨯= 故选：A ．
【点睛】
本题考察了直角三角形、勾股定理、一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．
10．C
解析：C
【分析】
矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．
【详解】
A 、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；
B 、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；
C 、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确
D 、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，
故选C ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键.
二、填空题
11．5cm
【分析】
连接AC ＇，分三种情况进行讨论：画出图形，用勾股定理计算出AC ＇长，再比较大小即可得出结果．
【详解】
解：如图
展开成平面图，连接AC＇，分三种情况讨论：
如图1，AB=4，BC＇=1+2=3，
∴在Rt△ABC＇中，由勾股定理得AC＇22
+（cm），
43
如图2，AC=4+2=6，CC＇=1
∴在Rt△ACC＇中，由勾股定理得AC＇22
+37（cm），
61
如图3，AD =2，DC＇=1+4=5，
∴在Rt△ADC＇中，由勾股定理得AC＇22
25
+29（cm）
∵2937，
∴蚂蚁爬行的最短路径长是5cm，
故答案为：5cm．
【点睛】
本题考查平面展开-最短路线问题和勾股定理，本题具有一定的代表性，是一道好题，注意要分类讨论．
12．6或2.
【分析】
由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；
②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．
【详解】
解：分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1所示，
把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，
则∠ABD=∠ECD，2，AD=DE，且∠ADE=90°
在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴A、C、E三点共线．
∴AE=AC+CE=42+22=62
在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即2AD2=（62）2，解得AD=6
②当D点在BC下方时，如图2所示，
把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，
则CE=AB=22，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，
所以∠EAD=∠AED=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，
∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．
∴AE=AC-CE=42-22=22
在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．
故答案为：6或2.
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．13．10
【分析】
首先作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值，易得△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∠N′OM′=90°，继而可以求得答案．
【详解】
作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值．
根据轴对称的定义可
知：∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∠ONN ′=60°，OM ′=OM =6，ON ′=ON =8，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°．在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′=22''OM ON +=10． 故答案为10．
【点睛】 本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．
14．310，62或32
【解析】
【详解】
∵（x-6）2=9，
∴x-6=±3，
解得：x 1=9，x 2=3，
∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，
∴当x=3时，x 、y 都为直角三角形的直角边，则斜边为223332+=；
当x=9时，x 、y 都为直角三角形的直角边，则斜边为2293310+= ；
当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.
故答案为：310，62或32.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．
15．
355
【详解】 四边形DEFA 是正方形，面积是4； △ABF，△ACD 的面积相等，且都是 ×1×2=1． △BCE 的面积是：12×1×1=12
．
则△ABC 的面积是：4﹣1﹣1﹣12=32． 在直角△ADC 中根据勾股定理得到：AC=222+1=5．
设AC 边上的高线长是x ．则
12AC•x=52x=32， 解得：x=355
．
故答案为355
. 16．①1＜OA ＜4． ②
672． 【解析】
(1)由三角形边的性质
5-3<2OA <5+3,
1＜OA ＜4.
(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知，ABF 全等DCE ,
由题意知，22BD DE =+()2BC CE +=2DE +()2
4CE +， ()()22
2225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-，
2AC ∴+ 2BD
=2DE +()()22245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68，
BD -AC =1，两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC •BD =1， ∴AC •BD =672
.
17．6
【解析】
∵AB=AC ，AD 是角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴B点，C点关于AD对称，
如图，过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P，
则CQ=BP+PQ的最小值，
根据勾股定理得，AD=8，
利用等面积法得：AB⋅CQ=BC⋅AD，
∴CQ=BC AD
AB
⋅
=
128
10
⨯
=9.6
故答案为：9.6.
点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ是解本题的关键.
18．49
【解析】
连接AC，在Rt△ABC中，∵AB=8，BC=6，∠B=90°，∴AC=22
AB BC
+ =10．
在△ADC中，∵AD=CD=52，∴AD2+CD2=（52）2+（52）2=100．
∵AC2=102=100，∴AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°，∴S四边形
ABCD =S△ABC+S△ACD=
1
2
AB•BC+
1
2
AD•DC=
1
2
×8×6+
1
2
×52×52=24+25=49．
点睛：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，不规则几何图形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
1925
【解析】
试题分析：根据勾股定理可求出BC=1，然后根据∠BCA＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，证得四
边形CEDF是矩形，连接CD，则CD=EF，当CD⊥AB时，CD最短，即EF=CD=25 5
.
25
点睛：本题考查了勾股定理的运用，矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质，同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
20．7 8
【解析】
试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD∥BC，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC，而∠DAC=∠ACB，则∠D′AC=∠ACB，所以AE=EC，设BE=x，则EC=4-x，AE=4-x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理可计算出BE的长即可．
试题解析：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，
∵△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，
∴∠DAC=∠D′AC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，
设BE=x，则EC=4﹣x，AE=4﹣x，
在Rt△ABE中，∵AB2+BE2=AE2，
∴32+x2=（4﹣x）2，解得x=7
8
，
即BE的长为7
8
．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD2+CE2＝BC2，证明见解析．【分析】
（1）先判断出∠BAE=∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，即可得出结论．
（2）先求出∠CDA=1
2
∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论．
（3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD2+CE2=2（AP2+CP2），再判断出CD2+CE2=2AC2．即可得出结论．
【详解】
解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE．
（2）如图2，连结BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵CD ⊥AE ，
∴∠CDA ＝12∠ADE ＝12
×60°＝30°， ∵由（1）得△ACD ≌△ABE ，
∴BE ＝CD ＝4，∠BEA ＝∠CDA ＝30°，
∴∠BED ＝∠BEA +∠AED ＝30°+60°＝90°，即BE ⊥DE ，
∴BD ＝22BE DE +＝2234+＝5．
（3）CD 2、CE 2、BC 2之间的数量关系为：CD 2+CE 2＝BC 2，理由如下：
解法一：
如图3，连结BE ．
∵AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，
∴∠D ＝∠AED ＝45°，
∵由（1）得△ACD ≌△ABE ，
∴BE ＝CD ，∠BEA ＝∠CDA ＝45°，
∴∠BEC ＝∠BEA +∠AED ＝45°+45°＝90°，即BE ⊥DE ，
在Rt △BEC 中，由勾股定理可知：BC 2＝BE 2+CE 2．
∴BC 2＝CD 2+CE 2．
解法二：
如图4，过点A 作AP ⊥DE 于点P ．
∵△ADE 为等腰直角三角形，AP ⊥DE ，
∴AP ＝EP ＝DP ．
∵CD 2＝（CP +PD ）2＝（CP +AP ）2＝CP 2+2CP •AP +AP 2，
CE 2＝（EP ﹣CP ）2＝（AP ﹣CP ）2＝AP 2﹣2AP •CP +CP 2，
∴CD 2+CE 2＝2AP 2+2CP 2＝2（AP 2+CP 2），
∵在Rt △APC 中，由勾股定理可知：AC 2＝AP 2+CP 2，
∴CD 2+CE 2＝2AC 2．
∵△ABC 为等腰直角三角形，由勾股定理可知：
∴AB 2+AC 2＝BC 2，即2AC 2＝BC 2，
∴CD 2+CE 2＝BC 2．
【点睛】
本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD，解（2）（3）的关键是判断出BE⊥DE，是一道中等难度的中考常考题．
22．（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14
【分析】
（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；
（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；
②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．
【详解】
解：（1）BC−AC＝AD．
理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ECD，
又CD＝CD，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠CED＝2∠CBA，
∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE，
∴∠CBA＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∴AD＝BE，
∵BE＝BC−CE＝BC−AC，
∴BC−AC ＝AD ．
（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，
∵AC 平分∠DAB ，
∴∠DAC ＝∠MAC ，
∵AC ＝AC ，
∴△ADC ≌△AMC （SAS ），
∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，
∵CD ＝BC ＝12，
∴CM ＝CB ，
∴∠B ＝∠CMB ，
∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，
∴∠B ＋∠D ＝180°；
②设BN ＝a ，
过点C 作CN ⊥AB 于点N ，
∵CB ＝CM ＝12，
∴BN ＝MN ＝a ，
在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，
在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝
， 则2222
1216(8)a a --+＝
， 解得：a ＝3，
即BN ＝MN ＝3，
则AB ＝8+3+3=14，
∴AB=14．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．
23．（15132）见解析；（3）23
【分析】
（1）分两种分割法利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图，过点A 作AD ⊥AB ，且AD=BN ．只要证明△ADC ≌△BNC ，推出CD=CN ，∠ACD=∠BCN ，再证明△MDC ≌△MNC ，可得MD=MN ，由此即可解决问题；
（3）过点B 作BP ⊥AB ，使得BP=AM=1，根据题意可得△CPB ≌△CMA ，△CMN ≌△CPN ，利用全等性质推出∠BNP=30°，从而得到NB 和NP 的长，即得BM.
【详解】
解：（1）当MN 最长时，BN=225
MN AM -=，
当BN 最长时，BN=2213AM MN +=；
（2）证明：如图，过点A 作AD ⊥AB ，且AD=BN ，
在△ADC 和△BNC 中，
AD BN DAC B AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADC ≌△BNC （SAS ），
∴CD=CN ，∠ACD=∠BCN ，
∵∠MCN=45°，
∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°，
∴∠MCD=∠MCN ，
在△MDC 和△MNC 中，
CD CN MCD MCN CM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△MDC ≌△MNC （SAS ），
∴MD=MN
在Rt △MDA 中，AD 2+AM 2=DM 2，
∴BN 2+AM 2=MN 2，
∴点M ，N 是线段AB 的勾股分割点；
（3）过点B 作BP ⊥AB ，使得BP=AM=1，
根据（2）中过程可得：△CPB ≌△CMA ，△CMN ≌△CPN ，
∴∠AMC=∠BPC=120°，AM=PB=1，
∠CMN=∠CPN=∠A+∠ACM=45°+15°=60°，
∴∠BPN=120°-60°=60°，
∴∠BNP=30°，
∴NP=2BP=2=MN ，
∴BN=22213-=，
∴BM=MN+BN=23+.
【点睛】
本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（1）作图见解析，20DBC ∠=︒；（2）作图见解析，35BAC ∠=︒；（3）∠A =45°或90°或90°－2α或1452
α︒-，或α＝45°时45°＜∠BAC ＜90°．
【分析】
（1）根据二分割线的定义，只要把∠ABC 分成90°角和20°角即可；
（2）可以画出∠A=35°的三角形；
（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】
解：（1）ABC ∆关于点B 的二分割线BD 如图4所示，20DBC ∠=︒；
故答案为：20°；
（2）如图所示：∠BAC=35°；
（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．
第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形，易知∠C 和∠DBC 必为底角， ∴∠DBC ＝∠C ＝α．
当∠A ＝90°时，△ABC 存在二分分割线；
当∠ABD ＝90°时，△ABC 存在二分分割线，此时∠A ＝90°－2α；
当∠ADB ＝90°时，△ABC 存在二分割线，此时α＝45°且45°＜∠A ＜90°；
第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形，
当∠DBC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时1809014522
A αα︒-︒-∠==︒-； 当∠BDC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时∠A ＝45°，
综上，∠A =45°或90°或90°－2α或1452α︒-，或α＝45°时，45°＜∠BAC ＜90°．
【点睛】
本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解答的关键．
25．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =
【分析】
（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可； （3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，
∴∠PAD=α，AB=AD ，
∵90BAC ∠=︒，
∴902DAC α∠=︒-，
又∵AB=AC ，
∴AD=AC ，
∴∠ADC=1
[180(902)]
2
α
⨯︒-︒-=45α
︒+；
（3）如图，连接BE，
由（2）知：∠ADC=45α
︒+，
∵∠ADC=∠AED+∠EAD，且∠EAD=α，
∴∠AED=45°，
∵点B与点D关于直线AP对称，即AP垂直平分BD，
∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE，
∴∠BED=90°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴2222
2
BD BE DE DE
=+=，
∴2
BD DE
=.
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.
26．（1）CD=8；（2）t=4；（3）
12-
=
t
v
t
(26
t≤<)
【分析】
（1）作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=1
2
BC，然后利用勾股定理
求出AE，再用等面积法可求出CD的长；
（2）①过B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分别讨论Q点在AF和FC之间时，根据
△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；
（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q在FC之间求出t的取值范围即可.【详解】
解：（1）如图，作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=1
2
BC=25
在Rt△ABE中，
()2
222
AE=AB BE=1025=45
--
∵△ABC的面积=11
BC AE=AB CD 22
⋅⋅
∴
BC AE4545 CD===8
AB10
⋅⨯
（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，
∵△ABC的面积=11
AC BF=AB CD
22
⋅⋅，AB=AC
∴BF=CD
在Rt△CPD和Rt△BQF中
∵CP=BQ，CD=BF，
∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）
∴PD=QF
在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10∴22
AD=AC CD=6
-
同理可得AF=6
∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t 由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，∵t＞0，
∴此种情况不符合题意，舍去；
当Q 点在FC 之间时，如图所示，
此时PD=6-t ，QF=2t-6
由PD=QF 得6-t=2t-6，
解得t=4，
综上得t 的值为4.
（3）同（2）可知v ＞1时，Q 在AF 之间不存在CP=BQ ，Q 在FC 之间存在CP=BQ ，Q 在F 点时，显然CP ≠BQ ，
∵运动时间为t ，则AP=t ，AQ=vt ，
∴PD=6-t ，QF=vt-6，
由PD=QF 得6-t=vt-6， 整理得12-=t v t
， ∵Q 在FC 之间，即AF ＜AQ ≤AC
∴610<≤vt ，代入12-=t v t
得 61210<-≤t ，解得26t ≤< 所以答案为12-=
t v t (26t ≤<) 【点睛】
本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.
27．（1）假；（2）∠A ＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析
【分析】
（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a 2=c 2，再由勾股定理得a 2+b 2=c 2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；
（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；
②先求出CD=CB=a ，AD=CD=a ，DB=AB-AD=c-a ，DG=BG=
12（c-a ），AG=12
（a+c ），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．。