2022年-有答案-福建省福州市某校高一(上)期末数学试卷

2022学年福建省福州市某校高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知一个扇形的面积为π
3
，半径为2，则其圆心角为( )
A.π
6B.π
3
C.π
4
D.π
2
2. 已知集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x|4<x<6}，则A∩B＝（）
A.(4, 5)
B.(4, 5]
C.(5, 6)
D.[5, 6)
3. 已知角α的终边经过点(m, 2)，且cosα=−√3
2
，则实数m=()
A.−√3
B.±2√3
C.2√3
D.−2√3
4. 不等式ax2+ax−4<0的解集为R，则实数a的取值范围为（）
A.[−16, 0)
B.(−16, 0]
C.[−8, 0]
D.(−8, 0]
5. 已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）
A.b<c<a
B.c<a<b
C.a<b<c
D.c<b<a
6. 函数y=cosx|tanx|(−π
2<x<π
2
)的大致图象是（）
A. B.
C. D.
7. 若函数f(x)＝的值域为(a, +∞)，则a的取值范围为（）
A. B. C. D.
8. 已知函数f(x)＝m(x−2)+3，g(x)＝x2−4x+3，若对任意x1∈[0, 4]，总存在
x2∈[1, 4]，使得f(x1)>g(x2)成立，则实数m的取值范围是（）
A.(−2, 2)
B.
C.(−∞, −2)
D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
下列四个命题中，正确的有（）
A.命题p：“∃x≤1，x2−3x+2≥0”，则￢p为“∀x>1，x2−3x+2<0”
B.函数f(x)=a x−1+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1, 2)
C.若a>b，c>d>0，则a
d >b
c
D.若函数f(x)=x2−2x+4在区间[0, m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1, 2]
已知a>0，b>0，且a+b＝4，则下列结论正确的是（）
A.ab≤4
B.
C.2a+2b≥16
D.a2+b2≥8
已知函数，则以下说法中正确的是（）
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在上单调递减
C.是f(x)的一个对称中心
D.f(x)的最大值为0.5
函数f(x)＝Asin(ωx +φ)（其中A >0，ω>0，|φ|<π）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.函数f(x)图象的对称轴为直线
C.函数f(x)的零点为
D.若f(x)在区间上的值域为，则实数a 的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
若幂函数f(x)的图象经过(4, 2)，则f(9)=________．
“M <N ”是“log 3M <log 3N ”的________条件（请用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”作答）
将函数(ω>0)的图象向左平移个单位，得到函
数y ＝g(x)的图象．若y ＝g(x)在区间上为增函数，则ω的取值范围
是________．
设函数f(x)={3x −1，x ≤a
|x +1|,x >a
．
①若a =1，则f(x)的值域为________；
②若f(x)在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分）
已知4cosα−sinα
3sinα+2cosα=1
4
．
（1）求tanα的值；
（2）求sin(π−α)sin(3π
2
−α)的值．
设函数f(x)=sin(2x+φ)(−π<φ<0)，y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=π
8
．（1）求φ；
（2）若函数y=2f(x)+a，(a为常数a∈R)在x∈[11π
24，3π
4
]上的最大值和最小值之和
为1，求a的值．
已知函数．
（1）若对任意，都有f(x)≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若先将y＝f(x)的图象上每个点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所
得图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数在区间[−π, 3π]内的所有零点之和．
已知函数f(x)＝a x+log a x(a>0且a≠1)．
（1）若f(5a−3)>f(3a)，求实数a的取值范围；
（2）若a＝2，
①求证：f(x)的零点在区间内；
②求证：对任意大于0的实数λ，存在正数μ，当x∈(0, λμ)时，函数f(x)的图象都在x 轴下方．
运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米（按交通法规限制50≤x≤100，单
位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机工资为每小时18元．
（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；
（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
已知函数f(x)满足f(x+1)＝x3+ln（+3x)−2．
（1）设g(x)＝f(x+1)+2，判断函数g(x)的奇偶性，并加以证明；
（2）若不等式f(sinθ+cosθ)+f(sin2θ−t)+4<0对任意θ∈(−，）恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案与试题解析
2022学年福建省福州市某校高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
A
【考点】
扇形面积公式
【解析】
设扇形的圆心角为α，根据面积公式列方程求出α的值．
【解答】
解：设扇形的圆心角为α，则
由扇形的半径为R=2，
得面积为S=1
2⋅α⋅R2=1
2
⋅α⋅22=π
3
，
解得α=π
6
．
故选A.
2.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】
∵A＝{x|3≤x<5}，B＝{x|4<x<6}，
∴A∩B＝(4, 5)．
3.
【答案】
D
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m的值．【解答】
解：∵角α的终边经过点(m, 2)，
且cosα=
√m2+22=−√3
2
，且m<0，
解得m=2√3（舍去），或m=−2√3，则实数m=−2√3.
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的应用
【解析】
讨论a＝0和a≠0时，求出不等式ax2+ax−4<0的解集为R时实数a的取值范围．【解答】
当a＝0时，不等式ax2+ax−2<0化为−4<3，对任意的x∈R恒成立；
当a≠0时，不等式ax2+ax−6<0的解集为R，应满足；综上知，实数a的取值范围是(−16．
5.
【答案】
A
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系．【解答】
∵log45>log74＝1，，，∴b<c<a．
6.
【答案】
B
【考点】
函数的图象变换
【解析】
化简函数的解析式，然后判断函数的图象即可．
【解答】
解：−π
2<x<π
2
⇒cosx>0，故函数y=cosx|tanx|=|sinx|，
函数y=cosx|tanx|(−π
2<x<π
2
)的大致图象是：B．
故选：B．7.
【答案】B
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
根据分段函数的解析式，分别求出每段上的值域，再结合函数的值域即可求出a的范围．【解答】
当x<1时，f(x)＝（）x>，
当x≥1时，f(x)＝a+（）x≤a+，且f(x)>a，即f(x)∈(a, a+1]
∵f(x)的值城为(a, +∞)，
∴a+≥，且a≤
∴≤a≤，
8.
【答案】
A
【考点】
函数恒成立问题
二次函数的性质
二次函数的图象
【解析】
根据对任意的x1∈[0, 4]，总存在x2∈[1, 4]，使f(x1)>g(x2)成立，由二次函数的值
域求得可得g(x)的最小值，可得−1<m(x−2)+3在x∈[0, 4]恒成立，进而根据一次
函数的单调性可得关于m的不等式组，解不等式组可得答案．
【解答】
g(x)＝x2−4x+3＝(x−2)2−1，
当x2∈[1, 4]时，g(x2)∈[−1, 3]，
则g(x2)的最小值为−1，
可得−1<m(x−2)+3在x∈[0, 4]恒成立，
则−1<−2m+3，且−1<2m+3，
解得m<2，且m>−2，
即−2<m<2，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
【答案】
A,B,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
直接利用命题的否定，指数型函数的性质，不等式的性质，二次函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】
对于B：函数f(x)=a x−1+1(a>0，且a≠1)的图，
当x=1时，f(1)=2，故函数的图象恒过定点(1, 2)，故B正确（1）对于C：当a>
b>0时，c>d>0时，满足a
d >b
c
，故C错误（2）对于D：函数f(x)=x2−2x+4=
(x−1)2+3，函数的对称轴为x=1，
由于函数在区间[0, m]上的最大值为4，最小值为3，
所以实数m的取值范围是[1, 2]，故D正确．
故选：ABD．
【答案】
B,D
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由基本不等式4＝a+b≥2，可得A不正确；用“1”的代换，可得+＝
（）(a+b)＝(2++）≥+×2＝1从而判断B；由基本
不等式2a+2b≥2＝2＝2＝8，可以判断C；由重要不等式变形，a2+b2≥2ab，∴2(a2+b2)≥(a+b)2，可以判断D．
【解答】
∵a>0，b>0，
∴4＝a+b≥2（当且仅当a＝b＝2时取“＝”），
∴3<ab≤4（当且仅当a＝b＝2时取“＝”），即A错误；
∵+＝（）(a+b)＝+）≥+＝7，∴B正确；
∵2a+2b≥7＝7＝8，故C错误；
∵a2+b4≥2ab，∴2(a4+b2)≥(a+b)2，∴a7+b2≥＝＝8，故D正确．
【答案】
A,B,C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
由题意利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】
函数＝cos(x+）sin(x+）+＝sin(2x+）+，
故它的最小正周期为＝π，故A正确；
当x∈，2x+∈[，]，故f(x)在上单调递减，故B正确；
当x＝时，f(x)＝×0+＝，故（，）是f(x)的一个对称中心，故C正确；
显然，f(x)的最大值为+＝1，故D错误，
【答案】
A,B,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
直接利用函数的图象和性质的应用判定A、B、C、D的结论．
【解答】
对于A：根据函数的图象得：A＝2，
由于，解得T＝π，
所以ω＝2，
则f(x)＝2sin(2x+φ)，
由于f（）＝2sin（+φ)＝2，
解得φ＝，
由于|φ|<π，
所以φ＝-，
故f(x)＝2sin(2x−），故A正确；
对于B：令(k∈Z)，解得(k∈Z)，故B正确；
对于C：令，解得(k∈Z)，故C错误；
对于D：若f(x)在区间，得到
，
由于上的值域为，则，
解得，故实数a的取值范围为．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
【答案】
3
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
设幂函数f(x)=x a，由幂函数f(x)的图象经过(4, 2)，解得f(x)=x 1
2，由此能求出
f(9)．
【解答】
解：设幂函数f(x)=x a，
∵幂函数f(x)的图象经过(4, 2)，∴4a=2，解得a=1
2
，
∴f(x)=x 1 2，
∴f(9)=91
2=3．
故答案为：3．
【答案】
必要不充分
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据对数不等式的性质求出等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】
由log 3M <log 3N 得0<M <N ，则M <N 成立，即必要性成立，
当M <N <0时，M <N 成立，但log 3M <log 3N 无意义，即充分性不成立， 则“M <N ”是“log 3M <log 3N ”的必要不充分条件， 【答案】
(0，]
【考点】
函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】
由题意利用函数y ＝Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得到g(x)的解析式，再根据正弦函数的单调增区间，求得ω的取值范围． 【解答】
将函数(ω>0)的图象向左平移个单位，
得到函数y ＝g(x)＝2sin(ωx +-）＝2sinωx 的图象．
若y ＝g(x)在区间上为增函数，则ω⋅(−）≥−，且ω•
≤，
求得0<ω≤，则ω的取值范围为(0，]，
【答案】
(−1, +∞),[−1, 1] 【考点】
函数单调性的性质与判断 分段函数的应用 函数的值域及其求法 【解析】
①把a =1代入分段函数解析式，分别求出值域，取并集得答案；
②在同一坐标系内画出函数y =3x −1与y =|x +1|的图象，数形结合得答案． 【解答】
①若a =1，则f(x)＝{3x −1，x ≤1
|x +1|,x >1
，
当x ≤1时，f(x)=3x −1∈(−1, 2]， 当x >1时，f(x)=|x +1|>2，
∴ f(x)的值域为(−1, 2]∪(2, +∞)=(−1, +∞)；
②在同一平面直角坐标系内作出函数y =3x −1与y =|x +1|的图象如图：
由图可知，要使函数f(x)={3x −1，x ≤a
|x +1|,x >a 在R 上的增函数，
则实数a 的取值范围是[−1, 1]．
四、解答题（本大题共6小题，共70分） 【答案】 ∵
4cosα−sinα3sinα+2cosα
=14
，
∴ 16cosα−4sinα＝3sinα+2cosα， ∴ 14cosα＝7sinα， ∴ tanα＝2；
∵ sin(π−α)sin(3π
2−α)=−sinαcosα=−sinαcosα
sin 2α+cos 2α=−tanα
tan 2α+1， 又tanα＝2，
∴ 原式=−2
4+1=−25． 【考点】
同角三角函数间的基本关系 运用诱导公式化简求值 【解析】
（1）取分母化简即可；
（2）先利用诱导公式化简，再构造分母转化为正切，利用第一问的正弦值即可求出结果． 【解答】
∵ 4cosα−sinα
3sinα+2cosα=1
4，
∴ 16cosα−4sinα＝3sinα+2cosα， ∴ 14cosα＝7sinα， ∴ tanα＝2； ∵ sin(π−α)sin(3π2
−α)=−sinαcosα=
−sinαcosαsin 2α+cos 2α
=
−tanα
tan 2α+1
，
又tanα＝2，
∴ 原式=−2
4+1=−25． 【答案】
解：（1）∵x=π
8是它的一条对称轴，∴2⋅π
8
+φ=kπ+π
2
．
∴φ=kπ+π
4，又−π<φ<0，得φ=−3π
4
；
（2）由（1）得f(x)=2sin(2x−3
4
π)
∴y=2sin(2x−3
4π)+a，又π
6
≤2x−3
4
π≤3π
4
，
∴y max=2+a，y min=1+a，∴2a+3=1，∴a=−1．
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
三角函数的最值
【解析】
（1）通过函数的对称轴，结合−π<φ<0，求出φ的值．
（2）利用（1）以及函数y=2f(x)+a，求出含a的函数表达式，利用最大值和最小值的和，求出a的值即可．
【解答】
解：（1）∵x=π
8是它的一条对称轴，∴2⋅π
8
+φ=kπ+π
2
．
∴φ=kπ+π
4，又−π<φ<0，得φ=−3π
4
；
（2）由（1）得f(x)=2sin(2x−3
4
π)
∴y=2sin(2x−3
4π)+a，又π
6
≤2x−3
4
π≤3π
4
，
∴y max=2+a，y min=1+a，∴2a+3=1，∴a=−1．
【答案】
函数＝sin2x+）．
对任意，2x−，]，sin(2x−，1]．
再根据对任意，都有f(x)≥a成立，即实数a的取值范围(−∞．若先将y＝f(x)的图象上每个点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
得到y＝sin(x−）的图象．
再将所得图象向左平移个单位长度，
故函数在区间[−π，
即sinx＝在区间[−π．
而sinx＝在区间[−π，从小到大依次设为a、b、c、d，
根据正弦函数的图象的对称性，＝，＝，
∴函数在区间[−π．
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
（1）由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据函数的定义域和值域，求
得f(x)的最小值，可得a的范围．
（2）由题意利用函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用
正弦函数的图象和性质，求得函数在区间[−π, 3π]内的所有零点之和．【解答】
函数＝sin2x+）．
对任意，2x−，]，sin(2x−，1]．
再根据对任意，都有f(x)≥a成立，即实数a的取值范围(−∞．若先将y＝f(x)的图象上每个点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
得到y＝sin(x−）的图象．
再将所得图象向左平移个单位长度，
故函数在区间[−π，
即sinx＝在区间[−π．
而sinx＝在区间[−π，从小到大依次设为a、b、c、d，
根据正弦函数的图象的对称性，＝，＝，
∴函数在区间[−π．
【答案】
f(x)定义域为(0, +∞)，
当a>1时，f(x)是增函数，
由f(5a−3)>f(3a)，得，
所以a>，
当0<a<1时，f(x)是减函数，
由f(5a−3)>f(3a)，得，
所以<a<1，
综上，a∈（，1)∪（，+∞)．
证明：①因为f(x)＝2x+log2x在(0, +∞)上增函数，
又f（）＝2+log2＝2−2<0，f（）＝2+log2＝2−1>0，
所以f(x)的零点在（，）上．
②由①知f(x)的零点x0∈（，），
又f(x)在(0, +∞)上为增函数，
所以x∈(0, x0)时，f(x)<0，
所以对任意λ>0，存在μ＝，使f(x)<0在(0, λμ)上恒成立．
【考点】
函数与方程的综合运用
【解析】
（1）f(x)定义域为(0, +∞)，分两种情况当a>1时，当0<a<1时，结合f(x)单调性，进而可得答案．
（2）①由f(x)单调性，及f（）<0，f（）>0，即可得出答案．
②由①知f(x)的零点x0∈（，），x∈(0, x0)时，f(x)<0，存在μ＝，使f(x)<0在(0, λμ)上恒成立．
【解答】
f(x)定义域为(0, +∞)，
当a>1时，f(x)是增函数，
由f(5a−3)>f(3a)，得，
所以a>，
当0<a<1时，f(x)是减函数，
由f(5a−3)>f(3a)，得，
所以<a<1，
综上，a∈（，1)∪（，+∞)．
证明：①因为f(x)＝2x+log2x在(0, +∞)上增函数，
又f（）＝2+log2＝2−2<0，f（）＝2+log2＝2−1>0，
所以f(x)的零点在（，）上．
②由①知f(x)的零点x0∈（，），
又f(x)在(0, +∞)上为增函数，
所以x∈(0, x0)时，f(x)<0，
所以对任意λ>0，存在μ＝，使f(x)<0在(0, λμ)上恒成立．
【答案】
运货卡车行驶的时间为(ℎ)，
则有
＝，x∈[40, 100]；
由（1）可得，
当且仅当，即时取等号，
故当(km/ℎ)时，这次行车的总费用最低为元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）求出运货卡车行驶的时间，然后根据题意求出行车总费用即可；
（2）利用基本不等式求解最值即可．
【解答】
运货卡车行驶的时间为(ℎ)，
则有
＝，x∈[40, 100]；
由（1）可得，
当且仅当，即时取等号，
故当(km/ℎ)时，这次行车的总费用最低为元．
【答案】
g(x)为奇函数，证明如下：
，定义域关于原点对称
又
，
∴，故g(x)为奇函数，
由（1）可知f(x)＝g(x−1)−2且g(x)为单调递增的奇函数，
∴f(sinθ+cosθ)+f(sin6θ−t)+4＝g(sinθ+cosθ−1)+g(sin3θ−t−1)，
原不等式等价于：g(sinθ+cosθ−1)+g(sin7θ−t−1)<0，
即g(sinθ+cosθ−7)<g(t+1−sin2θ)对任意恒成立，
∴sinθ+cosθ−1<t+4−sin2θ⇒t>sin2θ+sinθ+cosθ−5，
令，
∵，∴，
则m2＝sin2θ+4，即，
由此可得，故实数t的取值范围为．
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后检验g(−x)与g(x)的关系即可判断，（2）结合（1）原不等式等价于g(sinθ+cosθ−1)<g(t+1−sin2θ)对任意
恒成立，结合三角函数的性质可求．
【解答】
g(x)为奇函数，证明如下：
，定义域关于原点对称
又
，
∴，故g(x)为奇函数，
由（1）可知f(x)＝g(x−1)−2且g(x)为单调递增的奇函数，
∴f(sinθ+cosθ)+f(sin6θ−t)+4＝g(sinθ+cosθ−1)+g(sin3θ−t−1)，
原不等式等价于：g(sinθ+cosθ−1)+g(sin7θ−t−1)<0，
即g(sinθ+cosθ−7)<g(t+1−sin2θ)对任意恒成立，
∴sinθ+cosθ−1<t+4−sin2θ⇒t>sin2θ+sinθ+cosθ−5，
令，
∵，∴，
则m2＝sin2θ+4，即，
由此可得，故实数t的取值范围为．。