西北5省自治区2011年中考数学试题分类解析汇编 专题11 圆

西北5省自治区2011年中考数学试题分类解析汇编专题11：圆
一、选择题
1. （某某省3分）同一平面内的两个圆，他们的半径分别为2和3，圆心距为d，当1＜d＜5时，两圆的位置关系是
A、外离
B、相交
C、内切或外切
D、内含
【答案】B。

【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

∵他们的半径分别为2和3，圆心距为d，当1＜d＜5时，∴两圆的位置关系是相交。

故选B。

2.（某某自治区3分）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5．若两圆相切，则圆心距O1O2的值是
A、2或4
B、6或8
C、2或8
D、4或6
【答案】C。

【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

∵⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5，
∴若两圆内切，则圆心距O1O2的值是：5－3=2；
若两圆外切，则圆心距O1O2的值是：3+5=8。

∴圆心距O1O2的值是：2或8。

故选C。

3.（某某某某4分）如果两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，那么能反映这两圆位置关系的图是
A、B、C、D、
【答案】B。

【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

∵两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，又∵2+1=3，
∴这两圆位置关系外切。

故选B。

4.（某某某某4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O
于点C，若∠A=25°，则∠D等于
A、20°
B、30°
C、40°
D、50°
【答案】C。

【考点】等腰三角形的性质，三角形的外角定理，切线的性质，三角形内角和定理。

【分析】连接OC，
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A=25°（等边对等角）。

∴∠DOC=50°（三角形的外角等于和它不相邻的两内角之和）。

又∵DC切⊙O于点C，∴OC⊥DC（切线的性质），即∠OCD=90°。

∴∠DOC=180°―90°―50°=40°（三角形内角和定理）。

故选C。

5.（某某某某4分）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，
OA=1，BC=6．则⊙O的半径为
A. 6
B. 13
C. 13
D. 213
【答案】C。

【考点】垂径定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】延长AO交BC于D，接OB，根据AB=AC，O是等腰Rt△ABC的外心，推
出AO⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，求出∠BAD=∠ABD=45°，AD=BD=3，由勾
股定理求出OB即可：
延长AO交BC于D，连接OB。

∵AB=AC，O 是等腰Rt△ABC 的外心，∴AO⊥BC，BD=DC=3，AO 平分∠BAC。

∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°，∠BAD=45°。

∴∠BAD=∠ABD=45°。

∴AD=BD=3，∴OD=3﹣1=2，
由勾股定理得：OB=22DO +BD 13 。

故选C 。

6.（某某某某3分）已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是r 1＝2、r 2＝4，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能 取的值是
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
【答案】C 。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

∵两圆半径差为2，半径和为6，两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和。

∴2＜O 1O 2＜6．符合条件的数只有B 。

故选B 。

二、填空题
1.（某某自治区3分）如图，点A 、D 在⊙O 上，BC 是⊙O 的直径，若∠D=35°，则∠OAB 的度数是 ▲ ．
【答案】35°。

【考点】圆周角定理，三角形外角定理，等腰三角形的性质。

【分析】∵∠AOC 和∠D 所对的弧都是AC ，
∴∠AOC=2∠D=70°（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。

∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO（等边对等角）。

又∵∠AOC=∠ABO+∠BAO（三角形外角等于和它不相邻的两内角之和），
∴∠OAB=35°。

2.（某某某某4分）如图，OB 是⊙O 的半径，点C 、D 在⊙O 上，∠DCB=27°，
则∠OBD= ▲ 度．
【答案】63°。

【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。

【分析】根据圆周角定理可得∠DOB=2∠DCB=54°，再根据等边对等角可得∠ODB=∠OBD，从而根据三角形内角和定理得到∠OBD=（180°－∠DOB）÷2=63°。

3.（某某省2分）如图所示，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A、B两点，C是⊙O上的一点，若∠P=700，则∠ACB=▲ 。

【答案】55°。

【考点】切线的性质，多边形内角和定理，圆周角定理。

【分析】连接OA、OB，
∵PA、PB与圆O分别相切于点A、B，
∴OA⊥AP，OB⊥PB（切线的性质）。

∴∠OAP=∠OBP=90°（垂直的定义）。

又∠P=70°，
∴∠AOB=360°－90°－90°－70°=110°（多边形内角和定理）。

又∵∠ACB和∠AOB分别是AB所对的圆周角和圆心角，
∴∠ACB=1
2
∠AOB=
1
2
×110°=55°（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。

4.（某某某某2分）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC 于点E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA长为_ ▲ ．
【答案】5cm。

【考点】矩形的判定和性质，弦径定理，勾股定理。

【分析】连接OA，
∵AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴四边形ADOE是矩形（矩形的判定）。

∴EO＝AD（矩形的性质）。

又OD⊥AB，OE⊥AC，AB＝8cm，AC＝6cm，
∴AE＝3cm，EO＝AD＝4cm。

∴在Rt△AOE 中，由勾股定理，得OA ＝2222AE EO 345++=＝（cm ）。

5.（某某自治区、兵团5分）如图，∠BAC 所对的弧（图中⌒BC ）的度数为120°，⊙O 的半径为5， 则弦BC 的长为_ ▲ ．
【答案】53。

【考点】圆周角定理，垂径定理，解直角三角形
【分析】连接OB 、OB ，过O 点作，OD⊥BC 于点D ，
∵∠BAC 所对的弧（图中⌒BC ）的度数为120°，∴∠BOC=120°。

∵OD⊥BC，∴BD=12BC ，∠BOD= 12∠BOC= 12
×120°=60°。

在Rt△OBD 中，BD=OB•sin∠BOD=5×35322
=， ∴BC=2BD=2×53532
=。

三、解答题
1.（某某省8分）如图，在△ABC 中，∠B=60°，⊙O 是△ABC 外接圆，过点A 作⊙O
的切线，交CO 的延长线于P 点，CP 交⊙O 于D
（1）求证：AP=AC ；
（2）若AC=3，求PC 的长．
【答案】解：（1）证明：连接AO ，则AO⊥PA，
∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°
∴∠AOP=60°。

∴∠P=30°。

又∵OA=OC，∴∠ACP=30°。

∴∠P=∠ACP，∴AP=AC。

（2）在直角△PAO 中，∠P=30°，PA=AC =3，
∴AO=PA×tan30°=3。

∴PO=23。

∵CO=OA=3，∴PC=PO＋OC=33。

【考点】切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）连接OA，由同弧所对圆周角是圆心角一半的性质可得∠AOC=120°，所以，由三角形内角和定理和等腰三角形等边对等角的性质可得∠P=∠C=30°，从而根据等腰三角形等角对等边的判定即可证明。

（2）由（1）PA=AC =3，所以根据锐角三角函数定义可求PO=23，从而可求PC=33。

2.（某某自治区8分）已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的
⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值．
【答案】解：（1）证明：连接OP。

∵AB=AC，∴∠C=∠B。

又∵OP=OB，∴∠OPB=∠B。

∴∠C=∠OPB。

∴OP∥AD。

又∵PD⊥AC于D，∴∠ADP=90°。

∴∠DPO=90°。

∴PD是⊙O的切线。

（2）连接AP。

∵AB是直径，∴∠APB=90°。

∵AB=AC=2，∠CAB=120°，∴∠BAP=60°，BC=2BP。

∴BP=AB·sin600=3。

∴BC=23。

【考点】等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）要证明PD是⊙O的切线，只要证明PD垂直于才切点的半径即可，由AB=AC和OP=OB，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠C=∠OPB，从而根据同位角相等，两直线平行的判定得OP∥AD，因此由PD⊥AC可得∠DPO=90°。

从而得证。

（2）连接AP，根据直径所对圆周角是直角的性质和等腰三角形三线合一的性质，用锐角三角函数解△APB可求得BP的长，从而可求得BC的长。

3.（某某某某10分）在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于D，交△ABC的外
接圆于E，过点B作⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=9
2
，BQ=32．
（1）求⊙O 的半径； （2）若DE=35，求四边形ACEB 的周长． 【答案】解：（1）连接OB 。

∵BQ 与⊙O 相切，∴∠OBQ=90°。

∴OB=()222293OQ BQ 3222
⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭。

∴⊙O 的半径为32。

（2）∵AB=AC，O 是△ABC 的内心．
∴AB AC BE CE ,==。

∴AB=AC，BE=CE 。

∴BC⊥AE。

∵OE=OB=32，∴OD=OE﹣DE=3392510
-=。

∴在直角△ODB 中，BD 2=OB 2﹣OD 2=22391443621010025
⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 在直角△BDE 中，BE=2223633BD DE 52555
⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭ 。

∴CE=BE= 355。

∵AE 是直径，∴∠ABE=90°。

∴在直角△ABE 中，AE =2OB=2×32=3，AB=2222356AE BE 3555⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭。

∴AC=AB=655。

∴四边形ACEB 的周长是：AB+AC+CE+BE=6633185555555555
+++=。

【考点】切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外心性质，圆心角、弧和弦的关系勾股定理，圆周角定理，垂径定理。

【分析】（1）连接OB ，根据BQ 是圆的切线，则△OBQ 是直角三角形，根据勾股定理即可求得半径OB 的长；
（2）根据AB=AC，O是△ABC的内心，可以得到：BC⊥AE，且AE是直径，BE=CE．在直角△OBD中利用勾股定理即可求得BD的长，再在直角△BED中，利用勾股定理求得BE的长；在直角△ABE中求得AB的长，据此即可求得四边形的周长．
4. （某某省7分）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF是
过点C的⊙O的切线，AD⊥EF于点D.
（1）求证：∠BAC=∠CAD
（2）若∠B=30°，AB=12，求⌒
AC的长.
【答案】解：（1）证明：连接OC。

∵ EF是过点C的⊙O的切线。

∴OC⊥EF。

又∵AD⊥EF，∴ OC∥AD。

∴ ∠OCA=∠CAD。

又∵OA=OC，∴ ∠OCA=∠BAC。

∴∠BAC=∠CAD。

（2）∵ ∠B=30° ，∴∠AOC=60°。

∵AB=12，∴
11
OA AB126
22
==⨯=。

∴⌒
AC的长=606
2
180
π
π
⋅⋅
=。

【考点】切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，弧长的计算。

【分析】（1）连接OC，由EF为圆O的切线，根据切线性质得到OC与EF垂直，又AD与EF垂直，得到AD 与OC平行，根据两直线平行得到内错角∠OCA=∠CAD，由OA=OC，根据“等边对等角”得到∠OCA=∠OAC，等量代换得证。

（2）由OA=OB，根据“等边对等角”得到∠B=∠OCB=30°，又∠AOC和△BOC是同弧所对圆心角和圆周角，根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质求出∠AOC的度数，即为弧AC所对的圆心角的度数，然后由直径AB的长，求出半径的长，利用弧长公式即可求出 AC^的长。

5．（某某某某10分）已知：如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，
AD交BC与E，AE＝2，ED＝4．
（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）求AB的长；
（3）延长DB 到F ，使BF ＝OB ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的
位置关系，并说明理由．
【答案】解：（1）证明：∵在⊙O 中，AB ＝AC ，
∴⌒AB ＝⌒AC （在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等）。

∴∠ABC＝∠D（相等的弧所对的圆周角相等）。

∵∠BAD＝∠BAE，
∴△ABE∽△ADB（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个
三角形相似）。

（2）∵△ABE∽△ADB，∴AB AD ＝AE AB。

∵AE ＝2，ED ＝4，∴AB＝2 3 。

（3）直线FA 与⊙O 相切 。

理由如下：连接AO 。

∵BD 为⊙O 的直径，
∴∠BAD＝90°（直径所对的圆周角是直角）。

∴在Rt△ABD 中，AB 2＋AD 2＝BD 2
，
∴BD＝43。

∴OB＝23。

∵BF＝OB ， AB ＝23，
∴AB＝OB ＝BF 。

∴∠FAO＝90°（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角
三角形）。

∵OA 为半径，
∴AF 为⊙O 切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）。

【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，切线和判定。

【分析】（1）要证△ABE∽△ADB，只要两对应角相等即可。

一方面，∠BAD＝∠BAE；另一方面，由等的弧所对的圆周角相等可得∠ABC＝∠D。

从而得证。

（2）由△ABE∽△ADB，根据相似三角形对应边成比例的性质即可求得。

（3）要证直线FA 与⊙O 相切，只要证FA 垂直于半径的外端的半径即可。

6．（某某自治区、兵团8分）如图，在Rt△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，圆
心O 在AC 上，⊙O 与BC 相切于点D ，求⊙O 的半径．
【答案】解：连接OD 。

∵⊙O 与BC 相切于点D ，∴OD⊥BC。

∵在Rt△ABC 中，AB=3，BC=4，∴AC=22345+= 。

设⊙O 的半径为r ，则OC=5-r ．
∵sinC=
AB OD AC OC =，即3r 55r =-，解得158
r =。

∴⊙O 的半径为158。

【考点】切线的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。

【分析】根据勾股定理得AC=5．连接OD ，则OD⊥BC．设OD=r ，则OC=5-r ．根据sinC=AB OD AC OC
= 建立关系式求解。