【数学 高二(上)】2019-2020年深圳龙岗区统考高二第一学期期末考试数学试卷

龙岗区2019－2020学年第一学期期末质量监测试题
高二数学
第Ⅰ卷
选择题(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0”的否定是（
）
A ．∃x 0∈R ，x 02＋x 0＋1≤0
B ．∃x 0∈R ，x 03＋x 0＋1＞0
C ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0
D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0
2．直线x ＋y －3＝0与直线x －y ＋1＝0的交点坐标是（
）
A ．(2，2)
B ．(－2，2)
C ．(－1，3)
D ．(1，2)3．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝8，则数列{a n }的前11项和S 11等于（
）A ．22
B ．33
C ．44
D ．55
4．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，则
12
45
22a a a a ++的值为（
）A ．2
B ．8
C ．
18
D ．1
5．已知△ABC 的三个顶点为A (3，3，2)，B (4，－3，7)，C (0，5，1)，则BC 边上的中线长为（
）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．56．已知△ABC 的周长为12，B (0，2)，C (0，2)，则顶点A 的轨迹方程为（
）
A ．()22
101216x y x +
=≠B ．()22
101216x y y +=≠C ．()22
101612
x y x +=≠D ．()22
101612
x y y +=≠7．由直线y ＝x ＋2上的点向圆(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为（
）
A
B
．C
．D
8．已知向量n
＝(1，0，－1)与平面α垂直，且α经过点A (2，3，1)，则点P (4，3，2)到α的距离为（
）
A ．
32
B
．
2C
D
．29．在空间四边形ABCD 中，向量AB ＝(0，2，－1)，AC
＝(－1，2，0)，AD ＝(0，－2，0)，则直线
AD 与平面ABC 所成角的正弦值为（
）
A ．
13
B
C ．13
-
D
．10．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ，b ∈R ，且ab ≠0，则22
11
a b +
的最小值为（）
A ．1
B ．3
C ．
19
D ．
49
11．当动点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体对角线A 1C 上运动时，异面直线BP 与AD 1所成角的取值范围是（
）
A ．64ππ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
，B ．63ππ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦，C ．43ππ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦，D ．32ππ⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
，12．已知双曲线x 2
－2
2y b
＝1(b ＞0)右焦点为F ，左项点为A ，右支上存在点B 满足BF ⊥AF ，记直线AB 与
渐近线在第一象限内的交点为M ，且2AM MB =
，则双曲线的渐近线方程为（）
A ．2y x
=±B ．1
2
y x
=±C ．4
3
y x
=±D ．3
4
y x
=±第Ⅱ卷非选择题(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若点M (－2，8)在抛物线y 2＝2px 的准线上，则实数P 的值为________．14．已知a ∈R ，则“a ＝
1
6
”是“两直线l 1：x ＋2ay －1＝0与l 2：(3a －1)x －ay －1＝0平行”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”“充要”、“既不充分也不必要”)．
15．已知椭圆C ：22
+=143x y 的左、右焦点分别为F 1，F 1，P 为该椭圆上一点，且满足∠F 1PF 2＝60°，则
△PF 1F 2的面积为________．
16．定义H n ＝11222n n a a a n
-++⋅⋅⋅+为数列{a n }的“均值”，已知数列{b n }的“均值”H n ＝2n ＋
1，记数列{b n
－kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 6对任意正整数n 恒成立，则实数k 的范围为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y 的倾斜角的2倍；(2)经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }满足：a 5＝10，a 2＋a 6＝16．(1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和S n ；(2)若b n ＝
1
n
S ＋3n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．(本小题满分12分)在平面直的坐标系xOy 中，已如圆O ：x 2＋y 2＝4和点P (－1，1)，过点P 的直线l 交圆O 于A ，B 两点．
(1)若|AB |＝，求直线l 的方程；
(2)设弦AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程．
20．(本小题满分12分)如图，在三校锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2．(1)求证：MN //平面BDE ；(2)求二面角C －EM －N 的余弦值．
21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋31n +－2n ”(n ∈N *)．(1)设b n ＝23n
n n
a -证明：数列{
b n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n ．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0O 为圆心，椭圆C 的
长半轴长为半径的圆与直线2x y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得
2EA EA AB +⋅
为定值?若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．。