考研数学二(矩阵)模拟试卷5(题后含答案及解析)

考研数学二（矩阵）模拟试卷5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A为n阶方阵，且A的行列式｜A｜=a≠0，A*是A的伴随矩阵，则｜A*｜等于( )
A．a．
B．．
C．an-1．
D．an．
正确答案：C
解析：对AA*=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜｜A*｜=｜｜A｜E｜=｜A｜n．由｜A｜=a≠0，可得｜A*｜=｜A｜n-1=an-1．知识模块：矩阵
2．设A和B都是n阶矩阵，则必有( )
A．｜A+B｜=｜A｜+｜B｜．
B．AB=BA．
C．｜AB｜=｜BA｜．
D．(A+B)一1=A一1+B-1．
正确答案：C
解析：因为｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜A｜=｜BA｜，所以C正确．对于选项A，取B=一A，则｜A+B｜=0，而｜A｜+｜B｜不一定必为零，故A错误．对于选项B，由矩阵乘法不满足交换律知，B不正确．对于选项D，因(A+B)(A-1+B-1)≠E，故D也不正确．知识模块：矩阵
3．设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有( )
A．ACB=E．
B．CBA=E．
C．BAC=E．
D．BCA=E．
正确答案：D
解析：由题设ABC=E，可知A(BC)=E或(AB)C=E，即A与BC以及AB与C均互为逆矩阵，从而有(BC)A=BCA=E或C(AB)=CAB=E，比较四个选项可知应选
D．知识模块：矩阵
4．设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为τ，矩阵B=AC
的秩为r1，则( )
A．r＞r1．
B．r＜r1．
C．r=r1
D．r与r1的关系依C而定．
正确答案：C
解析：因为B=AC=EAC，其中E为m阶单位矩阵，而E与C均可逆，由矩阵的等价定义可知，矩阵B与A等价，从而r(B)=r(A)．所以应选C．知识模块：矩阵
5．设三阶矩阵若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有( )
A．a=b或a+2b=0．
B．a=b或a+2b≠0．
C．a≠b且a+2b=0．
D．a≠b或a+2b≠0．
正确答案：C
解析：根据矩阵A与其伴随矩阵A*秩的关系可知，r(A)=2，即A为降秩矩阵，从而故有a+2b=0或a=b．但当a=b时，r(A)=1．故必有a≠b且a+2b=0，所以应选
C．知识模块：矩阵
6．设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：由题设，有知识模块：矩阵
7．已知矩阵，那么下列矩阵中(1)(2)(3)(4)与矩阵A相似的矩阵个数为( ) A．1．
B．2．
C．3．
D．g．
正确答案：C
解析：二阶矩阵A有两个不同的特征值1和3，因此，那么只要和矩阵A 有相同的特征值，它就一定和A相似，也就一定与A相似．(1)和(2)分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是1和3，所以它们均与A相似，对于(3)和(4)，由可见(4)亦与A相似，而(3)与A不相似．所以应选
C．知识模块：矩阵
8．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=O，则( )
A．E—A不可逆，E+A不可逆
B．E—A不可逆，E+A可逆．
C．E—A可逆，E+A可逆．
D．E—A可逆，E+A不可逆．
正确答案：C
解析：已知(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E．故E —A，E+A均可逆．故应选
C．知识模块：矩阵
9．设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，若｜A｜=2，｜B｜=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：若矩阵A的行列式｜A｜≠0，则A可逆，且的行列，即分块矩阵可逆，那么根据公式有所以应选
B．知识模块：矩阵
填空题
10．设则A2=___________．
正确答案：
解析：因为且矩阵的乘法满足结合律，A3=(αβT)(αβT)(αβT)=α(βT α)(βTα)βT 知识模块：矩阵
11．已知2CA一2AB=C一B，其中，则C3=________．
正确答案：
解析：由2CA一2AB=C—B，得2CA—C=2AB一B，因此有C(2A—E)=(2A —E)
B．知识模块：矩阵
12．设则其逆矩阵A-1=__________．
正确答案：
解析：对已知矩阵和单位矩阵同时作初等变换，即知识模块：矩阵
13．设且r(A)=2，则k=_______．
正确答案：一2
解析：对A作初等变换，因此r(A)=2时，故k=一2．知识模块：矩阵
14．设B是3阶非零矩阵，且AB=O，则a=_________．
正确答案：
解析：因为AB=O，则有r(A)+r(B)≤3，又已知矩阵B≠O，因此r(B)≥1，那么r(A)＜3，则行列式｜A｜=O．而知识模块：矩阵
15．已知n阶矩阵则r(A2一A)=_____________.
正确答案：1
解析：根据A2一A=A(A—E)，已知矩阵．A是可逆矩阵，因此r(A2—A)=r(A —E)，而r(A—E)=1，所以r(A2一A)=1．知识模块：矩阵
16．设n阶矩阵A满足A2=A，E为n阶单位阵，则r(A)+r(A—E)=__________?
正确答案：n
解析：由已知A2=A，则有A(A—E)=A2一A=A—A=O，所以r(A)+r(A—E)≤n又r(A—E)=r(E一A)，则r(A)+r(A—E)=r(A)+r(E—A)≥r(A+E一A)=r(E)=n，因此r(A)+r(A—E)=n．知识模块：矩阵
17．已知矩阵X满足A*X=A一1+2X，其中A*是A的伴随矩阵，则X=_________．
正确答案：
解析：左乘矩阵A，并把等式AA*=｜A｜E代入已知矩阵方程，得｜A｜X=E+2AX，移项可得(｜A｜E一2A)X=E，因此X=(｜AE一2A)-1．已知｜A｜=4，所以知识模块：矩阵
18．已知α1=(1，0，0)T，α2=(1，2，一1)T，α3=(一1，1，0)T，且A α1=(2，1)T，Aα3=(一1，1)T，A)T=(3，一4)T，则A=__________.
正确答案：
解析：利用分块矩阵，得A[α1,α2,α3]=[Aα1，Aα2，Aα3]=，那么知识模块：矩阵
19．设A、B均为3阶矩阵，E是3阶单位矩阵，已知AB=2A+3B，A=则(B一2E)T=________．
正确答案：
解析：利用已知条件AB=2A+3B，通过移、添加项构造出B一2E，于是有AB一2A一3B+6E=6E，则有(A一3E)(B一2E)=6E．从而知识模块：矩阵
20．设且A，B，X满足(E—B—A)TBTX=E，则X-1=__________．
正确答案：
解析：由(E一B一1A)TBTX=E，得[B(E—B-1A)]TX=E，即(BE—BB一1A)TX=E，也就是(B—A)TX=E，因此知识模块：矩阵
21．设矩阵A与相似，则r(A)+r(A一2E)=__________．
正确答案：3
解析：矩阵A与B相似，则A一2E与B一2E相似，结合已知条件，并根据相似矩阵的性质，则有r(A)+r(A一2E)=r(B)+r(B一2E)=2+1=3．知识模块：矩阵
22．设A是一个n阶矩阵，且A2一2A一8E=0，则r(4E—A)+r(2E+A)=__________?
正确答案：n
解析：根据已知A2一2A一8E=O，可得(4E—A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质可知r(4E—A)+r(2E+A)≤n，同时r(4E—A)+r(2E+A)≥r[(4E—A)+(2E+A)]=r(6E)=n，因此r(4E一A)+r(2E+A)=n．知识模块：矩阵
23．设3阶方阵A，B满足关系式A一1BA=6A+BA，且则B=________．
正确答案：
解析：由题设可知，A可逆，已知A一1BA=6A+BA，在该等式的两端右乘A一1，则有A一1B=6E+B，在该等式两端左乘A，可得B=6A+AB，则有(E—A)B=6A，即B=6(E—A)一1A，且知识模块：矩阵
24．设r(A)=2，则a=__________．
正确答案：0
解析：对A作初等行变换，则有即当a=0时，r(A)=2．知识模块：矩阵
25．设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而则r(AB)=_________?
正确答案：2
解析：因为所以矩阵B可逆，因此r(AB)=r(A)=2．知识模块：矩阵
26．设B为3阶非零矩阵，且AB=O，则t=________．
正确答案：一3
解析：因为矩阵B为3阶非零矩阵，并且满足AB=O，因此可见线性方程Ax=0有非零解，因此解得t=一3．知识模块：矩阵
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

27．已知求可逆矩阵P，使P-1AP=A．
正确答案：由得矩阵A的特征值λ1=λ2=3，λ3=0．当λ=3时，有(3E—A)x=0，且得特征向量α1=(1，一2，0)T，α2=(0，0，1)T．当λ=0时，有(OE —Ax)=0，且得特征向量α2=(一1，一1，1)T．那么，令涉及知识点：矩阵
设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．
28．计算并化简PQ；
正确答案：由AA*=A*A=｜A｜E及A*=｜A｜A一1有涉及知识点：矩阵
29．证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA一1α≠b．
正确答案：由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有因为矩阵A可逆，行列式｜A｜≠0，故｜Q｜=｜A｜(b一αTA一1α)．由此可知，Q可逆的充分必要条件是b一αTA-1α≠0，即αTA-1α≠
B．涉及知识点：矩阵
30．设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置．证明：r(A)≤2．
正确答案：r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤r(α)+r(β)≤2．涉及知识点：矩阵
31．设．求An．
正确答案：首先观察涉及知识点：矩阵
32．已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1，1，1，8)，且ABA-1=BA-1+3E，求
B．
正确答案：由题意可知A一1存在，A*=｜A｜A一1两端取行列式可得｜A*｜=｜A｜4｜A-1｜=｜A｜3，因为A*=diag(1，1，1，8)，所以｜A*｜=8，即｜
A｜=2．由ABA-1=BA-1+3E移项并提取公因式得，(A—E)BA-1=3E，右乘A得(A—E)B=3A，左乘A-1得(E—A-1)B=3E．且由已求结果｜A｜=2，知得因此涉及知识点：矩阵
33．设方阵A满足A2一A一2层=0，证明A及A+2E都可逆，并求A一1及(A+2E)一1．
正确答案：由A2一A一2E=0，得A(A—E)=2E．两端同时取行列式｜A(A —E) ｜=2，即｜A｜｜A—E｜=2，故｜A｜≠0，所以A可逆．而由A2一A一2E=0可得A+2E=A2，两端同时取行列式｜A+2E｜=｜A2｜=｜A｜2≠0，所以A+2E也可逆．由A(A—E)=2E，得又A2一A一2E=0，通过添加项并整理可得(A+2E)(A一3E)=一4E，则有(A+2E)-1(A+2E)(A一3E)=一4(A+2E)-1，因此涉及知识点：矩阵。