最新-2021年数学同步优化指导湘教版必修3课件：613 第1课时 表面积公式 精品
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A．21＋ 3 B．18＋ 3 C．21 D．18
【思路探究】 明确三视图对应的几何体是解决该问题的 关键．
解析：由三视图可知，原几何体是一个正方
体截去两个全等的小正三棱锥．如图所示正方体
的表面积为 S＝24，两个全等的三棱锥是以正方
体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的直角边
长为 1 的等腰直角三角形，其表面积的和为 3，三棱锥的底面
2．如图是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用 油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要油漆多少千 克？(无需求近似值)
解：由三视图知，建筑物为一组合体，自上而下分别是圆 锥和正四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为5 m，正 四棱柱的高为4 m，底面为边长为3 m的正方形，圆锥的表面积 为πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π(m2)；四棱柱的一个底面积为9 m2， 正四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m2)，所以外壁面积为24π－9 ＋48＝(24π＋39)(m2)．
侧面展开图
侧面积公式
S 圆柱侧＝cl＝2___π_r_l ___ r 为____底__面__半__径____ l 为____侧__面__母__线__长_____ c 为___圆__柱__底__面__周__长_____
几何体 圆锥
侧面展开图
侧面积公式
1 S 圆锥侧＝__2_c_l__＝___π_rl___ r 为_底__面__半__径_ l 为_侧__面__母__线_ 长 c 为_底__面__周__长_
几何体 圆台 球
侧面展开图
侧面积公式
S 圆台侧＝__12_(_c_＋__c_′__)l____ ＝____π_(r_1_＋__r_2)_l_____ r1 为_上__底__面__半__径_____ r2 为__下__底__面__半__径____ l 为__侧_ห้องสมุดไป่ตู้面__母__线__长_____
S 球＝4πr2
是边长为 2的正三角形，其表面积的和为 3，故所求几何体的
表面积为 24－3＋ 3＝21＋ 3.
答案：A
1.求组合体的表面积的三个基本步骤 (1)要弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什 么． (2)根据组合体的组成形式设计计算思路． (3)根据公式计算求值． 2．求组合体的表面积的解题策略 (1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合 对组合体表面积的影响． (2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体， 要注意新产生的截面和原几何体表面的变化．
第6章 立体几何初步
6.1 空间的几何体
6.1.3 面积和体积公式
第1课时 表面积公式
1．通过对简单几何体侧面展开图的探究，了解侧面积公 式的由来．
2．准确掌握简单几何体的侧面积公式及推导方法．(重点) 3．掌握简单组合体的侧面积的计算．(难点)
圆柱、圆锥、圆台的侧面积及球的表面积
几何体 圆柱
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下课
(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正 方体的对角面得截面，如图②，2r2＝ 2a，r2＝ 22a，所以 S2 ＝4πr22＝2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面 得截面，如图③，所以有 2r3＝ 3a，r3＝ 23a，所以 S3＝4πr23＝ 3πa2.综上可得 S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
1.在处理球和长方体的组合问题时，通常 先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件 求解．
2．球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几 何体的结构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系 建立关于球的半径的等式求解．
3．(1)一几何体的三视图如图所示，若正视图和左视图都 是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面 积为()
A．2π
B．π
C．2
D．1
(2)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和左视图都是
一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的
侧面积是( )
A．6π
B．12π
C．18π
D．24π
解析：(1)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴旋 转一周所得的圆柱的底面半径为1，母线长为1，故侧面积为 2πr·l＝2π·1·1＝2π.故选A．
所以需要油漆(24π＋39)×0.2＝(4.8π＋7.8)(kg)．
球的表面积
有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这 个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求 这三个球的表面积之比．
解：设正方体的棱长为 a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正 方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有 2r1 ＝a，r1＝a2，所以 S1＝4πr21＝πa2.
一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确 定？
提示：不同的展开方式，几何体的展开图不一定相同，表 面积是各个面的面积和，几何体的侧面展开方法可能不同，但 其表面积唯一确定.
旋转体的侧面积与表面积
(1)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，
将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
1．(1)圆柱的底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么
这个圆柱的侧面积是( )
A．4πS
B．2πS
C．πS
D．2
3
3 πS
(2)表面积为 3π 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则
该圆锥的底面直径为________．
解析：(1)设底面半径为 r，则 S＝πr2，则 r＝ Sπ，所以底
面周长为 2πr＝2π Sπ，又侧面展开图为一个正方形，故母线长
为 2πr＝2 Sπ·π，
∴S 侧＝2πr·l＝(2πr)2＝4π2·r2＝4π2(
Sπ)2＝4πS.
(2)设圆锥的底面半径为 R，母线长为 l， 则π2πRRl＋＝ππRl，2＝3π， 解得 R＝1,2R＝2. 答案：(1)A (2)2
组合体的表面积
一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面 积为( )
(2)由该几何体的三视图可知，其为上、下底面半径分别为 1,2，母线长为4的圆台，
∴S侧＝π(1＋2)×4＝12π. 答案：(1)A (2)B
圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤： 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的 轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要 素，代入公式求解即可，基本步骤如下： (1)得到空间几何体的平面展开图； (2)依次求出各个平面图形的面积； (3)将各平面图形的面积相加．
(2)解析：∵长方体的顶点都在球 O 的球面上， ∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径． 设球的半径为 R， 则 2R＝ 32＋22＋12＝ 14． ∴球 O 的表面积为 S＝4πR2＝4π× 2142＝14π． 答案：14π
1．对圆柱、圆锥、圆台的表面积，处理好两个方面的问 题．
(1)利用轴截面平面化； (2)在轴截面中建立高、母线、底面半径的数量关系． 2．对于棱锥、棱台的表面积，求侧面的高是解题的关 键，这就要求在几个特殊直角三角形或直角梯形中建立高、斜 高、底边长的数量关系．
解析：由三视图，可知其直观图为底面是正方形，有一条 侧棱垂直底面的四棱锥．把这个四棱锥看成边长为 1 的正方体， 易求外接球半径 r＝ 23.故外接球的表面积 S＝4πr2＝3π．
答案：3π
(2)(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其 顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．
【思路探究】 明确三视图对应的几何体是解决该问题的 关键．
解析：由三视图可知，原几何体是一个正方
体截去两个全等的小正三棱锥．如图所示正方体
的表面积为 S＝24，两个全等的三棱锥是以正方
体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的直角边
长为 1 的等腰直角三角形，其表面积的和为 3，三棱锥的底面
2．如图是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用 油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要油漆多少千 克？(无需求近似值)
解：由三视图知，建筑物为一组合体，自上而下分别是圆 锥和正四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为5 m，正 四棱柱的高为4 m，底面为边长为3 m的正方形，圆锥的表面积 为πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π(m2)；四棱柱的一个底面积为9 m2， 正四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m2)，所以外壁面积为24π－9 ＋48＝(24π＋39)(m2)．
侧面展开图
侧面积公式
S 圆柱侧＝cl＝2___π_r_l ___ r 为____底__面__半__径____ l 为____侧__面__母__线__长_____ c 为___圆__柱__底__面__周__长_____
几何体 圆锥
侧面展开图
侧面积公式
1 S 圆锥侧＝__2_c_l__＝___π_rl___ r 为_底__面__半__径_ l 为_侧__面__母__线_ 长 c 为_底__面__周__长_
几何体 圆台 球
侧面展开图
侧面积公式
S 圆台侧＝__12_(_c_＋__c_′__)l____ ＝____π_(r_1_＋__r_2)_l_____ r1 为_上__底__面__半__径_____ r2 为__下__底__面__半__径____ l 为__侧_ห้องสมุดไป่ตู้面__母__线__长_____
S 球＝4πr2
是边长为 2的正三角形，其表面积的和为 3，故所求几何体的
表面积为 24－3＋ 3＝21＋ 3.
答案：A
1.求组合体的表面积的三个基本步骤 (1)要弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什 么． (2)根据组合体的组成形式设计计算思路． (3)根据公式计算求值． 2．求组合体的表面积的解题策略 (1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合 对组合体表面积的影响． (2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体， 要注意新产生的截面和原几何体表面的变化．
第6章 立体几何初步
6.1 空间的几何体
6.1.3 面积和体积公式
第1课时 表面积公式
1．通过对简单几何体侧面展开图的探究，了解侧面积公 式的由来．
2．准确掌握简单几何体的侧面积公式及推导方法．(重点) 3．掌握简单组合体的侧面积的计算．(难点)
圆柱、圆锥、圆台的侧面积及球的表面积
几何体 圆柱
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(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正 方体的对角面得截面，如图②，2r2＝ 2a，r2＝ 22a，所以 S2 ＝4πr22＝2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面 得截面，如图③，所以有 2r3＝ 3a，r3＝ 23a，所以 S3＝4πr23＝ 3πa2.综上可得 S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
1.在处理球和长方体的组合问题时，通常 先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件 求解．
2．球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几 何体的结构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系 建立关于球的半径的等式求解．
3．(1)一几何体的三视图如图所示，若正视图和左视图都 是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面 积为()
A．2π
B．π
C．2
D．1
(2)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和左视图都是
一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的
侧面积是( )
A．6π
B．12π
C．18π
D．24π
解析：(1)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴旋 转一周所得的圆柱的底面半径为1，母线长为1，故侧面积为 2πr·l＝2π·1·1＝2π.故选A．
所以需要油漆(24π＋39)×0.2＝(4.8π＋7.8)(kg)．
球的表面积
有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这 个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求 这三个球的表面积之比．
解：设正方体的棱长为 a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正 方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有 2r1 ＝a，r1＝a2，所以 S1＝4πr21＝πa2.
一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确 定？
提示：不同的展开方式，几何体的展开图不一定相同，表 面积是各个面的面积和，几何体的侧面展开方法可能不同，但 其表面积唯一确定.
旋转体的侧面积与表面积
(1)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，
将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
1．(1)圆柱的底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么
这个圆柱的侧面积是( )
A．4πS
B．2πS
C．πS
D．2
3
3 πS
(2)表面积为 3π 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则
该圆锥的底面直径为________．
解析：(1)设底面半径为 r，则 S＝πr2，则 r＝ Sπ，所以底
面周长为 2πr＝2π Sπ，又侧面展开图为一个正方形，故母线长
为 2πr＝2 Sπ·π，
∴S 侧＝2πr·l＝(2πr)2＝4π2·r2＝4π2(
Sπ)2＝4πS.
(2)设圆锥的底面半径为 R，母线长为 l， 则π2πRRl＋＝ππRl，2＝3π， 解得 R＝1,2R＝2. 答案：(1)A (2)2
组合体的表面积
一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面 积为( )
(2)由该几何体的三视图可知，其为上、下底面半径分别为 1,2，母线长为4的圆台，
∴S侧＝π(1＋2)×4＝12π. 答案：(1)A (2)B
圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤： 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的 轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要 素，代入公式求解即可，基本步骤如下： (1)得到空间几何体的平面展开图； (2)依次求出各个平面图形的面积； (3)将各平面图形的面积相加．
(2)解析：∵长方体的顶点都在球 O 的球面上， ∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径． 设球的半径为 R， 则 2R＝ 32＋22＋12＝ 14． ∴球 O 的表面积为 S＝4πR2＝4π× 2142＝14π． 答案：14π
1．对圆柱、圆锥、圆台的表面积，处理好两个方面的问 题．
(1)利用轴截面平面化； (2)在轴截面中建立高、母线、底面半径的数量关系． 2．对于棱锥、棱台的表面积，求侧面的高是解题的关 键，这就要求在几个特殊直角三角形或直角梯形中建立高、斜 高、底边长的数量关系．
解析：由三视图，可知其直观图为底面是正方形，有一条 侧棱垂直底面的四棱锥．把这个四棱锥看成边长为 1 的正方体， 易求外接球半径 r＝ 23.故外接球的表面积 S＝4πr2＝3π．
答案：3π
(2)(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其 顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．