高三物理一轮复习 第4章 曲线运动 万有引力与航天 第4节 万有引力与航天

咐呼州鸣咏市呢岸学校第4节万有引力与
考点一| 开普勒行星运动律
1．第一律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在这些椭圆的一个焦点上．2．第二律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相的时间内扫过相的面积．
3．第三律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相．其表达式为a3 T2＝
k，其中a是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是一个对所有行星都相同的常量．1．(2021·)关于太阳系中各行星的轨道，以下说法中正确的选项是( )
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．有的行星绕太阳运动的轨道是圆
C．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是相同的
D．不同的行星绕太阳运动的轨道都相同
A[八大行星的轨道都是椭圆，A正确，B错误；不同行星离太阳远近不同，轨道不同，半长轴也就不同，C、D错误．]
2．关于行星的运动，以下说法中不正确的选项是( )
A．关于行星的运动，早期有“地心说〞与“日心说〞之争，而“地心说〞容易被人们所接受的原因之一是由于相对运动使得人们观察到太升西落
B．所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，且近地点速度小，远地点速度大
C．开普勒第三律a3
T2
＝k，式中k的值仅与中心天体的质量有关
D．开普勒三律也适用于其他星系的行星运动
B[根据开普勒第二律可以推断出近地点速度大，远地点速度小，应选项B错误．]
3．(2021·温州模拟)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动律可知 ( )
【导学号：81370168】A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相
C．火星与木星公转周期之比的平方于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积于木星与太阳连线扫过的面积
C[太阳位于木星椭圆运行轨道的一个焦点上，不同的行星运行在不同的椭圆轨道上，其运行周期和
速度均不相同，不同的行星相同时间内，与太阳连线扫过的面积不相，A 、B 、D 均错误；由开普勒第三律可知，C 正确．]
考点二| 万有引力律及用
1．万有引力律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量
m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比．
(2)表达式：F ＝G
m 1m 2
r 2
G 为引力常量：G ＝7×10－11 N·m 2/kg 2.
(3)适用条件
①公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点． ②质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离． 2．解决天体(卫星)运动问题的根本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝mω2
r ＝m 4π2
r T
2. (2)在中心天体外表或附近运动时，万有引力近似于重力，即G Mm
R
2＝mg (g 表示天体外表的重力加速度)． 3．天体质量和密度的估算
(1)利用天体外表的重力加速度g 和天体半径R .
由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2
G ，
天体密度ρ＝M V ＝M 43
πR 3＝3g 4πGR
.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .
①由万有引力于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r
3
GT 2
； ②假设天体半径R ，那么天体的平均密度
ρ＝M V ＝M 43
πR
3＝3πr 3
GT 2R 3
.
(2021·10月学考)如图4­4­1所示，“天宫二号〞在距离地面393 km 的近圆轨道运行，万
有引力常量G ＝7×10
－11
N·m 2/kg 2，地球质量M ＝6.0×1024 kg ，地球半径R ＝×103
km.由以上数据可估算
( )
图4­4­1
A ．“天宫二号〞质量
B ．“天宫二号〞运行速度
C ．“天宫二号〞受到的向心力
D ．地球对“天宫二号〞的引力
B [根据万有引力律，F 向＝F 万＝G Mm R 2＝m v 2
R
，其中m 为卫星质量，R 为轨道半径，即地球半径与离地高
度之和，那么G 、M 、R ，可得到运行速度v ，无法得到卫星质量m ，亦无法求得F 向、F 万．应选B.]
1．嫦娥三号远离地球飞近月球的过程中，地球和月球对它的万有引力F 1、F 2的大小变化情况是( )
【导学号：81370169】
A ．F 1、F 2均减小
B ．F 1、F 2均增大
C ．F 1减小、F 2增大
D ．F 1增大、F 2减小
C [根据万有引力律F ＝G Mm
r
2，可知F 1减小、F 2增大，应选C.]
2．地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心之间的距离之比为( )
A ．1∶9
B ．9∶1
C ．1∶10
D ．10∶1
C [设月球质量为m ，那么地球质量为81m ，地月间距离为r ，飞行器质量为m 0，当飞行器距月球为r ′时，地球对它的引力于月球对它的引力，那么G mm 0r ′2＝G 81mm 0
r －r ′
2
，所以
r －r ′
r ′
＝9，r ＝10r ′，r ′∶r ＝1∶10，应选项C 正确．]
3．2015年12月17日，我射了首颗探测“暗物质〞的空间卫星“悟空〞，使我国的空间探测进入了一个阶段．“悟空〞在距地面为h 的高空绕地球做匀速圆周运动，地球质量为 M ，地球半径为R ，引力常量为G ，那么可以求出( )
【导学号：81370170】
A ．“悟空〞的质量
B ．“悟空〞的密度
C ．“悟空〞的线速度大小
D ．地球对“悟空〞的万有引力
C [根据万有引力充当向心力G
Mm
R ＋h
2
＝m
v 2
R ＋h
，可求得“悟空〞的线速度v ＝
GM
R ＋h
，因无法求出“悟空〞的质量，从而无法求出“悟空〞的密度和地球对“悟空〞的万有引力，选项C 正确，A 、B 、D 错误．]
4．对于万有引力律的表达式，以下说法正确的选项是( ) A ．G 是引力常量，是人为规的 B ．当r 于零时，万有引力为无穷大
C ．两物体受到的引力总是大小相，与两物体质量是否相无关
D ．r 是两物体间最近的距离
C [引力常量G 的值是卡文迪许在室里用测的，而不是人为规的，故A 错误；当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用，故B 错误；力是物体间的相互作用，万有引力同样适用于牛顿第三律，即两物体受到的引力总是大小相，与两物体质量是否相无关，故C 正确；r 是两质点间的距离，质量分布均匀的球体可视为质点，此时r 是两球心间的距离，故
D 错误．]
5．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b〞的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b 〞绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1
20
，该中心恒星与太阳的质量比约为( ) 【导学号：81370171】
A.1
10 B ．1 C ．5
D ．10
B [根据万有引力提供向心力，有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得M ＝4π2r 3
GT 2，
所以恒星质量与太阳质量之比为M 恒
M 太
＝r 3行T 2
地
r 3地T 2行＝
⎝⎛⎭⎫1203×⎝⎛⎭
⎫36542≈1，应选项B 正确．] 考点三| 宇宙航行、力学的局限性
1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 2．三个宇宙速度 (1)第一宇宙速度
v 1＝ km/s ，卫星在地球外表附近绕地球做匀速圆周运动的速度，又称环绕速度．
(2)第二宇宙速度
v 2＝1 km/s ，使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度，又称脱离速度．
(3)第三宇宙速度
v 3＝1 km/s ，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度，也叫逃逸速度．
3．第一宇宙速度的推导
方法一：由G Mm R 2＝m v 2
1
R
得v 1＝
GM R
＝×103
m/s. 方法二：由mg ＝m v 2
1
R
得 v 1＝gR ＝×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，
T min ＝2π
R
g
＝5 075 s≈85 min. 4．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v 发＝ km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动． (2) km/s<v 发<1 km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆． (3)1 km/s≤v 发<1 km/s ，卫星绕太阳做椭圆运动．
(4)v 发≥1 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间． 5．力学的局限性
(1)只适用于低速运动，不适用于高速运动． (2)只适用于宏观，不适用微观．
(2021·10月学考)2015年9月20日“六号〞搭载20颗小卫星发射．在多星别离时，小卫
星分别在高度不同的三层轨道被依次释放．假设释放后的小卫星均做匀速圆周运动．那么以下说法正确的选项是( )
图4­4­2
A ．20颗小卫星的轨道半径均相同
B ．20颗小卫星的线速度大小均相同
C ．同一圆轨道上的小卫星的周期均相同
D ．不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同
C [三层轨道高度不同，故r 不同，A 错误；由G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2
r ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r 可知，轨道半径不同，线
速度、角速度大小不同，B 、D 错误；同一轨道，轨道半径相同，周期相同，C 正确．]
(2021·4月学考)12月，我国暗物质粒子探测卫星“悟空〞发射升空进入高为5.0×102
km
的预轨道．“悟空〞卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动．地球半径R ＝×103
km.以下说法正确的选项是( )
图4­4­3
A ．“悟空〞卫星的线速度比同步卫星的线速度小
B ．“悟空〞卫星的角速度比同步卫星的角速度小
C ．“悟空〞卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小
D ．“悟空〞卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小
C [“悟空〞卫星和地球同步卫星都绕地球做匀速圆周运动，满足：G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2
r ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ，“悟空〞卫星轨道半径小，所以线速度大，角速度大，周期小，向心加速度大，所以C 正确．]
1．(2021·高三检测)2013年6月11日17时38分，“神舟十号〞飞船在酒泉卫星发心发射升空，员王亚平进行了首次太空授课．在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小( )
【导学号：81370172】
A ．于 km/s
B ．介于 km/s 和1 km/s 之间
C ．小于 km/s
D ．介于 km/s 和1 km/s 之间 C [卫星在圆形轨道上运动的速度v ＝
GM
r
.由于r >R ，所以v < km/s ，C 正确．] 2．关于地球的第一宇宙速度，以下表述正确的选项是( ) A ．第一宇宙速度又叫环绕速度 B ．第一宇宙速度又叫脱离速度 C ．第一宇宙速度跟地球的质量无关 D ．第一宇宙速度跟地球的半径无关
A [第一宇宙速度又叫环绕速度，故A 正确，
B 错误；根据义有G mM R 2＝m v 2
R
，得v ＝
GM
R
，其中，M 为地球质量，R 为地球半径，故C 、D 错误．]
3．某行星有甲、乙两颗卫星，它们的轨道均为圆形，甲的轨道半径为R 1，乙的轨道半径为R 2，R 2>R 1.根据以上信息可知( )
A．甲的质量大于乙的质量
B．甲的周期大于乙的周期
C．甲的速率大于乙的速率
D．甲所受行星的引力大于乙所受行星的引力
C[轨道半径越小，向心加速度、线速度、角速度越大，周期越小，B错，C对；卫星质量不能比拟，A错；因为两卫星质量不知道，万有引力也不能比拟，D错．]
4．我射的“神舟〞号载人宇宙飞船和人造地球同步通信卫星都绕地球做匀速圆周运动，飞船的轨道半径小于同步卫星的轨道半径．那么可判( )
A．飞船的运行周期小于同步卫星的运行周期
B．飞船的线速度小于同步卫星的线速度
C．飞船的角速度小于同步卫星的角速度
D．飞船的向心加速度小于同步卫星的向心加速度
A[该卫星的质量为m，轨道半径为r，周期T，线速度为v，角速度为ω，向心加速度为a n，地球的
质量为M，由万有引力律得G Mm
r2
＝m
4π2r
T2
＝m
v2
r
＝mω2r＝ma n，故T＝2π
r3
GM
，v＝
GM
r
，ω＝
GM
r3
，a n
＝GM
r2
，因为飞船的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以飞船的运行周期小于同步卫星的运行周期，飞
船的线速度大于同步卫星的线速度，飞船的角速度大于同步卫星的角速度，飞船的向心加速度大于同步卫星的向心加速度，选项A正确，B、C、D错误．]
5.如图4­4­4所示，a、b、c三颗卫星在各自的轨道上运行，轨道半径r a<r b<r c，但三个卫星受到地球的万有引力大小相，那么以下说法正确的选项是( )
图4­4­4
A．三个卫星的加速度为a a<a b<a c
B．三个卫星的线速度为v a<v b<v c
C．三个卫星的质量为m a>m b>m c
D．三个卫星的运行周期为T a<T b<T c
D [卫星的向心加速度a ＝GM r 2，轨道半径越小，向心加速度越大，选项A 错误；卫星的速度v ＝
GM r
，那么轨道半径越小，速度越大，选项B 错误；由于三个卫星受到地球的万有引力大小相，由F ＝G Mm r
2可知，轨
道半径越大，卫星的质量越大，选项C 错误；卫星的运行周期T ＝2πr 3
GM
，所以轨道半径越大，周期越长，选项D 正确．]。