T491-初一数学-预初春 第3讲.含参方程与不等式.小升初联赛预备班

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板块一同解方程（组）
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若两个一元一次方程或二元一次方程组的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式．两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、倍数等等．
含参方程和不等式
8
夯实基础
【例1】⑴若关于x 的方程5342x x =
-和12524a
x ax x -=+有相同的解，求a 的值．⑵已知关于x 的方程1(1)12x k -=-的解与351
148
x k x +--=的解相同，求k 的值.
⑶
若()40k m x ++=和(2)10k m x --=是关于x 的同解方程，求2k
m
-的值．
【解析】⑴
方程5342x x =-的解为8x =-，把8x =-代入12524a x ax x -=+中，求得1
2
a =．
⑵
由1
(1)12
x k -=-，得122x k -=-，12x k =-+由351148
x k x +--=，得()()23518x k x +--=，72x k
=-∵两个方程的解相同，∴1272k k -+=-∴2k =.
⑶
法一：方程()40k m x ++=的解为4x k m -=+，方程(2)10k m x --=的解为1
2x k m
=-，所
以412k m k m -=
+-，所以3m k =，所以523
k m -=-.法二：方程(2)10k m x --=等号两边乘以4-得(48)40m k x -+=，故48k m m k +=-，则
523
k m -=-．【例2】已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程
1
1x p -+=的解．
【解析】由题意可知，312
211n n m m +==-⎧⎧⇒⎨⎨
-==⎩⎩
，故题中的两个方程变为1x p +=和42x p -=，由上述两个方程的解互为相反数可知，1
14205p p p -++=⇒=-，故方程115
x p -+=变为11
1165
5
x x --
=⇒-=，从而可知，5x =-或7x =．【例3】⑴当m =______，n =
时，方程组1210x y x y -=⎧⎨+=⎩的解和方程组5
30mx y x ny -=⎧⎨+=⎩
的解相同．
⑵若关于x y 、的方程组32510x y ax by +=⎧⎨+=⎩与426
218x y bx ay +=⎧⎨+=⎩
的解相同，求a b +的值.
⑶若关于x 、y 的二元一次方程组2351
x y m
x y m +=⎧⎨+=-⎩的解也是方程7x y -=的解，求m 的值．
【解析】⑴方程组1210x y x y -=⎧⎨+=⎩
的解为4
3x y =⎧⎨=⎩，
把43x y =⎧⎨=⎩代入530mx y x ny -=⎧⎨+=⎩中，得4351230m n -=⎧⎨+=⎩，解得24m n =⎧⎨=-⎩
．
⑵将两个不含参数的等式联立得到325426x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1
1x y =⎧⎨=⎩
，
代入10ax by +=中，得到10a b +=.
⑶方程组中的两个方程作差，消掉m 得231x y +=-，
与7x y -=联立得到方程组2317x y x y +=-⎧⎨-=⎩，解得4
3
x y =⎧⎨
=-⎩代入到方程2x y m +=中，得到2m =-．
【例4】⑴已知方程组1620224ax by cx y +=-⎧⎨+=-⎩的解应为8
10x y =⎧⎨=-⎩
，小明解题时把c 抄错了，因此得到的解为
12
13
x y =⎧⎨
=-⎩，则22a b c 2++的值为________.⑵解方程组87ax y x by +=⎧⎨-=⎩时，由于粗心，小明看错了方程组中的a ，得到解为3
5x y =-⎧⎨=⎩，小红看
错了方程组中的b ，得到解为1
10
x y =-⎧⎨=⎩．求方程正确的解．
【解析】⑴将正确解代入方程组得到81016
8200224a b c -=-⎧⎨-=-⎩，化简得到4583a b c -=-⎧⎨=-⎩
③．
小明解题时把c 抄错，意味着a b 、是正确的，即此时错误的解满足方程第一式，
∴121316a b -=-④，3-⨯④③得28b =，得到343a b c =⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
，代入得到
222916934a b c ++=++=.
⑵小明看错了a 意味着b 是正确的，即解满足方程第二式，代入得357b --=；
小红看错了b 意味着a 是正确的，即解满足方程第一式，代入得108a -+=.
解得22a b =⎧⎨=-⎩，代入原方程，解得32
x y =⎧⎨=⎩．
板块二含参方程（组）的解法
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当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成
ax b =的形式，方程ax b =的解根据a b ，的取值范围分类讨论．
探索提升
【例5】解关于x 的方程
⑴ax b =；⑵48x b ax +=-；⑶
()()1
34m x n x m -=-【解析】⑴①当0a ≠时，方程有唯一解b
x a
=．
②当0a =且0b =时，方程有无数个解，解是任意实数．③当0a =且0b ≠时，方程无解．⑵移项合并可得()48a x b -=+，
当4a ≠时，方程的解为8
4
b x a +=
-；当4a =，8b =-时，方程的解为任意实数；当4a =，8b ≠-时，方程无解．
⑶去分母，化简可得：(43)43m x mn m
-=-当34m ≠时，方程的解为4343mn m
x m -=-；
当34m =，3
4n =时，方程的解为任意实数；
当34m =，3
4
n ≠时，方程无解．
【例6】解关于x y ，的方程组13
631ax y x y ⎧
-=-
⎪⎨⎪+=⎩
①②．【解析】3⨯+①②消y 得()320a x +=，
当20a +≠，即2a ≠-时，方程有唯一解0x =，
此时代入①得1
3
y =．
因此原方程组有唯一解013x y =⎧⎪
⎨=⎪⎩．
当20a +=，即2a =-时，方程的解为任意实数，
则原方程组有无穷多组解．
【例7】求a,b 为何值时，方程组()312y ax b
y a x ì=+ïïí
ï=-+ïî
：①有唯一一组解；②有无数组解；③无解.【解析】
方程消去y 化为()312ax b a x +=-+，即()212a x b -=-.
那么这个方程x 有唯一解、有无数解和无解对应于原方程x,y 有唯一解、有无数解和无解.
①有唯一解：0.5a ¹；
②有无数解：0.5,2a b ==；③无解：0.5,2a b =¹.【例8】
若a,b 为定值，关于x 的一元一次方程2236
kx a x bk
+--=，无论k 为何值时，1x =总是它的解.求
23a b +的值.
【解析】
在原方程中代入1x =得到
21236
k a bk
+--=，化简为()4132b k a +=-，它对任何k 都成立.因此
上式视为关于k 的方程，其解为所有数，故4, 6.5b a =-=.
所以23a b +的值为1.
板块三含参的一元一次不等式(组)
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对于含参不等式，未知数的系数含有字母需要分类讨论：如不等式ax b <，
分类情况解集情况0a >时解集为b
x a <．
0a <时解集为b
x a
>.
0a =时
若0b >，则解集为任意实数；若0b ≤，则这个不等式无解．
夯实基础
【例9】解关于x 的不等式：
⑴13kx +>；⑵132kx x +>-；⑶36mx nx +<--；⑷
()2
12
m
x +<【解析】⑴移项得：2
kx >当0k >时，解集为2x k >
当0k <时，解集为2
x k
<
当0k =时，不等式变为02x ⋅>，故不等式无解⑵移项，合并同类项得：()33
k x ->-当30k ->，即3k >时，不等式解集为33
x k ->
-
当30k -<，即3k <时，不等式解集为33
x k -<
-当30k -=时，即3k =时，不等式变为03x ⋅>-，故不等式解集为全体实数.⑶不等式变形得：()9m n x +<-，因不知()m n +的正负性，故分类讨论
①当0m n +>，即m n >-时，解集为9x m n <-
+②当0m n +<，即m n <-时，解集为9
x m n
>-
+③当0m n +=，即m n =-时，不等式无解.
⑷∵210m +>，∴不等式解集为2
2
1
x m <+探索提升
【例10】解关于x 的不等式组()365128
mx mx
mx x m x -<-⎧⎪⎨
+>-+⎪⎩【解析】解()365128mx mx
mx x m x -<-⎧⎪⎨+>-+⎪⎩得8113
4mx <<，
当0m >时，解集为811
34x m m <<
；当0m <时，解集为118
43x m m
<<
；当0m =时，无解.
【例11】已知关于x 的不等式组0521x a x ì-³ï
ïí
ï->ïî
只有4个整数解，那么a 的取值范围是().
【解析】
不等式组化简得：2
x a x ì³ïïíï<ïî.如果它只有四个整数解，那只能是-2,-1,0,1.
因此2x =-满足原不等式组而3x =-不满足，因此23a
a ì-³ïïí
ï-<ïî，故a 的取值范围是32a -<£-.【例12】a 为有理数，关于x 的不等式组520523222x a x a a ì+ïï>ïïï
íï-ï<ïïïî
有_________个整数解.
【解析】不等式组化简得：242x a x a ì>-ï
ïí
ï<ïî
，解得242a x a -<<.讨论a 的值：
(1)如果2a 是整数，那么242a x a -<<这个范围内只有三个整数23,22,21a a a ---，故不等式组有三个整数解.
(2)如果2a 不是整数，那么242a x a -<<这个范围内有四个整数，故不等式组有四个整数解.因此本题答案为3个(如果2a 是整数)或4个(2a 不是整数).
【例13】
如果不等式组0.5222x a b x b a ì+>ï
ïí
ï-<ïî
的解集为12x <<，则_____a b +=.【解析】
不等式组化简得：420.5x b a x a b ì>-ïïíï<+ïî.由题意知，必须14220.5b a a b ì=-ïïíï=+ïî，因此 1.51a b ì=ï
ïí
ï=ïî
，所以 2.5a b +=.
随堂测试
1.当m =________时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同．【解析】方法一：方程5443x x +=-的解为7x =-，方程2(1)2(2)x m m +-=-的解为
362m x -=.由题意解相同，所以3672m --=，解得8
3
m =-.方法二：方程5443x x +=-的解为7x =-，把7x =-代入2(1)2(2)x m m +-=-中，
求得8
3
m =-．
2.已知关于x y 、的方程组354522x y ax by -=⎧⎨+=-⎩与2360
80x y ax by -+=⎧⎨--=⎩
有相同的解，求a b 、的值.
【解析】解得2332a b ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩.3.解关于x 的方程()()()33349m x n m n n ++=-+++【解析】去括号，化简可得：mx n =，
当0m ≠时，方程的解为n
x m
=，
当00m n ==，时，方程的解为任意实数，当00m n =≠，时，方程无解4.、a b 为参数，解不等式513
b
ax x -+>
-【解析】不等式化简为6
3b a x ⎛
⎫+< ⎪⎝
⎭当03b a +>时，解集为183x a b <
+当03b a +<时，解集为183x a b >
+当03b
a +=时，解集为全体实数.
5.解关于x 的不等式组：56
323mx m mx x >⎧⎪
-⎨-<⎪⎩【解析】化简不等式得5
6mx mx >⎧⎨<⎩
，即56mx <<，
当0m >时，不等式组的解集为
5
6x m m <<；当0m <时，不等式组的解集为6
5x m
m
<<
；当0m =时，不等式组无解.。