福建省龙岩二中2018-2019学年高一(上)第一次月考数学试卷(解析版)

2018-2019学年福建省龙岩二中高一（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若全集2，且，则集合A 的真子集共有 U ={1,3}∁U A ={2}()
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
【答案】B 【解析】解：因为2，且，
U ={1,3}∁U A ={2}所以．
A ={1,3}所以A 的真子集有，，，共有三个．
⌀{1}{3}故选：B ．
利用集合补集的定义，确定集合A 的元素个数．
本题主要考查集合关系的确定，比较基础．
2.下列四种函数中，表示同一函数的是 ()
A. 与
B. 与y =x y =x 2x y =x 2y =3x
6C. 与 D. 与y =4lgx y =lgx 4y =2log 2x y =x
【答案】B
【解析】解：对于A ，，与的定义域不同，不是同一函数；
y =x(x ∈R)y =x 2x =x(x ≠0)对于B ，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
y =x 2(x ∈R)y =3x 6=x 2(x ∈R)对于C ，，与的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；
y =4lgx(x >0)y =lgx 4=4lg|x|(x ≠0)对于D ，，与的定义域不同，不是同一个函数．
y =2
log 2x =x(x >0)y =x(x ∈R)故选：B ．判断两个函数的定义域和对应关系是否相同即可．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
3.函数的定义域为 f(x)=1
lg(x +1)+2−x ()
A. B. C. D. (−1,0)∪(0,2]
[−2,0)∪(0,2][−2,2](−1,2]
【答案】A
【解析】解：由题意得：
解得：且，
{x +1>0x +1≠12−x ≥0−1<x ≤2x ≠0故选：A ．
根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．
本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及二次根式的性质，是一道基础题．
4.已知，则 f(x−1)=x 2+4x−5f(x +1)=()
A. B. C. D. x 2+6x x 2+8x +7x 2+2x−3x 2+6x−10
【答案】B
【解析】解：，；
f(x−1)=(x−1)2+6(x−1)∴f(x)=x 2+6x ．
∴f(x +1)=(x +1)2+6(x +1)=x 2+8x +7通过已知的解析式求出的解析式，根据的解析式即可求得的解析式．
f(x−1)f(x)f(x)f(x +1)考查函数的解析式，以及通过解析式先求出解析式，再求解析式的方法．
f(x−1)f(x)f(x +1)5.函数且恒过定点 f(x)=a x−1+1(a >0a ≠1)()
A. B. C. D. (0,1)
(0,2)(1,1)(1,2)
【答案】D 【解析】解：已知函数过定点
y =a x (0,1)函数的图象可由的图象向右平移1各单位，再向上平移1各单位得到f(x)=a
x−1+1y =a x 函数过定点
∴f(x)=a x−1+1(1,2)故选：D ．
由指数函数过定点，由图象变换可得答案
(0,1)本题考查指数函数的图象变换，只需掌握变化口诀“上加下减，左加右减”即可属简单题
.6.三个数，，之间的大小关系是 a =0.32b =log 20.3c =20.3()
A. B. C. D. a <c <b
a <
b <
c b <a <c b <c <a
【答案】C 【解析】解：由对数函数的性质可知：，
b =log 20.3<0由指数函数的性质可知：，
0<a <1c >1
∴b <a <c 故选：C ．
将，分别抽象为指数函数，之间所对应的函数值，利用它们的图象和性质比较，将
a =0.32c =20.3y =0.3x y =2x ，抽象为对数函数，利用其图象可知小于零最后三者得到结论．
b =log 20.3y =log 2x .本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质．
7.如果二次函数在区间上是减函数，则a 的取值范围是 f(x)=x 2+(a−2)x +1(−∞,3]()
A. B. C. D. a >−4
a <−4a ≥−4a ≤−4
【答案】D 【解析】解：二次函数在区间上是减函数，
f(x)=x 2+(a−2)x +1(−∞,3]故：，
−a−22≥3解得：，
a ≤−4故选：D ．
直接利用二次函数的单调性与函数的对称轴的关系建立不等式，进一步求出a 的范围．
本题考查的知识要点：二次函数的对称轴和区间的关系，二次函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
8.已知函数是幂函数，且在上是增函数，则实数 f(x)=(m 2+m−1)x m 2−2m−3x ∈(0,+∞)m =()
A. 或1
B. 1
C. 4
D. −2−2
【答案】D 【解析】解：函数是幂函数，
∵f(x)=(m 2+m−1)x m 2−2m−3可得，解得或．
∴m 2+m−1=1m =1−2当时，函数为在区间上单调递减，不满足题意；
m =1y =x −4(0,+∞)当时，函数为在上单调递增，满足条件．
m =−2y =x 5(0,+∞)故，
m =−2故选：D ．
根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m 的值，再根据单调性进行排除，可得答案．
本题主要考查幂函数的表达形式以及幂函数的单调性属于基础题．
.9.已知函数其中的图象如图所示，则函数的图象是 f(x)=(x−a)(x−b)(a >b)g(x)=a x +b ()
【答案】C
【解析】解：由函数的图象可知，，，则为增函数，当时，，且
−1<b <0a >1g(x)=a x +b x =0y =1+b >0过定点，
(0,1+b)故选：C ．
先由函数的图象判断a ，b 的范围，再根据指数函数的图象和性质即可得到答案．
f(x)本题考查了指数函数和二次函数的图象和性质，属于基础题．
10.已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，设，
f(x)x =1x 2>x 1>1[f(x 2)−f(x 1)](x 2−x 1)<0a =f(−12)，，则a ，b ，c 的大小关系为 b =f(2)c =f(e)()A. B. C. D. c >a >b
c >b >a a >c >b b >a >c
【答案】D 【解析】解：当时，恒成立，
∵x 2>x 1>1[f(x 2)−f(x 1)](x 2−x 1)<0在上单调递减，
∴f(x)(1,+∞)又函数的图象关于直线对称，
∵f(x)x =1，
∴a =f(−12)=f(52)又，，
∵b =f(2)c =f(e)且，在上单调递减，
2<52<e f(x)(1,+∞)，∴f(2)>f(52)>f(e)
，，，
∵a =f(−12)=f(52)
b =f(2)
c =f(e)，∴b >a >c 故选：D ．
由当时，恒成立，可得在上单调递减，又函数的图象关于直x 2>x 1>1[f(x 2)−f(x 1)](x 2−x 1)<0f(x)(1,+∞)f(x)线对称，可得，根据单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系．
x =1a =f(−12)=f(52)本题主要考查了函数单调性定义的灵活应用，考查学生的转化能力，属于中档题．
11.已知函数在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是 f(x)={(1−2a )x ,x ≤1log a x +13,x >1()
A. B. C. D. (0,13][13,12](0,12)[14,13]【答案】A
【解析】解：根据题意，若函数是R 上的减函数，
f(x)={(1−2a )x ,x ≤1log a x +13,x >1则有，{0<1−2a <10<a <11−2a ≥13
解可得，
0<a ≤13即a 的取值范围是
；
(0,13]故选：A ．根据题意，由函数在R 上是减函数，分析可得，解可得a 的取值范围，即可得答案．
{0<1−2a <10<a <11−2a ≥13本题考查函数单调性的应用，涉及分段函数的应用，关键是熟悉函数单调性的定义及性质．
12.设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取
f(x)={|2x +1|,x <1
log 2(x−1),x >1x 1x 2x 3f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)x 1+x 2+x 3值范围是 ()A. B. C. D. (1,8]
(1,3)(1,3](1,8)
【答案】D 【解析】解：作出的函数图象如图所示：
f(x)设，则由图象可知，，
x 1<x 2<x 3x 1+x 2=−12<x 3<9．
∴1<x 1+x 2+x 3<8故选：D ．
作出的函数图象，根据图象得出，，满足的条件和范围，从而得出答案．
f(x)x 1x 2x 3本题考查了方程解与函数图象的关系，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知集合，若，则实数a 的取值集合是______．
A ={x|x 2=4}
B ={x|ax =2}.B ⊆A 【答案】0，{−1,1}
【解析】解：集合，，
∵A ={x|x 2=4}={−2,2}B ={x|ax =2}当时，，当时，
，
a =0B =⌀a ≠0B ={2a }，
∵B ⊆A 或或，∴B =⌀B ={−2}B ={2}当时，；当时，；当时，．
B =⌀a =0B ={−2}a =−1B ={2}a =1实数a 的取值集合是0，．
∴{−1,1}故答案为：0，．
{−1,1}由题意推导出或或，由此能求出实数a 的取值集合．
B =⌀B ={−2}B ={2}本题考查集合的求法，考查子集、空集等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
14.已知函数，则______f(x)={
x +4,x ≤0
x 2−2x,0<x ≤4−x +2,x >4f{f[f(5)]}=【答案】−1
【解析】解：函数，f(x)={
x +4,x ≤0
x 2−2x,0<x ≤4−x +2,x >4则，
f(5)=−5+2=−3．
f[f(5)]=f(−3)=−3+4=1．
∴f{f[f(5)]}=f(1)=12−2×1=−1故答案为：．
−1利用分段函数由里及外逐步求解函数值即可．
本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．
15.已知是定义在R 上的奇函数，当时，，则
的值为______．
f(x)x ≥0f(x)=2x +2x +m f(log 214)【答案】−7
【解析】解：由题意得：，
f(0)=0故，解得：，
f(0)=1+m =0m =−1故，f(x)=2x +2x−1故，
f(log 214)=f(−2)=−f(2)=−(4+4−1)=−7故答案为：．
−7根据函数的奇偶性得到，求出m 的值，从而求出的值，求出
的值即可．
f(0)=0f(2)f(log 214)本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数求值问题，是一道中档题．
16.已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集______．f(x)x ≥0xf(x)<0
【答案】．
(−2,−1)∪(1,2)【解析】解：
∵xf(x)<0当时，，
①x >0f(x)<0结合函数的图象可得，，
1<x <2时，，
(2)x <0f(x)>0根据奇函数的图象关于原点对称可得，，
−2<x <−1不等式的解集为．
∴xf(x)<0(−2,−1)∪(1,2)故答案为：．
(−2,−1)∪(1,2)由是奇函数得函数图象关于原点对称，由可得x 与符号相反，根据奇函数的对称性可求得结果f(x)xf(x)<0f(x)由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.化简或求值：
Ⅰ；
()(27)−13+0.1−2+(279)0.5−3e 0Ⅱ．
()(lg2)2+lg2⋅lg5+(lg2)2−2lg4+4【答案】解：Ⅰ原式分()=(127)13+100+(259)12−3=13+100+5
3−3=99 (5)
Ⅱ原式分()=lg2⋅(lg2+lg5)+(lg2−2)2 (8)
分=lg2+(2−lg2)=2 (10)
【解析】Ⅰ根据指数的运算性质，可得答案．
()Ⅱ根据对数的运算性质，可得答案．
()本题考查的知识点是指数的运算性质和对数的运算性质，难度不大，属于基础题．
18.设全集，集合，
U =R A ={x|x 2−8x <0}B ={x|19≤(1
3)x ≤3}Ⅰ求；；()A ∪B (∁U A)∩B Ⅱ若集合，，求实数a 的取值范围．
()C ={x|a−3≤x ≤2a,a ∈R}B ∩C =B 【答案】解：Ⅰ全集，集合，
()∵U =R A ={x|x 2−8x <0}={x|0<x <8}，
B ={x|19≤(13)x ≤3}={x|−1≤x ≤2}
，
∴A ∪B ={x|−1≤x <8}或，
C U A ={x|x ≤0x ≥8}．∴(∁U A)∩B ={x|−1≤x ≤0}
Ⅱ，集合，，
()∵B ={x|−1≤x ≤2}C ={x|a−3≤x ≤2a,a ∈R}B ∩C =B ，，解得．
∴B ⊆C ∴{a−3<2a a−3≤−12a ≥21≤a ≤2实数a 的取值范围是．
∴[1,2]【解析】Ⅰ求出全集，集合A ，B ，由此能出，，．
()U =R A ∪B C U A (∁U A)∩B Ⅱ由，集合，，得，列出不等式组能求出实数a 的()B ={x|−1≤x ≤2}C ={x|a−3≤x ≤2a,a ∈R}B ∩C =B B ⊆C 取值范围．
本题考查并集、补集、交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查并集、补集、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
19.已知是定义在R 上的奇函数，且当时，．
f(x)x <0f(x)=log 2(4−x)−2求函数的表达式；
(1)f(x)利用定义证明函数在上为单调减函数；
(2)f(x)(−∞,0)若，求a 的取值范围．
(3)f(a−1)+f(3−a 2)<0【答案】解：设，则，
(1)x >0−x <0，
f(−x)=log 2(4+x)−2又由函数为R 上的奇函数，则，
f(x)=−f(−x)=−[log 2(4+x)−2]=−log 2(4+x)+2又由是定义在R 上的奇函数，则，
f(x)f(0)=0则，
f(x)={log 2(4−x)−2,x <0−log 2(4+x)+2,x ≥0证明：设，
(2)x 1<x 2<0则有f(x 1)−f(x 2)=[log 2(4−x 1)−2]−[log 2(4−x 2)−2=log 24−x 1
4−x 2,又由，
x 1<x 2<0则有，则，4−x 1>4−x 2>04−x 14−x 2
>1则有，
log 24−x 1
4−x 2>0即，f(x 1)−f(x 2)>0故在上为单调减函数；
f(x)(−∞,0)是定义在R 上的奇函数，且在上为单调减函数，
(3)f(x)(−∞,0)f(a−1)+f(3−a 2)<0⇒f(a−1)<−f(3−a 2)=f(a 2−3)
则有，
a−1>a 2−3解可得，
−1<a <2即a 的取值范围为．
(−1,2)【解析】根据题意，设，则，由函数的解析式以及奇偶性分析可得时函数的解析式，由奇函(1)x >0−x <0x >0数的性质分析可得，综合三种情况即可得答案；
f(0)=0设，由定义法证明即可得结论；
(2)x 1<x 2<0根据题意，由函数的奇偶性以及单调性分析可得，变形
(3)f(a−1)+f(3−a 2)<0⇒f(a−1)<−f(3−a 2)=f(a 2−3)可得，解可得a 的取值范围，即可得答案．
a−1>a 2−3
本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数单调性的证明与应用，属于基础题．
20.经市场调查，某商品在过去的30天内的销售量单位：件和价格单位：元均为时间单位：天的函数，且
()()t()销售量近似地满足，价格为．
f(t)={10+t,1≤t ≤15
40−t,16≤t ≤30(t ∈N)g(t)=30−t(1≤t ≤30,t ∈N)求该种商品的日销售额与时间t 的函数关系；
(1)ℎ(t)求t 为何值时，日销售额最大？并求出最大值．
(2)【答案】解：当时，，
(1)1≤t ≤15ℎ(t)=f(t)g(t)=(10+t)(30−t)=−t 2+20t +300当时，，16≤t ≤30ℎ(t)=f(t)g(t)=(40−t)(30−t)=t 2−70t +1200该种商品的日销售额与时间t 的函数关系为
∴ℎ(t)；ℎ(t)={−t 2+20t +300,1≤t ≤15
t 2−70t +1200,16≤t ≤30(t ∈N)当时，，
(2)1≤t ≤15ℎ(t)=−t 2+20t +300=−(t−10)2+400当时，此时最大，最大值为400元，
t =10当时，，其对称轴为，
16≤t ≤30ℎ(t)=t 2−70t +1200=(t−35)2+25t =35故函数在单调递减，故当时，最大，最大值为386，
ℎ(t)[16,30]t =16综上所述，当时，日销售额最大，最大值为400元．
t =10【解析】利用，通过t 的范围求出函数的解析式．
(1)ℎ(t)=f(t)⋅g(t)利用分段函数结合二次函数的性质求解函数的最值即可．
(2)本题考查分段函数的应用，实际问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．
21.已知指数函数的图象经过点．
f(x)M(2,9)求的解析式；
(1)f(x)已知函数在区间上的最小值为，求实数m 的值．
(2)g(x)=32x −2mf(x)[1,+∞)−3【答案】解：指数函数的图象经过点，
(1)f(x)M(2,9)设且，可得，解得，
f(x)=a x (a >0a ≠1)a 2=9a =3即；
f(x)=3x
，
(2)g(x)=32x −2mf(x)=32x −2m ⋅3x 设，由可得，
t =3x x ≥1t ≥3设，
ℎ(t)=t 2−2mt =(t−m )2−m 2当时，在递增，可得取得最小值，且为，
m ≤3ℎ(t)t ≥3ℎ(3)9−6m =−3解得，成立；
m =2当时，的最小值为，
m >3ℎ(t)ℎ(m)=−m 2=−3解得，不成立．m =3<3综上可得m 的值为2．
【解析】设且，代入M 的坐标，解方程可得a ，进而得到所求解析式；
(1)f(x)=a x (a >0a ≠1)求得，设，由可得，设，讨论对称轴和区间
(2)g(x)=32x −2m ⋅3x t =3x x ≥1t ≥3ℎ(t)=t 2−2mt =(t−m )2−m 2的关系，结合二次函数的单调性可得所求值．
[3,+∞)本题考查指数函数的解析式和函数的最值求法，注意运用待定系数法和换元法，以及二次函数的最值求法，考查
运算能力，属于中档题．
22.已知定义域在R 的单调函数满足，且，
f(x)f(x +y)=f(x)+f(y)(x,y ∈R)f(2)=4求，；判断函数的奇偶性，并加以证明；
(1)f(0)f(1)(2)f(x)若对于任意都有成立，求实数k 的取值范围．
(3)x ∈[12,1)f(kx 2)+f(2x−1)<0【答案】解：取，得，
(1)x =0f(0+y)=f(0)+f(y)即，，
f(y)=f(0)+f(y)∴f(0)=0，
∵f(2)=f(1)+f(1)=4结合，得，可得；
∴f(2)=42f(1)=4f(1)=2取，得(2)y =−x f(0)=f[x +(−x)]=f(x)+f(−x)=0
移项得f(−x)=−f(x)
函数是奇函数；
∴f(x)是奇函数，且在
上恒成立，(3)∵f(x)f(kx 2)+f(2x−1)<0x ∈[12,1]在上恒成立，
∴f(kx 2)<f(1−2x)x ∈[12,1]又是定义域在R 的单调函数，且，
∵f(x)f(0)=0<f(1)=2是定义域在R 上的增函数．
∴f(x)在上恒成立．
∴kx 2<1−2x x ∈[12,1]在上恒成立．
∴k <(1x )2−2(1x )
x ∈[12,1]令，g(x)=(1x )2−2(1x )=(1x −1)2−1
由于，．
12≤x <1∴1<1x ≤2．
∴g(x )min >g(1)=−1.∴k ≤−1则实数k 的取值范围为．
(−∞,−1]【解析】取代入函数满足的等式，整理可得再根据，结合定义和，算出；
(1)x =0f(0)=0.2=1+1f(2)=4f(1)=2以取代y ，代入函数满足的等式，可得，由此可得是奇函数；
(2)−x f(x)+f(−x)=0f(x)根据函数是单调函数且，得是定义域在R 上的增函数再结合函数为奇函数，将题中不等式转化
(3)f(0)<f(1)f(x).为在上恒成立，最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最小值，可算出k 的取值范围．kx 2<1−2x x ∈[12,1]本题给出抽象函数，求特殊的函数值并讨论函数的单调性与奇偶性，考查了抽象函数的理解与处理、函数的单调性与奇偶性和不等式恒成立问题的处理等知识．。