广西南宁二中、柳州高中2022届高三9月份两校联考数学文试题 Word版含答案

2022届南宁二中、柳州高中两校联考第一次考试 文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合{2,0,1},{|10}A B x x x =-=<->或，则A B ⋂=( ) A ．{}2- B ．{}1 C ．{}2,1- D ．{}2,0,1- 2．复数11i
z i
+=
-(i 为虚数单位)的虚部是( ) A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -
3．“真人秀”热潮在我国愈演愈烈，为了了解同学是否宠爱某“真人秀”节目，在某中学随机调查了110名同学，得到如下列联表： 男 女 总计 宠爱 40 20 60 不宠爱 20 30 50 总计
60
50
110
由()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得()2
2110403020207.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．
附表：
()2
P K k ≥
0.050 0.010 0.001 k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“宠爱该节目与性别有关”
B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“宠爱该节目与性别无关”
C ．有99%以上的把握认为“宠爱该节目与性别有关”
D ．有99%以上的把握认为“宠爱该节目与性别无关” 4．若3
sin 5
α=-
，且α为第三象限角，则()tan 45α+等于( ) A ．7 B ．
1
7
C ．1
D ．0 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12345a a a a a ++=+，560S =，则10a =（ ） A ．16 B ．20 C ．24 D ．26
6．已知,a b 是不共线的向量， 2AB a b λ=+，(1)AC a b λ=+-，且,,A B C 三点共线，则λ=( ) A ．-1 B ．-2 C ．-2或1 D ．-1或2
7．已知圆2
2
20x y x my +-+=上任意一点M 关于直线0x y +=的对称点N 也在圆上，则m 的值为( ) A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．2
8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为
()mod N n m =，例如()112mod 3=，现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n
等于（ ）
A ．21
B ．22
C ．23
D ．24
9．某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是边长为23的正三角形，该几何体的外接球的表面积为（ ）
A ．9π
B ．16π
C ． 24π
D ．36π
10．已知()2sin(2)6
f x x π
=+
，
若将它的图象向右平移6
π
个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴的方程为（ ） A ．12
x π
=
B ．4
x π=
C ．3
x π=
D ．2
x π=
11．已知函数()1x f x e =-，()243g x x x =-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为( ) A ．[22,22]-+ B ．(22,22)-+ C ．[1,3] D ．()1,3
12．已知12,F F 为双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左，右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线1
PF 与圆2
2
2
x y a +=相切，且212||||PF F F =，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
103 B ．43 C ．5
3
D ．2 第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是 ．
14．若变量,x y 满足约束条件20
0220x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =-的最小值等于 ．
15．已知抛物线2
:8C y x =的焦点为F ，准线l ，P 是l 上一点， Q 是直线PF 与C 的一个交点，若
3PF QF =，则||QF = ．
16．已知数列2008，2009，1，-2008，…若这个数列从其次项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2022项之和2018S = ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知32sin a c A =且c b <． （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若4b =，延长AB 至D ，使BC BD =，且5AD =，求ABC 的面积．
18．某商店方案每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利50元．若供大于求，剩余商品全部退回，则每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元．
（Ⅰ）若商店一天购进商品10件，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：件，n N ∈)的函数
解析式；
（Ⅱ）商店记录了50天该商品的日需求量(单位：件)，整理得下表： 日需求量n
8 9 10 11 12 频数
10
10
15
10
5
①假设该店在这50天内每天购进10件该商品，求这50天的日利润(单位：元)的平均数；
②若该店一天购进10件该商品，记“当天的利润在区间[400,550]”为大事A ，求()P A 的估量值． 19．已知三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，D 是BC 的中点，
1160,B BA B D AB ∠=⊥．
（Ⅰ）求证：AC ⊥面11ABB A ；
（Ⅱ）求直线1AC 与平面ABC 所成线面角的正弦值．
20．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点()1,0F ，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q
两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(),0T t ，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由． 21．已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈． （Ⅰ）争辩函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）对任意[1,4)a ∈，且存在3
[1,]x e ∈，使得不等式()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （Ⅰ）求曲线1C 的一般方程和2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线3C 的极坐标方程为()0,R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且,A B 均异于原点O
，且||AB =α的值． 23．选修4-5：不等式选讲
已知函数()|23||21|f x x x =++-． （Ⅰ）求不等式()5f x ≤的解集；
（Ⅱ）若关于x 的不等式()|1|f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．
试卷答案 一、选择题
1-5：CACAD 6-10：DDCBC 11、12：BC
二、填空题
13．
56 14．52- 15．8
3
16．4017 三、解答题
17．【解析】
2sin sin A C A =，
∵sin 0A ≠
∴sin 2
C =， 又c b <，∴3
C π
=
．
（Ⅱ）设BC x =，则5AB x =-，在ABC 中，由余弦定理得
()
2
225424cos 3
x x x π
-=+-⋅⋅，
求得32x =
，即32
BC =， 在ABC 中，ABC 的面积1
sinC 2
S AC BC =
⋅⋅
=13422⨯⨯=． 18．【解析】（Ⅰ）当日需求量10n ≥时，利润为5010(10)3030200y n n =⨯+-⨯=+； 当日需求量10n <时，利润50(10)1060100y n n n =⨯--⨯=-．
所以利润y 与日需求量n 的函数关系式为：30200,10,60100,10,n n n N
y n n n N
+≥∈⎧=⎨
-<∈⎩．
（Ⅱ）50天内有10天获得的利润380元，有10天获得的利润为440元，有15天获得的利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元， ①
380104401050015530105605
47650⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
②大事A 发生当且仅当日需求量n 为9或10或11时．由所给数据知，9n =或10或11的频率为
1015107
5010
f ++=
=，
故()P A 的估量值为0.7．
19．【解析】（Ⅰ）取AB 中点O ，连接1,OD B O ，
1B BA 中，112,2,60AB B B B BA ==∠=，故1AB B 是等边三角形，∴1B O AB ⊥，
又1B D AB ⊥，而1B O 与1B D 相交于1B ，∴AB ⊥面1B OD ， 故AB OD ⊥，又OD AC ∥，所以AC AB ⊥，
又∵侧面11ABB A ⊥底面ABC 于AB ，AC 在底面ABC 内，∴AC ⊥面11ABB A ．
（Ⅱ）过1C 作1C M ⊥平面ABC ，垂足为M ，连接AM ，1C AM ∠即为直线1AC 与平面ABC 所成的角， 由（Ⅰ）知1B O AB ⊥，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，所以1B O ⊥平面ABC ，由等边1AB B 知
113
sin 60232
B O B B =⋅=⨯
=， 又∵11B C ∥平面ABC ， ∴113B O C M ==，
由（Ⅰ）知AC ⊥面11ABB A ，所以1AC AA ⊥，∴四边形11ACC A 是正方形， ∵12AA =，∴122AC =， ∴在1C AM 中，11136
sin 4
22C M C AM AC ∠=
==
， 所以直线1AC 与平面ABC 所成线面角的正弦值为6
4
．
20．【解析】（Ⅰ）由题意知1c =， 又
tan 603b
c
==23b =，2224a b c =+=， 所以椭圆的方程为：22
143
x y +=． （Ⅱ）设直线PQ 的方程为：()()1,0y k x k =-≠，
代入22
143
x y +=，得：()22223484120k x k x k +-+-=， 设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,R x y ，
则212024234x x k x k +==+，()002
3134k
y k x k
=-=-+， 由QP TP PQ TQ ⋅=⋅得：()(2)0PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅=， 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，
直线TR 的方程为：2
22
314()3434k k y x k k k
+=--++， 令0y =得：T 点的横坐标22
21
3344k t k k
==++， 由于()20,k ∈+∞，所以
()
2344,k +∈+∞，所以1
(0,)4
t ∈． 所以线段OF 上存在点(),0T t 使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中1
(0,)4
t ∈．
21．【解析】（Ⅰ）()()1
,0ax f x x x
-'=
> 当0a ≤时， ()0f x '<在()0,+∞上恒成立，函数()f x 在()0,+∞上单调递减， 当0a >时，由()0f x '≤得10x a <≤
；由()0f x '≥，得1x a
≥， ∴()f x 在1
(0,]a 上递减，在1[,)a
+∞上递增．
∴当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减，当0a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递减，在1[,)a
+∞上单调递增．
（Ⅱ）()21ln 2f x bx ax x bx ≥-⇔--≥-， 记()()1ln 0h a ax x x =-->， 则()h a 是递增的函数，
即不等式等价于()()min 212h a bx h bx ≥-⇔≥-， ∴1ln 2x x bx --≥-，即1ln 1x
b x x
≤+
-
，
令()1ln 1x g x x x =+
-，则()2
ln 2x g x x
-'=，令()0g x '=，得2
x e =， 可得()g x 在2
(1,)e 上递减，在2
3
(,)e e 上递增，
3max
()max{(1),g(e )}g x g =，而33313(1)2,()1g g e e e
==+-，
∴max ()2g x =，即2b ≤，实数b 的取值范围是2b ≤． 22．【解析】（Ⅰ）由22cos 2sin x y ϕϕ
=+⎧⎨
=⎩，消去参数ϕ可得1C 一般方程为()22
24x y -+=，
∵4sin ρθ=，∴2
4sin ρρθ=，
由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩，得曲线2C 的直角坐标方程为22
(2)4x y +-=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线22
1:(2)4C x y -+=，其极坐标方程为4cos ρθ=，
由题意设12(,),(,)A B ραρα，则12||||4|sin cos |AB ρραα=-=-
sin()|4
π
α=-=，
∴sin()14
π
α-=±，
∴()4
2
k k Z π
π
απ-
=
+∈，∵0απ<<，∴34
πα=
． 23．【解析】（Ⅰ）原不等式为：|23||21|5x x ++-≤， 能正确分成以下三类：
当32x ≤-
时，原不等式可转化为425x --≤，即73
42x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<；
当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324
x ≤≤．
所以原不等式的解集为73
{|}44
x x -≤≤．
（Ⅱ）由已知函数342,231()4,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪
⎪
=-<<⎨⎪
⎪
+≥⎪⎩
，可得函数()y f x =的最小值为4，
由()|1|f x m <-的解集非空得：|1|4m ->． 解得5m >或3m <-．。