西藏自治区拉萨中学2016-2017学年高二下学期期末考试(第八次月考)数学(文)试题含答案

拉萨中学高二年级（2018届)第八次月考文科数学试卷
（满分150分,考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）
第I 卷（选择题）
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一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分）
1．设集合{
}3,2,1=A ，{}4,3,2=B 则B A = A 。

{
}4,3,2,1 B. {}3,2,1 C. {}4,3,2 D. {}4,3,1 2．（1+i ）（2+i ）=
A 。

1—i
B 。

1+3i C. 3+i D 。

3+3i 3．已知命题x p ∃:， Z y ∈,201522=+y x ，则p ⌝为( ） A 。

2015,,22≠+∈∀y x z y x B. 2015,,22≠+∈∃y x z y x C. 2015,,22=+∈∀y x z y x D. 不存在2015,,22=+∈y x z y x 4．曲线x x y -=22在点（0，0）处的切线方程为（ ） A 。

02=++y x B. 02=+-y x C. 0=-y x D. 0=+y x 5．已知a 为锐角，且5
4
sin =
a ，则)cos(a +π=( ） A ．53- B ．53 C ．5
4- D ．54
6．已知数列{}n a 是递增等比数列，16,174251==+a a a a ，则公比=q A. 4- B.4 C.—2 D.2
7．已知平面向量a 与b
的夹角等于3
π，1,2==b a ，则b a 2-=
A. 2 B 。

5 C. 6 D. 7
8．设偶函数)(x f 的定义域为R ,当[)+∞∈,0x 时)(x f 是增函数,则)3(),(),2(--f f f π的大小关系是（ ） A ．)3()2()(-<-<f f f π B ．)3()2()(->->f f f π C ．)2()3()(-<-<f f f π D ．)2()3()(->->f f f π
9．已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）
A. 52+ B 。

2
53+
C 。

2+25 D. 53+
10．执行右面的程序框图，如果输入的a=-1，则输出的S=
A.2 B 。

3 C 。

4 D.5
11．过抛物线C ：y 2
=4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M(M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN
⊥l ，则M 到直线NF 的距离为
A. 5 B 。

22 C 。

32 D 。

33
12．已知三次函数d cx bx ax x f +++=2
3
)(的图象如图所示,则)
1()
3(f f '-'=（ ）
A.-1
B.2 C 。

-5 D 。

-3
第II 卷（非选择题)
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二、填空题（每小题5分，共20分)
13．若实数y x ,满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-≥-+,3,0,02y y x y x ，则y x z 43-=的最大值是________。

14．中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外"。

其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位,十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，
则5288用算筹式可表示为__________． 15．给出下列四个命题：
①命题“0cos ,>∈∀x R x "的否定是“0cos ,≤∈∃x R x "； ②c b a ,,是空间中的三条直线, b a 的充要条件是b a ⊥且c b ⊥; ③命题“在ABC ∆中,若B A >，则B A sin sin >”的逆命题为假命题；
④对任意实数x ,有)()(x f x f =-,且当0>x 时， 0)(>'x f ，则当0<x 时, 0)(<'x f 。

其中的真命题是______________。

（写出所有真命题的编号） 16．已知函数41)(2
+
-+=b x a x x f (b a ,为正实数）只有一个零点，则b
a 2
1+的最小值为________。

三、解答题(共70分）
17．在ABC ∆中，角A ， B ， C 所对应的边分别为a , b ， c ， C b b a cos =-。

（1）求证： B C tan sin =； （2）若1=a ， 2=b ，求c 。

18．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11010=S ,且421,,a a a 成等比数列
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ)设数列{}n b 满足)
1)(1(1
+-=n n n a a b ,求数列{}n b 前n 项和n T .
19．共享单车的出现方便了人们的出行,深受市民的喜爱．为调查某校大学生对共享单车的使用情况，从该校8000名学生随机抽取了100位同学进行调查，得到这100名同学每周使用共享单车的时间（单位：小时)频率分布直方图.
（1）已知该校大一学生有2400人，求抽取的100名学生中大一学生人数；
（2)根据频率分布直方图求该校大学生每周使用共享单车的平均时间t 。

（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（3）从抽取的100个样本中,用分层抽样的方法抽取使用共享单车时间超过6小时同学5人，再从这5人中任选2人,求这2人使用共享单车时间都不超过8小时的概率。

20．如图所示，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形, ⊥PA 底面ABCD ， 1==BC PA ，2=AB ，
M 为PC 的中点.
(1)指出平面ADM 与PB 的交点N 所在位置,并给出理由； （2)求平面ADM 将四棱锥ABCD P -分成上下两部分的体积比。

21．如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为3
3
点（2,3）为椭圆上的一点.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2）若斜率为k 的直线l 过点)1,0(A ，且与椭圆E 交于C 、D 两点，B 为椭圆E 的下顶点，求证:对于任意的k ,直线BC ，BD 的斜率之积为定值。

22．设函数x e
x x f 2
)(=, )0(ln )(>+=a x a x x g .
（1）求函数)(x f 的极值;
（2）若),0(,21+∞∈∃x x ，使得)()(21x f x g ≤成立，求a 的取值范围.
文数参考答案
1．A 2．B 3．A 4．D 5．A 6．D 7．A 8．D 9．D 10．B 11．C 12．C
13． 14． 15．①④ 16．
17．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ) ．
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据正弦定理变形，可化为，由于待证的是,所以将换成，然后根据公式展开, ,于是有,所以有；（Ⅱ）根据已知条件，当，时，，于是根据余弦定理可以求出的值。

试题解析：(Ⅰ）由根据正弦定理得,
即，
，
，
得．
(Ⅱ)由，且，,得，
由余弦定理, ，
所以．
18．（Ⅰ)；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：(1）利用等比数列的基本性质及等差数列的前项和求出首项和公差，进而求出数列的通项公式；
（2)利用裂项相消法求和.
试题解析：(Ⅰ）由题意知：
解得，故数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ)可知，
则
点睛：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，等的形式，（3)错位相减法求和,一般适用于等差数列乘以等比数列，（4)倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式相加除以2得到数列求和，(5）或是具有某些规律求和。

19．（1）30人;（2）4。

4小时;（3）.
【解析】试题分析:（1）首先根据根据抽取比例，然后再从2400人中按此比例抽取即可（2）取每个区间的中间值乘以对应的频率求和即为平均值（3)根据分层抽样根据（6，8］，（8，10)的频率进行抽取可得使用共享单车时间在(6，8]小时内的有4人，记为A、B、C、D,在（8,10]小时内的有1人，然后写出基本事件找出满足条件的基本事件即可
(1）设抽取的100名学生中大一学生有人，则，，解得,
所以抽取的100名学生中大一学生有30人．
（2）
所以该校大学生每周使用共享单车的平均时间大约为4.4小时．
（3)在100个样本中，任意抽取5人,使用共享单车时间在（6，8]小时内的有4人，记为A、B、C、D，在（8,10]小时内的有1人，记为X，从这5人任选2人的选法为：（A、B)、（A、C）、（A、D）、（A、X）、（B、C)、（B、D）、(B、X）、（C、D）、（C、X)、（D、X），共10中，其中这2人使用共享单车时间都不超过8小时的选法为（A、B）、(A、C）、（A、D）、（B、C）、（B、D)、（C、D)，共6种，
所以,P=.
20．⑴见解析；⑵。

【解析】试题分析：（1）利用三角形中位线定理及其线面平行的判定定理可得截面;
（2）是的中位线，,可得，又，且,利用梯形面积计算公式及其体积计算公式可得四棱锥的体积．四棱锥的体积，可得四棱锥被截下部分体积．
试题解析⑴为中点.理由如下: ，平面，平面
平面又平面,平面平面
又为的中点
为的中点
⑵底面，
又底面为矩形，
平面,又平面
是的中位线,且
，又
点到截面的距离为到直线的距离
四棱锥的体积
而四棱锥的体积
四棱锥被截下部分体积故上、下两部分体积比.
21．(Ⅰ）∵e=3√3,∴c=3√3a,∴a2=b2+(3√3a)2①，
又椭圆过点（3√，2√）,∴3a2+2b2=1②
由①②解得a2=6,b2=4,
所以椭圆E的标准方程为x26+y24=1;
（Ⅱ)证明：设直线l:y=kx+1,
联立⎧⎧⎧⎧⎧x26+y24=1y=kx+1得：(3k2+2)x2+6kx−9=0，
设C（x1，y1）,D(x2,y2)，
则有x1+x2=−6k3k2+2,x1x2=−93k2+2.
易知B（0，−2)，
故kBC⋅kBD=y1+2x1⋅y2+2x2=kx1+3x1⋅kx2+3x2=k2x1x2+3k(x1+x2）+9x1x2
=k2+3k（x1+x2）x1x2+9x1x2=k2+3k⋅2k3−（3k2+2）=−2，为定值。

22．(1）的极大值为，极小值为0;(2).
【解析】试题分析：（1）对函数求导,令得或，进而列表讨论单调性即可得极值；
（2），使得,等价于当时，，进而求最值即可。

试题解析：
（1)由得，令得或。

当变化时，与的变化情况如下表：
0 2
0 0
递减极小值0 递增极大值递减
故函数的极大值为,极小值为0.
（2），使得，等价于当时,
，
由得,
当时，，递减，当时，，递增，
所以当时，.
由(1）知,解得。

故的取值范围是。

点睛:解决本题的关键是确定两个函数的关系,此题中不等式的变量是无关的，所以在找最值时可以淡化一个，只考
虑一个就行,对于，要求存在都要满足不等式，故转化成求在的最大值满足不等式即可，而对于是要求存在满足不等式，故转化为满足不等式即可，即得。