沪教版(上海)数学八年级第二学期20.1 (1) 一次函数的图像 教案

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯
20.2(1) 一次函数的图像
一、教材分析
函数是初高中数学学习的一条主线，它引领我们用运动的观点看问题。

本节课是在学生已学过一次函数的概念以及正比例函数图像画法的基础上进行的，是进一步学习“数形结合”这一数学思想很好的素材；为接下来学习“用函数的观点看方程与不等式”做好准备，在本单元的学习中具有非常重要的地位和作用。

二、目标分析
1、学生运用描点法正确画出一次函数图像，归纳出一次函数图像是一条直线，并从中领
悟函数思想和数形结合思想。

2、学生正确的理解直线截距的意义，并能根据解析式写出直线的截距。

3、学生能运用坐标法和待定系数法计算出直线的解析式及直线与坐标轴的交点坐标。

4、学生在学习过程中体验数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美，从而激发自身
探究数学知识的兴趣。

三、教法分析
根据本节课教学内容的特点和学生的实际情况，在教学过程中我以探究—发现式教学法为主线，借助多媒体，引导学生观察、操作、类比、探究、归纳，以小组讨论形式，进行合作交流，让学生自己发现归纳得出结论。

四、教学重点与难点：
1、会用描点法画一次函数图像，并归纳出一次函数的图像是一条直线。

2、正确理解直线截距的意义，并能根据解析式写出直线的截距。

3、会求直线与坐标轴的交点坐标。

根据以往的教学经验，有些同学会认为截距都是正数，从而误解截距真正的意义；据此我确定本节课的教学难点是：正确理解直线截距的意义。

五、过程分析
本节课的教学流程分为以下六个环节：
导入新课探究发现新知教师指导学生练习归纳小结布置作业
2分钟20分钟15分钟2分钟1分钟
接着我就每个环节做详细说明： （一）情景引入 激发兴趣 我设计了这样两个问题：
1、正比例函数是一次函数，这句话对不对？为什么？
2、正比例函数的图像是什么？怎么画函数1
2
y x =
的图像？为什么可以这么画？ 通过学生的回答，一可以复习一次函数的概念；二可以复习正比例函数图像画法。

（二）动手操作、类比联想、探究归纳、形成概念 设置思考题1，组织学生动手操作。

正比例函数的图像是一条直线，那么一次函数的图像是什么图形呢？我们不妨动手画一个一次函数的图像。

思考题1：怎么画一次函数1
32
y x =+的图像？ 操作
（1）列表：先取自变量x 的一些值，然后让学生计算出相应的y 的函数值。

（2）描点：分别以所取x 的值和相应的y 值作为横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的点。

（3）连线：用光滑的曲线(包括直线)把描出的的这些点联结起来.
为了让学生对一次函数的图像有更深的认识，可组织学生分组操作讨论交流：
可以让四个组的同学分别再画一个一次函数的图像，比如：2y x =+、2y x =-、
21y x =-+、21y x =--，最后让学生归纳出一次函数的图像是一条直线。

PPT ：一次函数图像的意义：
一次函数y=kx+b(其中k 、b 是常数,且k ≠0)的图像是一条直线. 一次函数y=kx+b 的图像 也称为直线y=kx+b. 一次函数解析式y=kx+b 称为直线的表达式. 设置思考题2，启发学生思考一次函数的简便画法
思考题2：现在我们知道了一次函数的图像是一条直线，那么我们有没有更简便的画法画出一次函数的图像呢？如果可以，请说出你的依据。

让学生明确，根据“两点确定一条直线”的基本性质，只需在平面直角坐标系中 描出图像上两个点，再过这两点画直线即为一次函数的图像。

这部分设计的目的是让学生体验类比、归纳以及数形结合的思想，如果学生能准确的画出一次函数的图像或比较准确地说出一次函数的简便画法，则教师应及时给予肯定的评价。

设置思考题3，引入直线的截距概念 思考题3：一次函数12y x =
、1
32
y x =+、2y x =+、2y x =-、21y x =-+、21
y x =--，
它们的图像与y 轴交点的坐标有什么特征？ 学生回答：横坐标都为0；纵坐标等于b 。

PPT ：直线的截距的意义：
一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距。

一般地，直线y=kx+b(k ≠0)与y 轴的交点坐标是(0,b).直线y=kx+b(k ≠0)的截距是b. 注意截距与距离的区别，指出截距可以取任何实数。

（三）指导运用 巩固概念
例1： 在平面直角坐标系xOy 中，画一次函数23
2
-=x y 的图像. 解: 由23
2
-=
x y 可知，当x=0时，y=-2；当y=0时， x=3. 所以A(0,-2)、B(3,0)是函数23
2
-=x y 的图像上的两点.
过点A 、B 画直线，则直线AB 就是函数23
2
-=x y 的图像.（PPT 显示图像）
PPT: 练习1、写出下列直线的截距： (1)y=-4x-2； （223+=x y ；
（3）52--=x y ； （4）1
22
y x =
-
（5）213-+=x y (6)y=8x ；
(7) y=3x-a+1； (8)y=(a+2)x+4 (a ≠-2)； （9）2(1)y x =- （10）3
12
x y -=
+ 说明 本例是巩固学生对直线截距概念的理解, 可由直线的解析式直接确定。

例2： 已知直线y=kx+b 经过A(-20,5)、B(10,20)两点； 求：(1)k 、b 的值； (2)这条直线与坐标轴的交点的坐标.
分析 直线经过点,即点在图像上,所以点的坐标满足直线解析式,根据条件,建立k 、b 的方程组,解方程组,就可求得k 、b 的值.
解 (1)因为直线y=kx+b 经过点A(-20,5)、B(10,20)，所以
⎩⎨⎧=+=+20b 10k 5b 20k - 解得 1215
k b ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
(2)这条直线的表达式为 152
1
+=x y . 由1521+=
x y ,令y=0，得152
1
+x =0，解得x=-30；令x=0，得y=15. 所以这条直线与x 轴的交点的坐标为(-30,0),与y 轴的交点的坐标为(0,15).
说明：本例在采用坐标法的同时，运用待定系数法解决问题，是解决函数问题的非常重要的数学方法.
例3：已知一次函数的图像经过点（1,3--），且与直线21y x =+都通过y 轴上同一点，求这个一次函数的解析式。

解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k ≠0) 根据题意，得
31k b
b -=-+⎧⎨
=⎩ 解得：41k b =⎧⎨=⎩
所以：这个一次函数的解析式为：41y x =+.
（四）练习反馈 强化概念
练习2、在平面直角坐标系xOy 中，画出函数2
23
y x =+的图像，并求这个图像与坐标轴的 交点的坐标.
练习3、已知直线经过点M(3,1)，截距是-5，求这条直线的表达式. 练习4、已知直线y=kx+b 经过点A(-1,2)和B(
2
1
,3),求这条直线的截距. 说明：教学过程中，例题讲解和巩固练习可交错进行. （五）知识小结
学生谈收获和体会。

有助于训练学生概括归纳能力；同时有助于学生在归纳概括过程中把所学知识条理化、系统化；更有利于落实教师主导、学生主体地位。

(六) 布置作业 练习册习题20.2(1) 六、教学设计说明
根据本节课教学内容的特点和学生的实际情况，在教学过程中我采用探究—发现式教学法。

为了解决教学重点1，我的教学过程设计如下：
先通过几个问题，复习一次函数的特殊形式正比例函数的图像是一条直线，引导学生思考一般的一次函数图像是不是也是一条直线，接下来通过描点法印证，在此过程中向学生渗透函数思想和数形结合思想；为了让学生对一次函数的图像有更深的认识，组织学生分组分别再画一个一次函数的图像，再讨论交流归纳出一次函数的图像是一条直线的结论。

在分组画一次函数图像时，有些同学可能会用两点法画一次函数的图像，不妨让这些同学说出“两点确定一条直线”画图依据。

另外要向学生说明画一次函数图像时,通常先描出直线与x 轴、y 轴的交点,再把这两个交点连成一直线即可。

最后再通过例1让学生掌握用两点法画一次函数图像的方法。

为了解决教学重点2也是教学难点，我的教学过程设计如下：
通过分组讨论交流所画六条直线与y 轴交点的纵坐标与其对应的函数解析式的关系，引入直线的截距概念，并强调截距可以取任何实数，再通过练习1巩固学生对直线截距意义的认识。

为了解决教学重点3，我决定采用坐标法的同时，运用待定系数法分析讲解例2。

通过例3的讲解，进一步强化学生对重点和难点的理解和掌握。

在例题的讲解过程中适当的穿插一些练习，提高学生的解题能力。

七、板书设计
一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

这位习惯观察思考的人，突然，对主人家地面上一块块漂亮的正方形大理石感兴趣。

他没有心思听别人闲聊，沉思于脚下排列规则，大小如一的大理石彼此间产生的数的关系中。

他越想越兴奋，完全被自己的思考迷住，索性蹲到地上，拿出笔尺。

在4块大理石拼成的大正方上，均以每块大理石的对角线为边，画出一个新的正方形，他发现这个正方形的面积正好等于2块大理石的面积;他又以2块大理石组成的矩形对角线为边，画成一个更大的正方形，而这个正方形正好等于5块大理石的面积。

于是，毕达哥拉斯根据自己的推算得出结果：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和。

著名的毕达哥拉斯定理就这样产生了。

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