新高考数学的立体几何多选题含解析

新高考数学的立体几何多选题含解析
一、立体几何多选题
1．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上（不含端点）且BE BF =，将AED ，DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A 、C 两点重合于点1A ，则下列结论正确的有（ ）．
A ．1A D EF ⊥
B ．当1
2
BE BF BC ==
时，三棱锥1A F DE -6π C ．当14BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -217 D ．当14BE BF BC ==时，点1A 到平面DEF 的距离为177
【答案】ACD 【分析】
A 选项：证明1A D ⊥面1A EF ，得1A D EF ⊥；
B 选项：当1
22
BE BF BC ==
=时，三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，利用分隔补形法求三棱锥1A EFD -的外接球体积； C 选项：利用等体积法求三棱锥1A EFD -的体积； D 选项：利用等体积法求出点1A 到平面DEF 的距离. 【详解】 A 选项：
正方形ABCD
,AD AE DC FC ∴⊥⊥
由折叠的性质可知：1111,A D A E A D A F ⊥⊥ 又
111A E A F A ⋂=
1A D ∴⊥面1A EF
又
EF ⊂面
1A EF ，
1A D EF ∴⊥；故A 正确.
B 选项：当1
22
BE BF BC ==
=时，112,22A E A F EF ===在1A EF 中，222
11A E A F EF +=，则11A E A F ⊥
由A 选项可知，1111,A D A E A D A F ⊥⊥
∴三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，
把三棱锥1A EFD -
=， 三棱锥1A EFD -
，体积为
3
3
443
3
R ππ==，
故B 错误
C 选项：当1
14
BE BF BC ==
=
时，113,A E A F EF ===在1A EF
中，2
2
2
2
2
2
111
11338cos 2233
9
A E A F EF EA F A E A F
+-
+-∠==
=⋅⨯⨯，
1sin 9
EA F ∠=
则111111sin 332292
A EF
S
A E A F EA F =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=
1111
1
143
3A EFD D A EF A EF V V S
A D --∴==⋅⋅==故C 正确；
D 选项：设点1A 到平面EFD 的距离为h ，则 在EFD △
中，2
222
2
2
5524cos 2255
25
DE DF EF EDF DE DF +-
+-∠==
=
⋅⨯⨯， 7sin 25
EDF ∠=
则1177sin 5522252
EFD
S
DE DF EDF =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=
11
173
323
A EFD DEF
V S
h h -∴=⋅⋅=⨯⨯=
即7
h =
故D 正确； 故选：ACD 【点睛】
方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．
2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 内（含边界）一点．（ ） A
．若1A P P 点有且只有一个
B ．若12A P =，则点P 的轨迹是一段圆弧
C ．若1//A P 平面11B
D C ，则1A P 长的最小值为2
D ．若12
A P =且1//A P 平面11
B D
C ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面的面积为23
π
【答案】ABD 【分析】
选项A ，B 可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD 上，1A P 长的最大值为2；结合以上条件点P 与B 或D 重合，利用12sin 60A P r =︒，求出6
3
r =，进而求出面积. 【详解】
对A 选项，如下图：由13A P =，知点P 在以1A 为球心，半径为3的球上，又因为P 在底面ABCD 内（含边界），底面截球可得一个小圆，由1A A ⊥底面ABCD ，知点P 的轨迹是在底面上以A 为圆心的小圆圆弧，半径为22112r A P A A =-=，则只有唯一一点C
满足，故A 正确；
对B 选项，同理可得点P 在以A 为圆心，半径为22111r A P A A =
-=的小圆圆弧上，在
底面ABCD 内（含边界）中，可得点P 轨迹为四分之一圆弧BD .故B 正确；
对C 选项，移动点P 可得两相交的动直线与平面11B D C 平行，则点P 必在过1A 且与平面
11B D C 平行的平面内，由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD
上，则1A P 长的最大值为12
A B =，则C 不正确； 对选项D ，由以上推理可知，点P 既在以A 为圆心，半径为1的小圆圆弧上，又在线段BD 上，即与B 或D 重合，不妨取点B ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面为11A BC 的外接圆，利用2126622,,sin 603
A B r r S r π
π=
=∴=∴==
︒.故D 正确.
故选：ABD 【点睛】
（1）平面截球所得截面为圆面，且满足222=R r d +（其中R 为球半径，r 为小圆半径，
d 为球心到小圆距离）；
（2）过定点A 的动直线平行一平面α，则这些动直线都在过A 且与α平行的平面内.
3．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，090B F ∠=∠=，0
60,45,A D BC DE ∠=∠==，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是（ ）
A ．BC FM ⊥
B ．A
C 与平面MOF 3
C ．平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°
D ．设平面ABF 平面MOF l =，则有//l AB
【答案】AD 【分析】
证明BC ⊥面FOM 可判断A ；根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ；
利用特殊位置判断C ；先证明//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可判断D ； 【详解】
由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OM OF O ⊥⊥=，
所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥，故A 正确；
因为BC ⊥面FOM ，所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=，所以余弦值为
1
2
，故B 错误； 对于C 选项可以考虑特殊位置法，由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ，所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上，不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ，过点M 作
//BC MN ，连结NF .易证AB ⊥面MNF ，则l ⊥面MNF ，所以MFN ∠为平面MOF
与平面AFB 所成的二面角的平面角，不妨设2AB =，因为060A
，所以
23BC =，则1
3,12
OF BC OM =
==，显然MFN ∠不等于45°，故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ，又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ，OM ⊂面
MOF ，所以//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可得：//l AB ，故D 正确； 故选：AD.
【点睛】
方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
4．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）
A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11
B F CD ⊥
B ．直线1B F 与直线B
C 所成角可能为30︒
C ．平面1A BE 与平面11CD
D C 所成锐二面角的正切值为22
D ．设正方体棱长为1，则过点
E ，
F ，A 的平面截正方体所得的截面面积最大为5 【答案】AC 【分析】
取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，易证得平面1//B MN 平面1A BE ，可得点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，根据等腰三角形的性质得1B F MN ⊥，即有11B F CD ⊥，A 正确；当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，可判断B 错误；根据平面1//B MN 平面1A BE ，11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，计算可知C 正确；
【详解】
取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，
1//MN A B ，从而平面1//B MN 平面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ．
取MN 的中点F ，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；
设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=
1tan 3023
︒<=，所以B 错误； 平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11
111tan B C B FC C F
∠==22，所以C 正确；
因为当F 为1C E 与MN 的交点时，截面为菱形1AGC E （G 为1BB 的交点），面积为
6
2
，故D 错误. 故选：AC.
【点睛】
本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题．
5．如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将ADE 沿AE 翻折成
SAE △，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A ．存在点E 和某一翻折位置，使得S
B SE ⊥ B ．存在点E 和某一翻折位置，使得//AE 平面SBC
C ．存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°
D ．存在点
E 和某一翻折位置，使得二面角S AB C --的大小为60° 【答案】ACD 【分析】
依次判断每个选项：当SE CE ⊥时，⊥SE SB ，A 正确，//AE 平面SBC ，则
//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，
计算得到2
cos 3
α=
，C 正确，取二面角D AE B --的平面角为60︒，计算得到5
tan θ=
，故D 正确，得到答案. 【详解】
当SE CE ⊥时，SE AB ⊥，SE SA ⊥，故SE ⊥平面SAB ，故⊥SE SB ，A 正确；
若//AE 平面SBC ，因AE ⊂平面ABC ，平面ABC 平面SBC BC =，则//AE CB ，
这与已知矛盾，故B 错误；
如图所示：DF AE ⊥交BC 于F ，交AE 于G ，S 在平面ABCE 的投影O 在GF 上， 连接BO ，故SBO ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角，
取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，3DE =，故5AE DF ==，
1CE BF ==，125DG =
，12cos 5OG α=
，故只需满足12
sin 5
SO OB α==， 在OFB △中，根据余弦定理：
2
2
2
1213121312sin 1cos 2cos cos 55555OFB ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---∠ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得2cos 3α=，故C 正确； 过O 作OM
AB ⊥交AB 于M ，则SMO ∠为二面角S AB C --的平面角，
取二面角D AE B --的平面角为60︒，故只需满足22DG GO OM ==，
设OAG OAMθ∠=∠=
，
84ππ
θ
<<
，则2
2
DAG
π
θ
∠=-，
tan
tan2
2
DG OG
AG
πθ
θ
==
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，化简得到2tan tan21
θθ=，解得5
tan
5
θ=，验证满足，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】
本题考查了线线垂直，线面平行，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力，推断能力和空间想象能力.
6．如图四棱锥P ABCD
-，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为26的正三角形，底面ABCD为矩形，23
CD=，点Q是PD的中点，则下列结论正确的是（）
A．CQ⊥平面PAD
B．PC与平面AQC
22
C．三棱锥B ACQ
-的体积为62
D．四棱锥Q ABCD
-外接球的内接正四面体的表面积为3
【答案】BD
【分析】
取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可. 【详解】
解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ， 因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ， 因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，
所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，
建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，
(P C B ，
因为点Q 是PD
的中点，所以Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，
6(
QC =，显然 m 与QC 不共线， 所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；
3632
(6,23,32),(
,0,),(26,PC AQ AC =-=
=， 设平面AQC 的法向量为(,,
)n x y z =，则
36022260n AQ x z
n AC
⎧⋅=+=⎪
⎨
⎪⋅=+=
⎩
， 令=1x ，则y z ==， 所以(1,2,n =-， 设PC 与平面AQC 所成角为θ，
则21
sin 3
6n PC n PC
θ⋅=
=
=， 所以cos 3
θ=
，所以B 正确； 三棱锥B ACQ -的体积为
1
132
B ACQ Q AB
C ABC
V V S
OP --==⋅
111
2326326322=⨯⨯⨯⨯⨯=， 所以C 不正确；
设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为(0,3,)M a ，则MQ MD =，
所以()
()()
2
2
2
2
2
26323
6
3
2a a ⎛⎫⎛⎫
+
+-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭，
解得0a =，即(0,3,0)M 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，
设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，
故正方体的棱长为22x ，所以2
2
236x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，得224x =， 所以正四面体的表面积为2
342434
x ⨯=，所以D 正确. 故选：BD
【点睛】
此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.
7．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形ABCD ，11BCC B 的中心.则下列结论正确的是（ ）
A ．平面1D MN 与11
B
C 的交点是11B C 的中点 B ．平面1
D MN 与BC 的交点是BC 的三点分点 C ．平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点 D ．平面1D MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶1 【答案】BC 【分析】
取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ，连FM 并延长分别交,BC AD 于
,P Q ，连1,D Q PN 并延长交11B C 与H ，平面四边形1D HPQ 为所求的截面，进而求出
,,P Q H 在各边的位置，利用割补法求出多面体11QPHD C CD 的体积，即可求出结论.
【详解】
如图，取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ， 连接FM 并延长，设FM BC P ⋂=，FM AD Q ⋂=， 连接PN 并延长交11B C 于点H .连接1D Q ，1D H ，
则平面四边形1D HPQ 就是平面1D MN 与正方体的截面，如图所示.
111111
////,22
NE CC DD NE CC DD ==，
NE ∴为1DD F ∆的中位线，E ∴为DF 中点，连BF ， ,,90DCE FBE BF DC AB FBE DCE ∴∆≅∆==∠=∠=︒， ,,A B F ∴三点共线，取AB 中点S ，连MS ，
则12//,,23
BP FB MS BP MS BC MS FS =
∴==， 22111
,33236
BP MS BC BC PE BC ∴=
=⨯=∴=， E 为DF 中点，11
//,233
PE DQ DQ PE BC AD ∴==
= N 分别是正方形11BCC B 的中心，1111
3
C H BP C B ∴==
所以点P 是线段BC 靠近点B 的三等分点，
点Q 是线段AD 靠近点D 的三等分点， 点H 是线段11B C 靠近点1C 的三等分点. 做出线段BC 的另一个三等分点P '， 做出线段11A D 靠近1D 的三等分点G ，
连接QP '，HP '，QG ，GH ，1H QPP Q GHD V V '--=， 所以111113
QPHD C CD QPHQ DCC D V V V -==多面体长方体正方体 从而平面1D MN 将正方体分成两部分体积比为2∶1. 故选:BC.
【点睛】
本题考查直线与平面的交点及多面体的体积，确定出平面与正方体的交线是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.
8．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（ ）
A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1D
B ．三棱锥P ﹣A 1
C 1
D 的体积为定值
C ．异面直线AP 与A 1
D 所成角的取值范用是[45°，90°] D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为63
【答案】ABD 【分析】
在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C ∥平面 A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P
﹣A1C1D的体积为定值；在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法
能求出直线C1P与平面A1C1D 所成角的正弦值的最大值为
6
3
．
【详解】
解：在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，
∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，
∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；
在B中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，
∴B1C∥平面A1C1D，
∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，
又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故B正确；
在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]，故C错误；
在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，P（a，1，a），
则D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），
1
DA＝（1，0，1），
1
DC＝（0，
1，1），
1
C P＝（a，0，a﹣1），
设平面A1C1D的法向量()
,,
n x y z
=，
则1
1
n DA x z
n DC y z
⎧⋅=+=
⎪
⎨
⋅=+=
⎪⎩
，取x＝1，得1,1,1
n，
∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为：
1
1
||
||||
C P n
C P n
⋅
⋅
＝
22
(1)3
a a
+-⋅
＝
2
11
32()
22
a
⋅-+
，
∴当a＝1
2
时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
6
，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】
求直线与平面所成的角的一般步骤：
（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解； （2）、用空间向量坐标公式求解.
9．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱
1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）
A ．四边形1BFD E 有可能是梯形
B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形
C ．四边形1BF
D
E 有可能垂直于平面11BB D D D ．四边形1BFD E 面积的最小值为62
【答案】BCD 【分析】
四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面
11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 6
【详解】
过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ， 如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E 平面11ABB A BE =.
平面1BFD E
平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，
故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；
对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面
1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；
对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为16
2322
⨯⨯=
，因此D 正确. 故选：BCD
【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.
10．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为
2，则（ ）
A ．BF ⊥平面EAB
B ．该二十四等边体的体积为
20
3
C ．该二十四等边体外接球的表面积为8π
D ．PN 与平面EBFN 2 【答案】BCD 【分析】
A 用反证法判断；
B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；
C 先找到球心与半径，再
计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．
【详解】
解：对于A ，假设A 对，即BF ⊥平面EAB ，于是BF AB ⊥，
90ABF ∠=︒，但六边形ABFPQH 为正六边形，120ABF ∠=︒，矛盾， 所以A 错；
对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，
则该二十四等边体的体积为3
112028111323
-⋅⋅⋅⋅⋅=，
所以B 对；
对于C ，取正方形ACPM 对角线交点O ， 即为该二十四等边体外接球的球心， 其半径为2R =
，其表面积为248R ππ=，所以C 对；
对于D ，因为PN 在平面EBFN 内射影为NS ， 所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠， 其正弦值为
2
2
PS PN ==，所以D 对． 故选：BCD ．
【点睛】
本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题．。