内积空间强凹与强中凹函数的刻画
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ｓｒ ｎ ｌ ｏ ｖ ｘａ ｄ ｓｒｎ ｌ ｄ ｏ ｃ ｖ ｕ ｃｉｎ ａ ｅｉｎ ｒｓ ａ ｅ ． ｔ ｇｙ ｃ ｎ ｅ ｔｏ ｇｙ ｍｉｃ ｎ ａ ｅｆｎ ｔ ｒ ｎ ｅ ｐ ｃ ｓ ｏ ｎ ｏ
Ｋｅ ｏｄ ： ｎｒ ｒ ｕｔｐｃ；ｔｎｌ ｃｎａｅ ｕｃｏ ；ｒ ｇ ｉ ｏｃｖ ｎｔｎ ｙｗ ｒｓｉ ｅ ｏ ｃ ｓａｅｓｏｇ ｏｃｖ ｎｔ ｎｓｏｌ ｍｄ ｎａｅ ｕｃｏ ｎ ｐｄ ｒ ｙ ｆ ｉ ｔｎ ｙ ｃ ｆ ｉ
满 足 ： ， ∈Ｄ， ∈（ １ 有 ： Ｖ ｔ ０， ）， ｆ（ｘ＋ （ ｔ １一ｔ Ｙ））≥ 矿（ ）＋ （１一ｔ ） ）
许 多 种 条 件 来 刻 划 内 积 空 间 Ｉ ． 本 文 中 ， ４
Ｙ ＋ ｔ１ ￡Ｉ 一 ｌ ） Ｃ（ 一）｛ ｙ
１
（） １
首先 引入 强 凹与 强 中凹 函数 ， 后研 究 这 两 然
ＺＨＡ ＮＧ Ｘｉ ｏ ａ ａｙｎ
（ｃｏｌ ｆ ａｈｍ ｔｓ ｎ ｈｓ ｓ Ｈ ａｇｈ ｓｔｔ ｏ ｅｈ￣ｇ， ｕｎｓｉ ｂｉ ３０３ Ｓｈｏ ｔｅ ａｃ ｄＰ ｙｉ ， ｕｎｓｉｎｔｕｅ ｆ ｃｏ ｙ Ｈ ａｇｈ Ｈｕｅ ４５０ ） ｏＭ ｉ ａ ｃ Ｉ ｉ Ｔ
Ａ ｓ ａｔＩ ｉｐｐｒ ｔ ｒｎｌ ｃｎａｅ ｕｃｏ ｅｎｄ Ｔ ｅ ｅ ｔｎｈ ｓ ｅ ｅｎｓｏｇ ｏｖｘ ｂｔ ｃ： ｔ ｓ ａｅ ， ｅ ｔ ｇ ｃｖ ｆ ｔｎｉ ｄｆ ｅ． ｈ ｌ ｉ ｓｉ ｔ ｅ ｒ ｌ ｃｎｅ ｒ ｎ ｈ ｈ ｓｏ ｙ ｏ ｎｉ ｓ ｉ ｒ ａｏ ｐ ｂ ｗ ｔｎ ｙ
关键词 ： 内积空间； 强凹函数 ； 中凹函数 强
中图分 类号 ： ７ ．３ ０１４ １
文 献标 识码 ： Ａ
文章编 号 ：０ ８ ２ ５ ２ １ ） ２一 ０ ４— ２ １０ —８４ （ ０ １ ０ ｏ ４ ０
Ｃｈ ｒ ｃ ｅ ｉ ａ ｉ ｎ ｆＩ ｎ ｒ Ｐｒ ｄ ｃ ｐ ｃ ｓ ｂ ａ ａ ｔ ｒｚ ｔｏ ｓ ｏ ｎ ｅ ｏ ｕ ｔＳ ａ ｅ ｙ Ｓ ｒ ｎ ｌ ｎ ａ ｅ ａ ｄ Ｓ ｒ ｎ ｌ ｉ ｃ ｎ ａ ｅ Ｆｕ ｃ ｉ ｎ ｔ ｏ ｇ ｙ Ｃｏ ｃ ｖ ｎ ｔ ｏ ｇ ｙ Ｍ ｄ ｏ ｃ ｖ ｎ ｔｏ ｓ
说 赋范 空 间（ ， －Ｉ 内积 空 间当且 仅 当 Ｉ ）是 对 于范数 『 ｆ Ｊｒ ｎ—Ｖ ｎＮ ｕ ａ 平 行 四 ｆ Ｊ ｏａ ・的 ｄ ｏ ｅｍ ｍ
边 形 律 成 立 ． 赋 范 空 间 中 ， 们 可 以 找 到 在 人
函 数 厂： 足 叫 做 关 于 Ｃ 的 强 凹 函 数 是 指 它 Ｄ一
收 稿 日期 ：０ １— ２— ８ ２１ ０ ０ ・基金项 目： 湖北省教育厅科学研究重点项 目（ 目编号：２ １４ １ ） 项 Ｂ ０ １４ ０ 。
作者简介 ： 张晓燕 （９９ １７ 一
）女 ， ， 湖北蕲春人 ， 讲师 ， 硕士。
第 ２期
张晓燕 ： 内积 空 间强 凹 与强 中 凹 函数 的刻 画
内积 空 间强 凹与 强 中 凹 函数 的 刻 画 水
张晓 燕
（ 黄石理工 学院 数 理 学院， 湖北 黄石 ４５０ ） ３０３
摘 要： 引人 了 ｘ中强凹函数的定义 ， 研究了强凹函数与凹函数之间的关系 ， 利用这种关系给出了具
有强 凹 与强 中凹函数 的赋 范空 间为 内积 空间 的刻 划 ．
（
） ≥
＋Ｃ Ｉ － Ｉ （ ） Ｉ ｙＩ ２ ｘ
（ ２ ） ＝ ｇ （坐
ｃ
一
２） ｃ 一 Ｉ
＋
我 们 知 道 ， 式 （１ 当 ）或 式 （ ２）中 Ｃ ＝０ 时， 厂为 凹 函 数 （ 中 凹 函 数 ） 下 面 引 理 给 或 ． 出 了 强 凹 （ 中 凹 ）函 数 与 凹 （ 凹 ）函 数 的 强 中 关 系．
０ 引 言
设 （ ０ ｌ 是一 赋 范空 间 ， Ｊｒ ｎ— ｘ， ・Ｉ ） 则 ｏａ ｄ
１ 定 义 及 引 理
首 先 ， 们 给 出 强 凹 与 强 中 凹 函 数 的定 我
ＶｎＮｕ ａ ｏ ｅｍ ｒ 行 四边 形 律 ｆ ＋， ＋ 一 ｌ ｎ平 Ｉ ）Ｉ ｙｌ 义 ． ｘ ｆ 定 义 １ 设 （ ９・Ｉ 是 一 个 实赋 范空 ｘ， 【 ） ＝２ ｌ ＋２Ｊ ｌ， Ｅ 成 立 ，当且 仅 当 Ｊ ｙ ， ｌ Ｄ Ｃ是 一 个 正 实 数 ． Ｉ Ｉ 数是 从 一个 内 积导 出 的 ２．也 就 是 间 ， 是 ｘ 的 一 个 凸 子 集 ， ｌ Ｉ ・范 Ｉ 】
第２ ７卷
第 ２期
黄
石
理
工
学
院
学
报
Ｖ０． ７ Ｎ ． １２ ｏ ２ Ａｒ ｐ． ２ Ｉ ０Ｉ
பைடு நூலகம்
２ １ 年 ４月 ０１
Ｊ ＵＲ Ｏ ＮＡＬ Ｏ ＡＮＣ ＨＩＩ Ｓ Ｆ ＨＵ Ｓ Ｎ Ｔｎ１ Ｅ ＨＮ Ｏ ＩＩ ＯＦＴ Ｃ ＯＬ ＧＹ Ｉ Ｅ
ｄｉ１ ．９ ９ ｊｉ ｎ １０ ８ ４ ．０ １ ０ ． １ ｏ：０ ３ ６ ／ ． ｓ ．０ ８— ２ ５ ２ １ ．２ ０ ０ ｓ
ａ ｄ ｃ ｎ ｅ ｕ ｃｉｎ ｒ ｔｄｅ ｎ ｏ ｖ ｘｆ ｎ ｔ ｓ ａｅ ｓｕ ｉｄ．ｂ ｉｈ ｃ ａａ ｔｒｚｔｏ ｓ ｉ ｉｅ ｎ ｗｈｃ ｏｍｅ ｐ ｃ ｔ ｅ ｏ ｙ ｗｈｃ ｈ ｒｃｅ ａｉｎ ｓ ｓｖ ｎ ｉ ｉｈ ａ ｎ ｒ ｄ ｓ ａ ｅ ｗｉ ｔ ｉ ｈｈ
类 函 数 与 凹 函 数 的 关 系 ． 后 给 出具 有 强 凹 最 与 强 中 凹 函 数 的 赋 范 空 间 为 内 积 空 间 的 刻
划．
如果式（ ） １ 只有在 ￡ ＝÷时成立 ， 则我们
称 ，为 关 于 Ｃ 的 强 中 凹 函数 ， 就 是 Ｖ ， 也 Ｙ∈
Ｄ， ： 有
Ｋｅ ｏｄ ： ｎｒ ｒ ｕｔｐｃ；ｔｎｌ ｃｎａｅ ｕｃｏ ；ｒ ｇ ｉ ｏｃｖ ｎｔｎ ｙｗ ｒｓｉ ｅ ｏ ｃ ｓａｅｓｏｇ ｏｃｖ ｎｔ ｎｓｏｌ ｍｄ ｎａｅ ｕｃｏ ｎ ｐｄ ｒ ｙ ｆ ｉ ｔｎ ｙ ｃ ｆ ｉ
满 足 ： ， ∈Ｄ， ∈（ １ 有 ： Ｖ ｔ ０， ）， ｆ（ｘ＋ （ ｔ １一ｔ Ｙ））≥ 矿（ ）＋ （１一ｔ ） ）
许 多 种 条 件 来 刻 划 内 积 空 间 Ｉ ． 本 文 中 ， ４
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１
（） １
首先 引入 强 凹与 强 中凹 函数 ， 后研 究 这 两 然
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（ｃｏｌ ｆ ａｈｍ ｔｓ ｎ ｈｓ ｓ Ｈ ａｇｈ ｓｔｔ ｏ ｅｈ￣ｇ， ｕｎｓｉ ｂｉ ３０３ Ｓｈｏ ｔｅ ａｃ ｄＰ ｙｉ ， ｕｎｓｉｎｔｕｅ ｆ ｃｏ ｙ Ｈ ａｇｈ Ｈｕｅ ４５０ ） ｏＭ ｉ ａ ｃ Ｉ ｉ Ｔ
Ａ ｓ ａｔＩ ｉｐｐｒ ｔ ｒｎｌ ｃｎａｅ ｕｃｏ ｅｎｄ Ｔ ｅ ｅ ｔｎｈ ｓ ｅ ｅｎｓｏｇ ｏｖｘ ｂｔ ｃ： ｔ ｓ ａｅ ， ｅ ｔ ｇ ｃｖ ｆ ｔｎｉ ｄｆ ｅ． ｈ ｌ ｉ ｓｉ ｔ ｅ ｒ ｌ ｃｎｅ ｒ ｎ ｈ ｈ ｓｏ ｙ ｏ ｎｉ ｓ ｉ ｒ ａｏ ｐ ｂ ｗ ｔｎ ｙ
关键词 ： 内积空间； 强凹函数 ； 中凹函数 强
中图分 类号 ： ７ ．３ ０１４ １
文 献标 识码 ： Ａ
文章编 号 ：０ ８ ２ ５ ２ １ ） ２一 ０ ４— ２ １０ —８４ （ ０ １ ０ ｏ ４ ０
Ｃｈ ｒ ｃ ｅ ｉ ａ ｉ ｎ ｆＩ ｎ ｒ Ｐｒ ｄ ｃ ｐ ｃ ｓ ｂ ａ ａ ｔ ｒｚ ｔｏ ｓ ｏ ｎ ｅ ｏ ｕ ｔＳ ａ ｅ ｙ Ｓ ｒ ｎ ｌ ｎ ａ ｅ ａ ｄ Ｓ ｒ ｎ ｌ ｉ ｃ ｎ ａ ｅ Ｆｕ ｃ ｉ ｎ ｔ ｏ ｇ ｙ Ｃｏ ｃ ｖ ｎ ｔ ｏ ｇ ｙ Ｍ ｄ ｏ ｃ ｖ ｎ ｔｏ ｓ
说 赋范 空 间（ ， －Ｉ 内积 空 间当且 仅 当 Ｉ ）是 对 于范数 『 ｆ Ｊｒ ｎ—Ｖ ｎＮ ｕ ａ 平 行 四 ｆ Ｊ ｏａ ・的 ｄ ｏ ｅｍ ｍ
边 形 律 成 立 ． 赋 范 空 间 中 ， 们 可 以 找 到 在 人
函 数 厂： 足 叫 做 关 于 Ｃ 的 强 凹 函 数 是 指 它 Ｄ一
收 稿 日期 ：０ １— ２— ８ ２１ ０ ０ ・基金项 目： 湖北省教育厅科学研究重点项 目（ 目编号：２ １４ １ ） 项 Ｂ ０ １４ ０ 。
作者简介 ： 张晓燕 （９９ １７ 一
）女 ， ， 湖北蕲春人 ， 讲师 ， 硕士。
第 ２期
张晓燕 ： 内积 空 间强 凹 与强 中 凹 函数 的刻 画
内积 空 间强 凹与 强 中 凹 函数 的 刻 画 水
张晓 燕
（ 黄石理工 学院 数 理 学院， 湖北 黄石 ４５０ ） ３０３
摘 要： 引人 了 ｘ中强凹函数的定义 ， 研究了强凹函数与凹函数之间的关系 ， 利用这种关系给出了具
有强 凹 与强 中凹函数 的赋 范空 间为 内积 空间 的刻 划 ．
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＋Ｃ Ｉ － Ｉ （ ） Ｉ ｙＩ ２ ｘ
（ ２ ） ＝ ｇ （坐
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２） ｃ 一 Ｉ
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我 们 知 道 ， 式 （１ 当 ）或 式 （ ２）中 Ｃ ＝０ 时， 厂为 凹 函 数 （ 中 凹 函 数 ） 下 面 引 理 给 或 ． 出 了 强 凹 （ 中 凹 ）函 数 与 凹 （ 凹 ）函 数 的 强 中 关 系．
０ 引 言
设 （ ０ ｌ 是一 赋 范空 间 ， Ｊｒ ｎ— ｘ， ・Ｉ ） 则 ｏａ ｄ
１ 定 义 及 引 理
首 先 ， 们 给 出 强 凹 与 强 中 凹 函 数 的定 我
ＶｎＮｕ ａ ｏ ｅｍ ｒ 行 四边 形 律 ｆ ＋， ＋ 一 ｌ ｎ平 Ｉ ）Ｉ ｙｌ 义 ． ｘ ｆ 定 义 １ 设 （ ９・Ｉ 是 一 个 实赋 范空 ｘ， 【 ） ＝２ ｌ ＋２Ｊ ｌ， Ｅ 成 立 ，当且 仅 当 Ｊ ｙ ， ｌ Ｄ Ｃ是 一 个 正 实 数 ． Ｉ Ｉ 数是 从 一个 内 积导 出 的 ２．也 就 是 间 ， 是 ｘ 的 一 个 凸 子 集 ， ｌ Ｉ ・范 Ｉ 】
第２ ７卷
第 ２期
黄
石
理
工
学
院
学
报
Ｖ０． ７ Ｎ ． １２ ｏ ２ Ａｒ ｐ． ２ Ｉ ０Ｉ
பைடு நூலகம்
２ １ 年 ４月 ０１
Ｊ ＵＲ Ｏ ＮＡＬ Ｏ ＡＮＣ ＨＩＩ Ｓ Ｆ ＨＵ Ｓ Ｎ Ｔｎ１ Ｅ ＨＮ Ｏ ＩＩ ＯＦＴ Ｃ ＯＬ ＧＹ Ｉ Ｅ
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类 函 数 与 凹 函 数 的 关 系 ． 后 给 出具 有 强 凹 最 与 强 中 凹 函 数 的 赋 范 空 间 为 内 积 空 间 的 刻
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如果式（ ） １ 只有在 ￡ ＝÷时成立 ， 则我们
称 ，为 关 于 Ｃ 的 强 中 凹 函数 ， 就 是 Ｖ ， 也 Ｙ∈
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