2016-2017学年辽宁省葫芦岛市高一下学期期末数学试卷(理)(答案+解析)

辽宁省葫芦岛市2016-2017学年高一（下）期末数学试卷（理）
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．
1．（5分）cos=（）
A．B．﹣ C．D．﹣
2．（5分）某产品分为A、B、C三级，若生产中出现B级品的概率为0.03，出现C级品的概率为0.01，则对产品抽查一次抽得A级品的概率是（）
A．0.09 B．0.98 C．0.97 D．0.96
3．（5分）葫芦岛市交通局为了解机动车驾驶员对交通法规的知晓情况，对渤海、丰乐、安宁、天正四个社区做分层抽样调查．其中渤海社区有驾驶员96人，若在渤海、丰乐、安宁、天正四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则丰乐、安宁、天正三个社区驾驶员人数是多少（）
A．101 B．808 C．712 D．89
4．（5分）已知O是平面内一点，且==，则O是△ABC的（）
A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心
5．（5分）已知角θ的终边经过点P（x，3）（x＜0），且cosθ=，则x的值为（）A．B．5 C．﹣5 D．﹣
6．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=2sin3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
7．（5分）集合A={x|0＜x≤5，且x∈N*}，在集合A中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值不小于2的概率是（）
A．B．C．D．
8．（5分）已知实数a、b是利用计算机生产0～1之间的均匀随机数，设事件A=“（a﹣1）2+（b﹣1）2＞”则事件A发生的概率为（）
A．1﹣B．C．1﹣D．
9．（5分）葫芦岛市某工厂党委为了研究手机对年轻职工工作和生活的影响情况做了一项调查：在厂内用简单随机抽样方法抽取了30名25岁至35岁的职工，对其“每十天累计看手机时间”（单位：小时）进行调查．得到茎叶图如图，所抽取的男职工“每十天累计看手机时间”的平均值和所抽取的女生“每十天累计看手机时间”的中位数分别是（）
A．，25 B．，25 C．，20 D．，20
10．（5分）函数f（x）=log2sin（﹣x）的单调增区间为（）
A．[3+8k，7+8k）B．（5+8k，7+8k] C．[5+8k，7+8k）D．（3+8k，7+8k] 11．（5分）已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）与函数g（x）=k（x ﹣k）+6的部分图象如图所示，直线y=A与g（x）图象相交于y轴，与f（x）相切于点N，向量在x轴上投影的数量为﹣且A+ω=2k，则函数h（x）=sin（ωx﹣φ）+cos（ωx﹣φ）图象的一条对称轴的方程可以为（）
A．B．C．D．
12．（5分）在平面直角坐标系中，已知向量=（1，0），=（0，1），定点A的坐标为（1，2），点M满足﹣2=2+，曲线C={N|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域U={P|r≤||≤R，0＜r＜R}，曲线C与区域U的交集为两段分离的曲线，则（）
A．3﹣1＜r＜R＜3+1 B．2﹣1＜r＜2+1≤R
C．r≤2﹣1＜R＜2+1 D．r＜2﹣1＜R＜2+1
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）《九章算术》是中国古代的数学专著，其中记载：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”此文阐述求两个数的最大公约数的重要方法“更相减损术”．艾学习同学在使用“更相减损术”求588与315的最大公约数时，计算过程第二步不小心破损导致过程不完整，“（588，315）→（•，315）→（273，42）→…”艾学习同学计算过程中破损处应填写．
14．（5分）如图所示的程序框图，输出S的结果是．
15．（5分）如图所示，△ABC中，直线PQ与边AB、BC及AC的延长线分别交于点P、M、Q，=3，=，=s，则+=．
16．（5分）已知f（x）=，则f（x）的最小值为．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．
17．（10分）为了解学生身高情况，某校以8%的比例对全校1000名学生按性别进行分层抽样调查，已知男女比例为1：1，测得男生身高情况的频率分布直方图（如图所示）：
（1）计算所抽取的男生人数，并估计男生身高的中位数（保留两位小数）；
（2）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm 之间的概率．
18．（12分）已知函数f（x）=[cos（﹣x）﹣cos x]cos x．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）讨论f（x）在[，]上的单调性．
19．（12分）葫芦岛市某高中进行一项调查：2012年至2016年本校学生人均年求学花销y （单位：万元）的数据如表：
（1）求y关于x的线性回归直线方程；
（2）利用（1）中的回归直线方程，分析2012年至2016年本校学生人均年求学花销的变化情况，并预测该地区2017年本校学生人均年求学花销情况．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
．
20．（12分）已知、、是同一平面内的三个向量，其中=（3，6）．
（1）若||=6，且∥，求的坐标；
（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．
21．（12分）小明准备利用暑假时间去旅游，妈妈为小明提供四个景点，九寨沟、泰山、长白山、武夷山．小明决定用所学的数学知识制定一个方案来决定去哪个景点：（如图）曲线C：x2+y2=1和直线l：y=﹣x交于点A3，A6．以O为起点，再从曲线C上任取两个点分别为
终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为ξ．若ξ＞0去九寨沟；若ξ=0去泰山；若﹣1＜ξ＜0去长白山；ξ=﹣1去武夷山．
（1）若从A1，A2，A3，A4，A5，A6这六个点中任取两个点分别为终点得到两个向量，分别求小明去九寨沟的概率和不去泰山的概率．
（2）按上述方案，小明在曲线C上取点A7，A8分别作为向量的终点，则小明决定去武夷山，点A9在曲线C上运动，若点M的坐标为（2，1），求|++|的最大值．
22．（12分）已知函数f（x）=（m﹣1）x2+x+1，（m∈R）．
（1）函数h（x）=f（tan x）﹣2在[0，）上有两个不同的零点，求m的取值范围；（2）当1＜m＜时，f（cos x）的最大值为，求f（x）的最小值；
（3）函数g（x）=f（cos x）+f（sin x），对于任意x∈[﹣，0]，存在t∈[1，4]，使得g（x）≥f（t），试求m的取值范围．
【参考答案】
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．
1．C
【解析】cos=cos（4）=cos=．
故选C．
2．D
【解析】根据题意，对该产品抽查一次抽得A级品的概率是
P=1﹣0.03﹣0.01=0.96．
故选D．
3．C
【解析】对渤海、丰乐、安宁、天正四个社区做分层抽样调查．其中渤海社区有驾驶员96人，在渤海、丰乐、安宁、天正四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，
设丰乐、安宁、天正三个社区驾驶员人数是x，
则由分层抽样性质，得：=，
解得x=712．
故选C．
4．B
【解析】O是平面内一点，且==，
可得：，
所以O是△ABC的外心．
故选B．
5．D
【解析】∵角θ的终边经过点P（x，3）（x＜0），且cosθ==，则x=﹣，
故选D．
6．D
【解析】y=sin3x+cos3x=2（sin3x+cos3x）=2sin（3x+）=2sin3（x+），
则将y=2sin3x的图象向左平移个单位，即可得到函数y=sin3x+cos3x的图象，
故选D.
7．C
【解析】集合A={x|0＜x≤5，且x∈N*}={1，2，3，4，5}，
在集合A中任取2个不同的数，
基本事件总数n==10，
取出的2个数之差的绝对值不小于2包含的基本事件有：
（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，5），共6个，
∴取出的2个数之差的绝对值不小于2的概率是p==．
故选C．
8．A
【解析】由题意，计算机产生0～1之间的均匀随机数a，b，对应区域为边长为1的正方形，面积为1，
事件A=“（a﹣1）2+（b﹣1）2＞”发生的区域是边长为1的正方形除去个圆，
面积为1﹣，
由几何概型的概率公式得到计算机产生0～1之间的均匀随机数a，b，
则事件A=“（a﹣1）2+（b﹣1）2＞”发生的概率为：1﹣；
故选A．
9．A
【解析】由茎叶图得：
所抽取的男职工“每十天累计看手机时间”的平均值为：
=（8+9+11+12+12+15+17+20+23+23+26+29+35+38+41）=，
所抽取的女生“每十天累计看手机时间”的中位数为：25．
故选A．
10．B
【解析】由题意可知：sin（﹣x）＞0，可得：2nπ＜﹣x＜2nπ+π，n∈Z
解得﹣8n﹣3＜x＜1﹣8n，令n=﹣k，可得8k﹣3＜x＜8k+1．k∈Z．
利用k+1代替k，可得定义域为：（8k+5，8k+9），
显然A，C，D不满足题意．
故选B．
11．A
【解析】∵函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）与函数g（x）=k（x﹣k）+6的部分图象如图所示，
直线y=A与g（x）图象相交于y轴，∴﹣k2+6=A，k＞0．
再根据向量在x轴上投影的数量为﹣，可得==，∴ω=2．
结合A+ω=A+2=2k，可得k=2，A=2．
∴f（x）=2sin（2x+φ），g（x）=2（x﹣2）+6=2x+2．
再根据f（x）=2sin（2x+φ）的图象位于y轴的右侧且与x轴的第一个交点为（，0），∴2•+φ=0，∴φ=﹣，
∴函数h（x）=sin（ωx﹣φ）+cos（ωx﹣φ）=sin（2x+）+cos（2x+）
=sin（2x++）=sin（2x+），
令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，
令k=﹣1，可得h（x）的图象的一条对称轴的方程可以为x=﹣，
故选A．
12．A
【解析】∵=（1，0），=（0，1），点A的坐标为（1，2），
点M满足﹣2=2+，
∴=2+2+=（4，5），∴M（4，5）；
∴=cosθ+sinθ=（cosθ，0）+（0，sinθ）
=（cosθ，sinθ），
设N（x，y），则=（x﹣1，y﹣2）=（cosθ，sinθ），
∴，
即（x﹣1）2+（y﹣2）2=1．
∴曲线C={N|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}表示以A（1，2）为圆心，以1为半径的圆．又M（4，5），如图，|MB|=|MA|﹣1=﹣1=3﹣1，
|MC|=|MA|+1=3+1．
要使区域U={P|r≤||≤R，0＜r＜R}，
且曲线C与区域U的交集为两段分离的曲线，
则3﹣1＜r＜R＜3+1．
故选A．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．273
【解析】588﹣315=273，
315﹣273=42，
273﹣42=231，
231﹣42=189，
189﹣42=147，
147﹣42=105
105﹣42=63
63﹣42=21
42﹣21=21；
故588，315最大公因数为21；
故答案为273．
14．
【解析】a=0，满足a＜6，则执行S=sin=，a=1；
a=1满足a＜6，所以执行S=+sin（）=；
a=2满足a＜6，所以执行S=﹣sin=；
a=3，满足a＜6，所以执行S=+sin（）=0；
a=4满足a＜6，所以执行S=sin（2）=；
a=5满足a＜6，所以执行S==；
a=6不满足a＜6，所以输出S=；
故答案为．
15．4
【解析】如图==，
∵=，∴
又∵=s，
∴=
∵P，M，Q三点共线，∴，
∴．
故答案为4.
16．
【解析】f（x）=，tan x≠0．
∴f2（x）===
==，
令t=，可得sin（x+φ）=2t﹣1，
由t2+1≥（2t﹣1）2，可得t∈．
∴f2（x）∈，f（x）∈．
则f（x）的最小值为．
故答案为．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．
17．解：（1）由题意得所抽取的男生的人数为：
1000×人，
设中位数为x，
依据样本频率分布直方图，得：0.01×5+0.025×5+x=0.5，
解x=0.325，
∵身高在[170，175）内的频率为0.35，
∴中位数为：170+5×≈174.64（cm）．
（2）样本中身高在[180，185）内的男生有4人，设为a，b，c，d，
样本中身高在[185，190）内的有2人，设为e，f，
从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，
基本事件总数n=15，分别为：
ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，
至少有1人身高在185～190cm之间包含的基本事件个数m=9，
∴至少有1人身高在185～190cm之间的概率p=．
18．解：（1）函数f（x）=[cos（﹣x）﹣cos x]cos x．
化简可得：f（x）=sin x cos x﹣cos2x=sin2x﹣=sin（2x﹣）．∴f（x）的最小正周期T=，
∵sin（2x﹣）的最大值为1．
∴f（x）的最大值为1﹣．
（2）∵x∈[，]上，
∴≤2x﹣≤
∴当≤2x﹣≤时，即时，f（x）时单调递增．
∴当≤2x﹣≤时，即时，f（x）时单调递减．
19．解：（1）由题意，计算=×（1+2+3+4+5）=3，
=×（3.2+3.5+3.8+4.6+4.9）=4，
（x i﹣）（y i﹣）=（﹣2）×（﹣0.8）+（﹣1）×（﹣0.5）+0×（﹣0.2）+1×0.6+2×0.9=4.5，=（﹣2）2+（﹣1）2+02+12+22=10，
∴===0.45，
=﹣=4﹣0.45×3=2.65，
∴y关于x的线性回归直线方程为=0.45x+2.65；
（2）根据（1）的回归直线方程中=0.45＞0，
∴2012年至2016年本校学生人均年求学花销逐年增加，平均每年增加0.45万元；
当x=6时，=0.45×6+2.65=5.35，
∴预测该地区2017年本校学生人均年求学花销为5.35万元．
20．解：（1）设=（m，n），
由=（3，6），||=6，且∥，
可得m2+n2=180，6m=3n，
解得m=6，n=12，或m=﹣6，n=﹣12，
即设=（6，12），或（﹣6，﹣12）；
（2）若||=，||=3，且+2与2﹣垂直，
可得（+2）•（2﹣）=0，
可得22﹣22+3•=0，
即有•=×（﹣45）=﹣，
则cosθ===﹣1，
由0≤θ≤π，
可得θ=π．
21．解：（1）由题意得向量组合方式共有15种，分别为：
（），（），（），
（），（），
（），（），（），
（），（），
（），（），（），
（），（），
设事件B表示“去九寨沟”，事件C表示“不去泰山”，
则去九寨沟即ξ＞0：==，共4种，
∴小明去九寨沟的概率P（B）=，
不去泰山的概率P（C）=1﹣P（B）=1﹣．
（2）小明去武夷山，即ξ=﹣1，
∴=||•||cos＜＞=﹣1，
∴＜＞=π，
∴A7，A8关于原点对称，
故可设A7（m，n），A8（﹣m，﹣n），A9（x，y），
∴=（m﹣2，n﹣1），=（﹣m﹣2，﹣n﹣1），=（x﹣2，y﹣1），∴|++|=|（x﹣6，y﹣3）|=，
上式几何意义：
圆x2+y2=1上的点与点（6，3）的距离上式的最大值即点（x，y）与（6，3），距离的最大值，即圆心（0，3）与（6，3）的距离再加半径，
即d+1=，
∴|++|的最大值为3．
22．解：（1）h（x）=f（tan x）﹣2=（m﹣1）tan2x+tan x﹣1，
∵x∈[0，），tan x∈[0，+∞），
令tan x=t∈[0，+∞），
则（m﹣1）t2+t﹣1=0在[0，+∞）上有2个不同的实数根，
于是，解得：＜m＜1；
（2）f（x）=ab=（mx+1）x+（1+x）（1﹣x）=（m﹣1）x2+x+1，
f（cos x）=（m﹣1）[cos x+]+1﹣，
∵1＜m＜，∴0＜2（m﹣1）＜1，＞1，﹣＜﹣1，∴当cos x=1时即x=kπ+，k∈Z时取最大值，
f（cos x）max=f（1）=m+1=，
∴m=，
∴f（x）=x2+x+1，
∴f（x）min=0；
（3）由题意得：g（x）min≥f（t）有解，
g（x）=f（cos x）=f（sin x）
=（m﹣1）cos2x+cos x+1+（m﹣1）sin2x+sin x+1
=sin x+cos x+m+1
=sin（x+）+m+1，
∵﹣≤x≤0，﹣≤x+≤，
∴﹣≤sin（x+）≤，
∴m≤sin（x+）+m+1≤m+2，
故g（x）min=m，
而f（t）=（m﹣1）t2+t+1，t∈[1，4]，
由题意（m﹣1）t2+t+1≤m有解，
当t=1时，不等式成立，
当t∈（1，4]时，m≤=1﹣，
令h（t）=1﹣=1﹣，
h（t）在[1，4]递增，
故h（t）max=h（4）=，
故m≤，
综上，m的范围是（﹣∞，]．。