高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第一、二章滚动测试含解析

第一、二章转动测试
班级 ____ 姓名 ____ 考号 ____ 分数 ____ 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
一、选择题：本大题共 12 题，每题 5 分，共 60 分．在以下各题的四个选项中，只有一
个选项是切合题目要求的．
→ )
1．设 A(1,2) ， B(－ 2,5)，则 |AB|＝ ( A. 5 B. 29 C ．3 2 D ．4 答案： C
→ → －3 2＋ 32＝ 3 2.
分析： AB ＝ (－2,5)－ (1,2)＝ (－ 3,3) ，∴|AB|＝
2．假如函数 f(x)＝ sin(2πx ＋ θ)(0< θ<2π)的最小正周期是 T ，且当 x ＝ 1 时获得最大值， 那
么( )
π
A ． T ＝ 1，θ＝ 2
B ． T ＝1， θ＝ π
π
C ．T ＝ 2， θ＝ π
D ． T ＝2， θ＝2 答案： A
分析： T ＝ 2π
π
＝ 1， sin(2 π＋θ)＝ 1， θ＝ 2.
2π
π
)
2
，且 α∈ － ， 0 ，则 tan α等于 (
3．已知 sin( α－ π)＝ 3 2
A. 2 5 5 B ．－ 2
5 5
5
5 C. 2
D ．－ 2
答案： B
2 2 5 2
2 5
分析： sin(α－ π)＝－ sin α＝ ，∴sin α＝－ ， cos α＝
3，∴tan α＝－
＝－
5.
3
3
5
4．若角 α的终边落在第三象限，则
cos α ＋
2sin α 的值为 (
)
1－ sin 2α
1－ cos 2α
A ．3
B ．－ 3
C ．1
D ．－ 1 答案： B
分析： 由角 α的终边落在第三象限得 sin α<0， cos α<0，
故原式＝ cos α 2sin α cos α ＋ 2sin α
＋ ＝ ＝－ 1－2＝－ 3.
|cos α| |sin α| － cos α －sin α 5．已知平面内三点
→→ A(－ 1,0)， B(5,6)， P(3,4) ，且 AP ＝ λPB ，则 λ的值为 () A ．3 B ．2 1 1
C.2
D.3 答案： B
→→
分析： 由于 AP ＝ λPB ，因此 (4,4)＝ λ(2,2)，因此 λ＝ 2.
6．已知 sin α－ cos α＝ 1，则 tan α＋
1
等于()
3 tan α 8 7 A. 9 B. 3
9
11
C.4
D. 4 答案： C
1
1 1 4
分析：由 sin α－ cos α＝ 可得 (sin α－ cos α)2
＝ ，即 1－ 2sin αcos α＝
，sin αcos α＝ ，则 tan α
3
9
9
9
＋ 1
sin α cos α
1
9
.
＝ ＋ ＝ ＝
tan α cos α sin α sin αcos α 4
π
7．将函数 y ＝ f(x)的图象沿 x 轴向右平移 3个单位长度， 再保持图象上的纵坐标不变，
而
横坐标变成本来的 2 倍，获得的曲线与 y ＝ sinx 的图象同样，则 y ＝ f(x)是 ( )
π π
A ． y ＝ sin 2x ＋ 3
B ． y ＝ sin 2x －3
C ．y ＝ sin 2π
2π
2x ＋ 3 D ． y ＝ sin 2x － 3
答案： C
分析：将 y ＝ sinx 的图象纵坐标不变， 横坐标缩短为本来的一半， 获得 y ＝sin2x 的图象，
π π 2
再沿 x 轴向左平移 3个单位，获得 y ＝ sin2 x ＋ 3 ＝ sin 2x ＋3π的图象．
8．设 i 、 j 是平面直角坐标系内 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量，且 6i ＋ 8j ，则△ ABC 的面积等于 ( )
A ．60
B ．40
C ．28
D ． 20 答案： D
→ → →
→ → 分析： BC ＝AC － AB ＝－ 2i ＋ 4j ，因此 AB ⊥BC.
1 → → 1 2
2 2 2
因此 S
＝2|AB| |BC ·|＝
2
8＋4· －2
＋ 4
＝ 20.
△ABC
→
→
AB ＝ 8i ＋ 4j ， AC ＝
π
9．若函数 y ＝ Asin( ωx＋ φ)(ω＞ 0，|φ|＜ 2，x ∈R )的部分图象如下图，则函数表达式为 (
)
π π
A ． y ＝－ 4sin 8x ＋4
π π B ．y ＝ 4sin 8x － 4
π π
C ．y ＝－ 4sin 8x － 4
π π D ． y ＝ 4sin 8x ＋ 4 答案： A
分析： 先确立 A ＝－ 4，由 x ＝－ 2 和
π π
6 时 y ＝ 0 可得 T ＝ 16， ω＝ ， φ＝ .
8 4
10．已知函数 f(x)＝ 3sin ωx＋ cos ωx (ω>0)， y ＝ f(x) 的图象与直线 y ＝ 2 的两个相邻交点
的距离等于 π，则 f(x)的单一递加区间是 ( )
A. k π－ π， k π＋5π
， k ∈ Z
12
12
B. k π＋ 5π
11π
， k π＋ ， k ∈ Z
12 12
C. k π－ π π
， k π＋ 6 ， k ∈ Z
3
π 2π D. k π＋ 6， k π＋
3 ， k ∈ Z
答案： C
π
分析：此题主要考察三角函数的图象与性质．
函数 f(x)＝ 2sin ωx＋ 6 的图象与直线 y ＝ 2
2π
π 的两个相邻交点就是函数
f(x) 的两个最大值点， 周期为 π＝ ω，ω＝2，于是 f(x)＝ 2sin 2x ＋ 6 .
π π
π π π
由 2k π－ ≤ 2x ＋ ≤ 2k π＋
得， k π－ ≤ x ≤ k π＋ ，应选 C.
2 6 2
3 6
11．设向量 a 与 b 的夹角为 θ，定义 a 与 b 的“向量积”， a × b 是一个向量，它的模等
于|a × b|＝ |a||b|sin θ，若 a ＝ (1 ， 3)， b ＝ ( － 3，－ 1)，则 |a ×b|＝ ( )
A. 3
B ．2
C ．2 3
D ．4
答案： B
分析： ∵cos θ＝
a ·b
－2 3
3
2
1
2× 2 ＝－
|a| ·|b|
＝
2 ，又 θ∈[0 ，π]，∴sin θ＝ 1－ cos θ＝2， |a × b|＝
|a| |b|sin ·θ＝ 2.
12．已知 a ＝ (λ， 2)，b ＝ (－ 3,5)，且 a 与 b 的夹角为锐角，则
λ的取值范围是
(
)
10 10 A ． λ< 3
B ． λ≤ 3
10
且 λ≠－
6
10
且 λ≠－
6
C ．λ≤ 3
5
D ． λ< 3
5 答案： D
分析： 由题可知 a ·b ＝－ 3λ＋10>0， λ<
10
3 ，当 a 与 b 共线，且方向同样时，设
a ＝ (λ，
λ＝－ 3μ，
6 10
6
2)＝ μ(－3,5)( μ>0) ，∴
得 λ＝－ 5，∴λ的取值范围是 λ< 3 且 λ≠ － 5.
2＝ 5μ，
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．
13．设 f(x)＝ asin(πx ＋ α)＋bcos(πx ＋ β)＋ 4(a ，b ，α，β是常数 ) ，且 f(2009) ＝ 5，则 f(2010)
＝ ________.
答案： 3
分析： f(2009) ＝ αsin( π＋ α)＋bcos(π＋β)＋ 4＝－ (asin α＋ bcos β)＋ 4＝5
∴asin α＋ bcos β＝－ 1.f(2010) ＝ asin α＋ bcos β＋4＝ 3.
14．已知 a ＝ (2,1)b ＝ (1，λ)，若 a 与 b 的夹角为锐角，则 λ的取值范围是 ________．
答案： －2，
1
∪ 1
，＋∞ 2 2
a ·b
2＋ λ
分析： 若 a 与 b 的夹角为锐角，则
cos θ>0 且 cos θ≠ 1.cos θ＝|a| ·|b|＝
2
∴λ>－ 2.
5· 1＋ λ
2
1
1
又 2＋ λ≠ 5 · 1＋ λ∴λ≠ 2∴λ的范围是 λ>－2 且 λ≠2.
π
π
15．函数 f(x)＝ 2sin ωx＋ 3 (x ∈R )， f(α)＝－ 2， f(β)＝0，且 |α－ β|的最小值等于 ，则正
2
数 ω的值为 ________．
答案： 1
分析： 由 f(α)＝－ 2， f(β)＝ 0，且 |α－ β|的最小值等于
π T π
2可知 4＝ 2， T ＝
2
π，∴ω＝ 1.
→
→ → 16．如图，在正方形 ABCD 中，已知 |AB|＝ 2，若 N 为正方形内 (含界限 )随意一点，则
3
答案： 4
→ → → → → → →
→
分析： ∵AB ·AN ＝ |AB||AN | cos ·∠BAN ， |AN| cos ·∠BAN 表示 AN 在 AB 方向上的投影，又 |AB| → →
＝2， AB ·AN 的最大值是 4.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
4 2sin α－ π＋ 3tan 3π－ α
17． (10 分)已知 sin( α＋ π)＝ 5，且 sin α·cos α＜ 0，求：
4cos α－ 3π
的值．
解： ∵ sin(α＋ π)＝ 4
5
∴ sin α＝－ 4
＜
0. 5
∴ cos 2α＝ 1－ sin 2α＝ 1－ 16＝ 9
25 25
又 sin α·cos α＜ 0
∴ cos α＞ 0.∴ cos α＝
3
5.
－ 2sin π－ α＋ 3sin
π－ α
原式＝
cos π－ α
4·cos π－ α 3sin α
－ 2sin α＋ － cos α
＝
－4·cos α
2sin α·cos α＋ 3sin α ＝
4cos 2α
2× －4
×3－4
×3
7
5
5
5
＝
9
＝－ .
3
4× 25
π
－ tan α·cosx ，且 f π
1
18． (12 分)已知 f( x)＝ sin x ＋6 3 ＝ 2. (1)求 tan α的值；
(2)求函数 g(x)＝ f(x)＋ cosx 的对称轴与对称中心．
解： (1)∵ f π ＝ sin π π π
1 1 ，∴ tan α＝1.
3 3 ＋ － tan α·cos ＝ 1－ tan α＝
6 3 2 2 π π
(2)g( x)＝ f(x)＋ cosx ＝ sin x ＋ 6 － cosx ＋cosx ＝ sin x ＋ 6 .
π π
∴ x ＋ ＝ k π＋ ，即对称轴： 6 2
π
∴ x ＋ ＝ k π，即对称中心：
6
π
x ＝ k π＋ ， k ∈Z
3
π
k π－ 6， 0 ，k ∈ Z.
19． (12 分)设两个向量 a ， b 不共线．
→ → →
(1)若 AB ＝ a ＋ b ，BC ＝ 2a ＋ 8b ，CD ＝ 3(a － b)，求证： A 、B 、 D 三点共线；
(2)若 |a|＝ 2， |b|＝ 3， a 、 b 的夹角为 60°，求使向量 ka ＋ b 与 a ＋kb 垂直的实数 k.
→ → → → →
解： (1)AD ＝ AB ＋ BC ＋ CD ＝ a ＋ b ＋ 2a ＋ 8b ＋ 3(a －b) ＝6(a ＋ b)＝ 6AB ，
→
→
∴ AD 与 AB 共线，即 A 、 B 、 D 三点共线．
4
∴ (ka ＋ b) ·(a ＋ kb)＝ 0， ka 2＋ (k 2＋ 1)a ·b ＋kb 2＝
0，ka 2＋ (k 2＋ 1)|a||b| ·cos60°＋ kb 2
＝ 0， 3k 2＋ 13k ＋ 3＝ 0，－ 13± 解得： k ＝
6
133
.
π
20． (12 分)已知函数 f(x)＝ Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0， |φ|<2 的部分图象如下图．
(1)求函数 f(x)的分析式； (2)求函数在区间 [－ 2,4] 上的最大值和最小值以及对应的
x 的值．
解： (1)由题可知 A ＝ 2，T
＝ 6－ (－ 2)＝8，∴ T ＝16，
2
∴ ω＝ 2π π 2sin π
T ＝ ，则 f(x) ＝ 8 x ＋ φ.
8
又图象过点 (2， 2)，代入函数表达式可得 φ＝ 2k π＋ π
(k ∈ Z)．
4
π π 2sin π π
又 |φ|< ，∴ φ＝ ，∴ f( x)＝ 8x ＋ 4 .
2 4
(2)∵ x ∈ [－ 2,4] ，∴ π π 0， 3π ，
8 x ＋ ∈ 4
4
π π π 时， f(x)max ＝ 2；
当 x ＋ ＝ ，即 x ＝2
8 4 2 π π 时， f(x)min ＝ 0.
当 x ＋ ＝ 0，即 x ＝－ 2
8 4
→ → →
21． (12 分)已知点 O(0,0)， A(1,2)， B(4,5)及 OP ＝ OA ＋ tAB ， 求： (1)t 为什么值时， P 在第二象限？
(2)四边形 OABP 可否组成平行四边形？若能，求出相应的值，若不可以，请说明原因．
→ → →
解： (1)∵ OP ＝OA ＋tAB ＝ (3t ＋ 1,3t ＋ 2)，
∴当－ 2<t<－ 1
时， P 在第二象限；
3 3
(2)不可以组成四边形．
→ → ∵ OA ＝ (1,2) ，PB ＝ (3－ 3t,3－3t)，
→ →
→ ＝(0,0) ，∴四边形 OABP
∴使 OA ， PB 共线，则 3－ 3t － (6－ 6t)＝ 0，解得 t ＝1，此时 PB 不可以组成平行四边形．
π
22． (12 分)已知函数 f(x)＝ 2sin 2x ＋ 3 ＋ 1.
(1)当 x ＝
4
3π时，求 f( x)值；
(2)若存在区间 [a ，b](a ，b ∈ R 且 a<b)，使得 y ＝ f(x)在 [a ，b]上起码含有 6 个零点，在知足
上述条件的 [a ， b]中，求 b － a 的最小值．
解： (1)当 x ＝ 4
4π π ＋1＝ 2sin( 3π)＋ 1＝ 2sin π＋ 1＝ 1.
3π时， f(x)
＝
2sin 2× ＋
3 3
π
1
π 7 4或 x ＝ k π
3和
3，
5
故若 y＝f(x)在 [a， b] 上起码含有 6 个零点，则b－ a 的最小值为 2×2ππ 7π＋3×＝
3 3 3
.。