山东各2019高三数学(理)下学期重点考试题分类解析-圆锥曲线

山东各2019高三数学（理）下学期重点考试题分类解析-圆锥曲
线 圆锥曲线
1、〔2018济南3月模拟〕过双曲线2
222x y a b -=1(a >0,b >0)的左焦点F ，作圆222
4
a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，假设E 为PF 的中点，那么双曲线的离
心率为 . 【答案】
2
10 【解析】设双曲线的右焦点为M ,连接PM,因为E 为PF 的中点，所以OE 为三角形FPM 的中位线，所以PM=2OE=a ，所以PF=3a ,EF=2
3a ,又FE 为切线，所以有
2222
410)2()23(a a a c =+=，所以2
10=
=a c e 。

2、〔2018滨州二模〕设抛物线y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点PA ⊥l ，A 为垂足，如果AF
的斜率为－PF ｜＝＿＿＿＿
答案：8
解析：抛物线的焦点为F 〔2,0〕，准线为x ＝－2，因为PA ⊥准线l ，设P 〔m,n 〕，那么 A 〔－2，n 〕,因为AF
，所以，
n
-22
=－n
＝－P 在抛物线上，所以8m
＝〔－2＝48，m ＝6，因此P 〔6
，－，｜PF
＝8。

3、〔2018德州二模〕设双曲线2
2
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，假设
(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，
316
λμ=
，那么该双曲线的离心率为 A
、
2 B
C
D 、98
答案：C
解析：双曲线的渐近线为：y ＝
b x a
±，设焦点F 〔c ，0〕
，那么 A 〔c ，bc a 〕，B 〔c ，－bc a 〕，P 〔c ，2b a
〕，因为OP OA OB λμ=+
所以，〔c ，2b a
〕＝〔()c λμ+，
()
bc a
λμ-〕
，所以， λμ+＝1，λμ-＝b c ，解得：
,22c b c b c c λμ+-==，又由316
λμ=
，得：
32216c b c b c c +-⨯=，解得：2234a c =，所以，e
，选C 。

4、〔2018德州二模〕设斜率为1的直线l 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F ，且和y 轴交于点A ，假设△OAF 〔O 为坐标原点〕的面积为8，那么a 的值为 。

答案：16
解析：依题意，有F 〔4
a ，0〕，直线l 为y=x －4a ，所以，A 〔0，－4
a 〕，
△OAF 的面积为：1
244
a a ⨯⨯＝8，解得：a ＝±16，依题意，只能取a ＝16
5、〔2018德州一模〕抛物线240y px(p )=>与双曲线2
2
22
100x y (a ,b )a b -=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF x ⊥轴，那么双曲线的离心率为( ) A
、
12 B
1 C
1 D
、12
答案：B
解析：依题意，得F 〔p ，0〕，因为AF x ⊥轴，设A 〔p ，y 〕，
224y p =，所以y ＝2p ，所以，A 〔p ，2p 〕
，又A 点在双曲线上，所以，22224p p a b -＝1，又因为c ＝p ，所以，2
22
22
4c c a c a --＝1，化简，得：4224
6c a c a -+＝0，即：
42
610c c a a ⎛⎫⎛⎫
-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以23e =+e
1，选B 。

6、〔2018济南三模〕假设双曲线22221(0,0)
x y a b a b -=>>
与直线y =无交点，那么离心
率e 的取值范围 A 、(1,2) B 、(1,2]
C
、
D 、
答案：C
解析：因为双曲线的渐近线为
x
a
b y ±=，要使直线x y 3=与双曲线无交点，那么直线x y 3=，
应在两渐近线之间，所以有3≤a b ，即a b 3≤，所以223a b ≤，2223a a c ≤-，即224a c ≤，42≤e ，所以21≤<e ，选B.
7、〔2018济南三模〕过抛物线22y px =焦点F 作直线l 交抛物线于A,B 两点，O 为坐标原点，那么△AOB 为 A 、锐角三角形 B 、直角三角形
C 、不确定
D 、钝角三角形
答案：C 解析：设过
A,B
的坐标为),(),,(2
211y x y x ，那么
22
2
2212221211122114144)(),)(,(p p p
p y y p y y y y x x y x y x -=-=+=+==∙，所以当0
4
1
2
=-p ，即
4
12=
p ，0=∙，此时⊥，
三角形为直角三角形，当
412
>p 时，0<∙OB OA ，三角形为钝角三角形，当4
102<
<p 时，0>∙OB OA ，三角形为锐角三角形，所以三角形的形状不确定，选C. 8、〔2018莱芜3月模拟〕F 1、F 2分别是双曲线2
2
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，假设1290F PF ∠=︒，且12
F PF ∆的三边长成等差数列，那么双曲线
的离心率是 .
【答案】5
【解析】设
x
PF =2，
)
(1y x y PF <=，那么
a x y 2=-，又c y x 2,,为等差数列，所以y c x 22=+，整理得⎩⎨
⎧-=-=a
c y a c x 2242，代入
2224c y x =+整理得，0652
2=+-c ac a ，解得a c 5=，所以双曲线的离心率为
5
==a
c
e 。

9、〔2018临沂3月模拟〕设椭圆1222
=+m
y x 和双曲线1
32
2=-x y 的公共焦点分别为21F F 、，P 为这两条曲线的一个交点，那么21·PF PF 的值为 〔A 〕3 〔B 〕32 〔C 〕23 〔D 〕62 【答案】A
【解析】双曲线的焦点为)2,0(),2,0(-，所以椭圆中的642=+=m ，所以椭圆方程为16
22
2=+y x ，不妨设点P 为第一象限的交点，根据双曲线和椭圆的定义可知6
221=+PF PF ，
3
2-21=PF PF ，212212214)()(PF PF PF PF PF PF ⋅=--+，即
121224·
421=-=PF PF ，所以
3
·21=PF PF ，选A.
10、〔2018临沂二模〕抛物线x y 42=的准线与双曲线2
2
2
1
x y a -=交于A B 、两点，点F 是
抛物线的焦点，假设FAB ∆为直角三角形，那么该双曲线的离心率为
〔A
〔B 〔C 〕2 〔D 【答案】D
【解析】抛物线x y 42=的焦点为)0,1(，准线方程为1-=x ，设直线1-=x 与x 轴的交点为C,那么2=FC ,因为FAB ∆为直角三角形，所以根据对称性可知，2==FC AC ，
那么A 点的坐标为)2,1(-，代入双曲线方程得1
41
2
=-a
，所以
5
6151,5122
=
+==c a ，6
22
2
==a
c e ，所以离心率6=e ，选D. 11、〔2018青岛二模〕直线()
1y k x =+与抛物线2:4C y x =相交于A 、B 两点，F 为抛
物线C 的焦点，假设2FA FB
=,那么k =
A
、
3± B
、3
±
C 、13±
D 、23
【答案】A
【解析】设),(),,(2
211y x B y x A ,直线)1(+=x k y 过定点)0,1(-，
,根
据抛物线的定义可知B 为AC 的中点，所以
2,21-1212y y x x ==，由⎪
⎩⎪⎨⎧-==214)2
(4121121x y x
y ，得⎩⎨
⎧±==2
22
11y x ，所以直线斜率
3
221222111±=
+±=+=x y k ，选A.
11、〔2018青岛3月模拟〕双曲线2222
1x y a b -=
的渐近线方程为y =,那么它的离心
率为 .
答案：2
【解析】
2
3, 2.b b e a a ⎛⎫==== ⎪⎝⎭
12、〔2018日照5月模拟〕过双曲线的左焦点1
F 且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，假设在双曲线虚轴所在直线上存在一点C ，使AC BC 0⋅=，那么双曲线离心率e 的取值范围是 。

答案：
),2
15[+∞+.
解析：设双曲线的方程为),0(),,(),,(,12
22222
t C a
b c B a b c A b y a x ---=-，由AC BC 0⋅=
，得42
2
2b t c 0,e a
=-≥≥
. 13、〔2018泰安一模〕F 1、F 2为双曲线C ：122
22
=-b
y a x 〔a ＞0，b ＞0〕的焦点，A 、B 分别为双曲线的左、右顶点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且满足
∠MAB=30°，那么该双曲线的离心率为 . 【答案】
【解析】由
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+=222c y x x a b y ，解得
⎩⎨
⎧==b
y a
x ，即交点M 的坐标),(b a ，连结MB ，那么AB MB ⊥,
即ABM ∆为直角三角形，由∠MAB=30°得
3
3230tan 0
=
==a b AB MB ，即
22
34,332a b a b ==，所以2222237,34a c a a c ==-，所以3
21,372=
=e e ，所以双曲线的离心率
3
21=
e .
14、〔2018威海二模〕椭圆2
22
2+1(0)x y a b a b =>>
kx y =与其
一个交点的横坐标为b ，那么k 的值为 A.1±
B.
C.
【答案】C
【解析】因为椭圆的离心率为
33，所以有33=a c ，即a c 3
3=，2
22231b
a a c -==，
所以
22
3
2a
b =。

当b x =时，交点的纵坐标为kb y =，即交点为),(kb b ，代入椭圆方程12222
2=+b b k a b ，即31,1322
2==+k k ，所以3
3±=k ，选C.
15、〔2018烟台二模〕F 1，F 2是椭圆2
2
22x y 1a b
+=〔a ＞b ＞0〕的左、右焦点，点P 在椭圆上，且
12F PF .
2
π∠=记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，假设△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的
面积之比为1：2，那么该椭圆的离心率等于
A.2
B.3
C.4-
1-
答案：D
解析：依题知，F 1P ⊥F 2P ，所以，△F 1QO ∽△F 1F 2P ， 因为△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1：2，所以，
11213
F OQ F F P
S S =，所以，
11OF F P
＝，设椭圆的焦距为2c ，
那么F 1P
c ，F 2P
c
c ＋c ＝2a ，所以，
e
＝c
a =
1-。

16、〔2018滨州二模〕 F 1〔－1,0〕，F 2〔1,0〕为平面内的两个定点，该平面内的动点P 满足
｜PF 1｜＋｜PF 2｜＝
，记点P 的轨迹为曲线E 。

〔I 〕求曲线E 的方程；
〔II 〕设点O 为坐标原点，A ，B ，C 是曲线E 上的不同三点，且OA OB OC ++＝0， 〔i 〕证明：直线AB 与OC 的斜率之积为定值；
〔i i 〕当直线AB 过点F 1时，求直线AB 、OC 与x 轴所围成的三角形的面积。

解析：〔Ⅰ〕由条件可知， 点P 到两定点12
(1,0),(1,0)F F -
的距离之和为定值
所以点P 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -
为焦点的椭圆、又a =
1c =，所以1b =，
故所求方程为2
2
1
2
x y +=、
〔Ⅱ〕设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33
(,)C x y 、
由0OA OB OC ++=，得1230x x x ++=，123
0y y y ++=、
〔ⅰ〕可设直线AB 的方程为y kx n =+(0)k ≠，
代入2222x y +=并整理得，222(12)4220k x knx n +++-=，
依题意，0∆>，
那么 122
412kn x x k +=-+，12122
2()212n y y k x x n k +=++=+，
从而可得点C 的坐标为
2242(,)1212kn n k k -++，12OC k k
=-、
因为
12
AB OC
k k ⋅=-
，所以直线AB 与OC 的斜率之积为定值、
〔ⅱ〕假设AB x ⊥
轴时，
((1,A B --,由0OA OB OC ++=，
得点(2,0)C ，所以点C 不在椭圆Γ上，不合题意、因此直线AB 的斜率存在、
由〔ⅰ〕可知，当直线AB 过点1
F 时, 有n k =，点C 的坐标
22242(,)1212k k
k k
-++、 代入2222x y +=得，
42
2222
1682
(12)(12)k k k k +=++，即22412k k =+，
所以
2
k =±
、
〔1
〕当
2k =时，由〔ⅰ〕知，12OC k k ⋅=-
，从而2
OC k =-
、
故AB 、OC 及x 轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1
，且底边上的高
1224h =⨯=
，所求等腰三角形的面积11248
S =⨯⨯=
、
〔2
〕当
2k =-时，又由〔ⅰ〕知，12OC k k ⋅=-
，从而2
OC k =
，
同理可求直线AB 、OC 与x
、
综合〔1〕〔2〕，直线AB 、OC 与x
轴所围成的三角形的面积为
8
、 17、〔2018德州二模〕椭圆C 的中心为原点O ，点F 〔1，0〕是它的一个焦点，直线l 过点F 与椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于x 轴时，
1.
2
OA OB ⋅=
〔I 〕求椭圆C 的方程；
〔II 〕点P 为椭圆的上顶点，且存在实数t PA PB tPF +=使成立，求实数t 的值和直
线l 的方程。

解析：解：〔Ⅰ〕设椭圆C 的方程为：2
2
2
2
1x y
a b +
=〔a ＞b ＞0〕，那么a 2－b 2=1、①
∵当l 垂直于x 轴时，A ，B 两点坐标分别是〔1，2b a 〕和〔1，－2b a
〕，
∴ OA OB =〔1，2b a
〕•
〔1，－2b a
〕=1－42
b a ，那么1－42b a ＝12
，即a 2=2b 4、② 由①，②消去a ，得2b 4
－b 2
－1=0、∴b 2
=1或b 2
=－12
、
当b 2=1时，a 2=2 、因此，椭圆C 的方程为2
2
1
2
x y +=、
〔II 〕当直线斜率不存在时，易求A 〔1
，
2〕，B 〔1
，－2
〕，P 〔0,1〕，所以 PA ＝〔1
－1〕，PB ＝〔1
－1〕
，PF ＝〔1，－1〕， 由t PA PB tPF +=使，得t ＝2，直线l 的方程为x ＝1
当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k 〔x －1〕，A ＝〔x 1，y 1〕，B ＝〔x 2，y 2〕， 所以，PA ＝〔x 1，y 1－1〕，PB ＝〔x 2，y 2－1〕，PF ＝〔1，－1〕， 由t PA PB tPF +=使，得
121211x x t y y t +=⎧⎨-+-=-⎩即12122x x t y y t
+=⎧⎨+=-⎩
因为y 1＝k 〔x 1－1〕，y 2＝k 〔x 2－1〕，所以，y 1＋y 2＝k 〔x 1＋x 2－2〕，解得：k ＝－1 此时，直线l 的方程为y ＝－x ＋1， 联立
2
2
12
1x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩
，得3x 2
－4x ＝0，t ＝x 1＋x 2＝43
，
所以，当直线斜率存在时，t ＝43
，直线l 的方程为y ＝－x ＋1，
综上所述，存在实数t 且t ＝2时，直线方程为x ＝1， 当t ＝43
时，直线l 的方程为y ＝－x ＋1，
18、〔2018德州一模〕设椭圆C ：2
222
10x y (a b )a b +=>>
的一个顶点与抛物线：2
x =的焦点重合，F 1、F 2
分别是椭圆的左、右焦点，离心率
e =
，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点、 (I)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)是否存在直线l ，使得1OM ON ∙=-，假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，说明理由；
〔Ⅲ〕假设AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB
，求
2AB ||MN |
的值、
解析：〔I 〕椭圆的顶点为(0
)，即b
，
e ＝c
a
a
∴椭圆的标准方程为x 23＋y 2
2＝1.
〔II 〕由题可知，直线l 与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意.
②设存在直线l 为y ＝k (x －1)(k ≠0)，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 23＋y 2
2＝1y ＝k (x －1)
得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，
x 1＋x 2＝6k 2
2＋3k 2
，x 1·x 2＝3k 2
－6
2＋3k 2，
OM ·ON ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]
＝3k 2－62＋3k 2＋k 2(3k 2－62＋3k 2－6k 22＋3k 2＋1)＝－k 2－6
2＋3k 2＝－1
所以k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1). (3)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
3＋y 2
2＝1y ＝kx
消去y ，并整理得x 2
＝6
2＋3k 2，
|AB|＝1＋k2|x3－x4|＝26(1＋k2) 2＋
3k2，
∴2
AB|
|MN|
＝＝6
19、〔2018济南3月模拟〕椭圆的焦点坐标为
1
F〔-1,0〕，
2
F〔1,0〕，过
2
F垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3，
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕过
2
F的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，那么△
1
F MN的内切圆的面积是否
存在最大值？假设存在求出这个最大值及此时的直线方程；假设不存在，请说明
理由.
【答案】解：〔1〕设椭圆方程为22
22
x y
a b
+
=1〔a>b>0〕,由焦点坐标可得c=1 (1)
分
由PQ|=3，可得2
2b
a
=3，……………………………………………2分
解得a=2，b
故椭圆方程为22
43
x y
+
=1……………………………………………4分
〔2〕设M
11
(,)
x y，N
22
(,)
x y,不妨
1
y>0,
2
y<0,设△
1
F MN的内切圆的径R，
那么△
1
F MN的周长=4a=8，
1
1
2
F MN
S=
〔MN+
1
F M+
1
F N〕R=4R
因此
1
F MN
S最大，R就最大，………………………………………6分
121212
1
()
2
AMN
S F F y y y y
=-=-
，
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
由
22
1
1
43
x my
x y
=+
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
得22
(34)
m y
+
+6my-9=0，………………………８分
得
1
y
=
2
y=
那么
12AMN
S
=AB 〔12y y -〕=12y y -
，……………9分 令
,那么t ≥1,
那么
21212
1
313AMN
t S
t t t
=
==
++,………………………10分
令f 〔t 〕=3t +1t
，那么f ′(t ) =3-2
1t ，
当t ≥1时，f ′(t )≥0,f (t)在［1,+∞)上单调递增， 有f (t )≥f (1)=4, AMN
S
≤123
=3,
即当t =1,m =0时，AMN
S
≤123
=3, AMN
S
=4R ，∴max
R
=34
，
这时所求内切圆面积的最大值为916
π.
故直线l :x =1，△AMN 内切圆面积的最大值为916
π………………12分
0、〔2018济南三模〕直线1:+=x y l ，
2
3:2
2
=
+y x O 圆,直线l 被圆截得的弦长与椭圆
)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的短轴长相等,椭圆的离心率2
3=e
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否
存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？假设存在，求出点
T 的坐标；假设不存在，请说明理由、
易错点拔：向量的坐标乘法运算时，运算量比较大，容易出错，解题时要特别细心。

解题思路：(Ⅰ)那么由题设可知1=b ，
又
2
3=
e 2=a
所以椭圆C 的方程是2
2
1
2
x y +=.
(Ⅱ)解法一：假设存在点T 〔u,v 〕.假设直线l 的斜率存在，设其方程为
13
y kx =-
，
将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=、 设点A 、B 的坐标分别为1122
(,),(,)A x y B x y ，那么12212212,18916.189k
x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨
-⎪=⎪+⎩
因为1122
(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及
112211,,
33
y kx y kx =-=-
所以1212
()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--
2
22
1212121(1)()()339
v k x x u k kv x x u v =+-+++++++
222222(666)4(3325)62
u v k ku u v v k +--+++-=
+ 当且仅当0=⋅TB TA 恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ， 所以2222
618180,
0,33250.
u v u u v v ⎧
+-=⎪
=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==
此时以AB 为直径的圆恒过定点T 〔0，1〕.
当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T 〔0，1〕. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T 〔0，1〕，满足条件. 解法二：假设直线l 与y 轴重合，那么以AB 为直径的圆是22 1.x y +=
假设直线l 垂直于y 轴，那么以AB 为直径的圆是
2
2116().
39
x y ++=
由
22221,
116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪
⎩
解得01
x y =⎧⎨
=⎩.
由此可知所求点T 如果存在，只能是〔0，1〕. 事实上点T 〔0，1〕就是所求的点.证明如下：
当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点
T 〔0，1〕；
当直线l 的斜率存在，设直线方程为
13
y kx =-
，代入椭圆方程，并整理，得
22(189)12160.k x kx +--=8分
设点A 、B 的坐标为1122
(,),(,)A x y B x y ，那么12212212,18916.189k
x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨
-⎪=⎪+⎩
因为1122
(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，
2
1212121212416()1(1)()39
TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++
22221616163216
0.
189
k k k k ---++==+ 所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过定点T 〔0，1〕.
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T 〔0，1〕满足条件. 21、〔2018莱芜3月模拟〕设椭圆)
0(1:
2
2
2
2>>=+
b a b
y a
x C 的左、右焦点 分别为21F F 、，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，
满足
211F F BF =，且2AF AB ⊥.
〔Ⅰ〕求椭圆C 的离心率；
〔Ⅱ〕D 是过2
F B A 、、三点的圆上的点，D 到直线
33:=--y x l 的最大距离等于椭圆长轴的长，求
椭圆C 的方程；
〔Ⅲ〕在〔2〕的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 点，在x 轴上是否存在点)0,(m P 使得以PN PM ,为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，
求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由. 【解析】〔Ⅰ〕设B 〔x 0，0〕，由2
F 〔c ，0〕，A 〔0，b 〕，
知
)
,(),,(02b x b c AF -=-=
c
b x b cx AF 202
02,0,-
==+∴⊥ ，
由于211F F BF =即1F 为2BF 中点、
故
c c c
b 22
-=+- 22223c a c b -==∴， 故椭圆的离心率2
1=
e ------------------4分
〔Ⅱ〕由〔1〕知,21=a c
得a c 21=于是2F 〔21a ，0〕,B )0,2
3
(a -， △ABF 的外接圆圆心为〔2
1-
a ，0〕，半径r =21|FB |=a ,
D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于2a ，所以圆心到直线的距离为a ，
所以a
a =--2
|
32
1|，解得a =2，∴c =1，b =3，
所求椭圆方程为13
42
2
=+y x .------------------8分 〔Ⅲ〕由〔2〕知)0,1(2F ,l ：)1(-=x k y
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134
)1(2
2y x x k y 代入得01248)43(2222=-+-+k x k x k
设),(11y x M ，),(2
2y x N 那么2
221438k k x x +=
+，)2(2121-+=+x x k y y ------------------9分
=-+-=+),(),(2211y m x y m x ),2(2121y y m x x +-+ 由于菱形对角线垂直，那么
⋅+)(0
=MN
故02)(2
121=-+++m x x y y k
那么02)2(2
1
2
1
2=-++-+m x x x x k
2
k )2438(22-+k k 024382
2
=-++m k k ------------------10分
由条件知0≠k 且R k ∈
431432
2
2
+=+=∴k k
k m 410<
<∴m
故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是4
10<
<m 、------------------12分
22、〔2018青岛二模〕
椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为坐标原点O ，从每条曲
线上各取两个点，将其坐标记录于表中：
〔Ⅰ〕求12C C 、的标准
方程； 〔Ⅱ〕请问是否存在直线l 同时满足条件：(ⅰ)过2
C 的焦
点F ；(ⅱ)与
1C 交于不同两
点Q 、R ，且满足
OQ OR ⊥？假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，请说明理由、
〔Ⅲ〕椭圆1C 的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 分别另交椭圆于M 、N
两点、当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点，假设过定点，请给出证明，并求出该定点坐标;假设不过定点，请说明理由、 解：〔Ⅰ〕设抛物线()
2
2:20C y mx m =≠，那么有()
220y m x x
=≠，据此验证4个点知
(
3,-、
()4,4-在抛物线上，易求x y C 4:22=…………………2分
设1
C ：()2
22210x y a b a b +=>>，把点〔-2，0〕〔2，2
2〕代入得：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=1212142
22b a a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==142
2b a ∴1
C 方程为1
4
2
2=+y x ………………………………………………………4分
〔Ⅱ〕容易验证直线l 的斜率不存在时，不满足题意；
当直线l 斜率存在时，假设存在直线l 过抛物线焦点(1,0)F ，设其方程为(1)y k x =-，与1
C 的交点坐标为()11,Q x y ,
()22,R x y
由
2
214(1)
x y y k x ⎧⎪+=⎨⎪=-⎩消去y ，得
2222(14)84(1)0k x k x k +-+-=，
于是
2122814k x x k +=+，2122
4(1)14k x x k -=
+…………①……………………7分 212121212(1)(1)[()1]
y y k x k x k x x x x =-⨯-=-++
即
2222
1222
24(1)83(1)141414k k k y y k k k k -=-+=-+++……②
由
OQ OR ⊥，即0OQ OR ⋅=，得(*)02121=+y y x x
将①、②代入〔*〕式，得
222222
4(1)34
0141414k k k k k k
---==+++，解得2k =±；
所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为：22y x =-或22y x =-+…………………9分
〔Ⅲ〕设直线AM 的斜率为k
()0k ≠，那么AM ：(2)y k x =+，AN ：1(2)y x k
=-+
那么
2
2(2),1,4
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得：2222(14)161640k x k x k +++-=、
∵此方程有一根为2-，∴
22
2814M k x k
-=+⇒
2414M k y k =+ 同理可得
22
284
N k x k -=+⇒
244N k y k =-+………………………………………………11分 那么
222222
2
44541428284(1)
414MN
k k k k k k k k k k k --++==-----++
所以MN 的直线方程为
2
222
4528()144(1)14k k k y x k k k
--=--+-+
令0y =，那么
222216(1)286
5(14)145
k k k x k k k --=+=-
++.
所以直线MN 过x 轴上的一定点
6
(,0)5-………………………………………………14分 23、〔2018青岛3月模拟〕椭圆E ：)0(12222
>>=+b a b
y a x 的左焦点)0,5(1-F ，假设椭
圆上存在一点D ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段1DF 相切于线段1DF 的中点F 、
〔Ⅰ〕求椭圆E 的方程；
〔Ⅱ〕两点)1,0(),0,2(M Q -及椭圆G :1922
22
=+b
y a x ,过点Q 作斜率为k 的直线l 交椭圆G 于K H ,两点,设线段HK 的中点为N ,连结MN ,试问当k 为何值时,直线MN 过椭圆G 的顶点?
(Ⅲ)过坐标原点O 的直线交椭圆W :142922
22
=+b
y a x 于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC 并延长交椭圆W 于B ，求证：PB PA ⊥.
解：〔Ⅰ〕连接FO DF ,2O (为坐标原点,2F 为右焦点〕，由题意知：椭圆的右焦点为
)0,5(2F 因为FO 是21F DF ∆的中位线，且FO DF ⊥1,所以b FO DF 222==
所以
b
a DF a DF 22221-=-=，故
b a DF FF -==
112
1
, 在1
FOF Rt ∆中，
212
12
O
F FF FO =+,
即5)(222==-+c b a b ,又225a b =+,解得4,922==b a 所求椭圆E 的方程为1492
2
=+y x 、 (Ⅱ)由〔Ⅰ〕得椭圆G :
1
4
2
2
=+y x 设直线l 的方程为)2(+=x k y 并代入
1
4
2
2
=+y x 整理得:0444)4(2222=-+++k x k x k 由0>∆得:
33
2332<<-k , 设),(),,(),,(002211y x N y x K y x H
那么由中点坐标公式得:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=+-=48)2(4220022
0k k x k y k k x ,
①当0=k 时,有)0,0(N ,直线MN 显然过椭圆G 的两个顶点)2,0(),2,0(-; ②当0≠k 时,那么00
≠x ,直线MN 的方程为1
10
0+-=x x y y
此时直线MN 显然不能过椭圆G 的两个顶点)2,0(),2,0(-; 假设直线MN 过椭圆G 的顶点)0,1(,那么
11
00
0+-=x y 即10
0=+y x 所以1
4
842222
=+++-k k
k k ,解得:2,32==k k (舍去).
假设直线MN 过椭圆G 的顶点)0,1(-,那么
1
100
0+--=x y 即100-=-y x 所以14
842222
-=+-+-k k k k ,解得:524,524--=+-=k k (舍去),
综上,当0=k 或
3
2=
k 或524+-=k 时,直线MN 过椭圆G 的顶点. 〔Ⅲ〕法一：由〔Ⅰ〕得椭圆W 的方程为1
2
2
2
=+y x ,
根据题意可设),(n m P ，那么)0,(),,(m C n m A -- 那么直线AC 的方程为
)
(2m x m
n
n y +=+…① 过点P 且与AP 垂直的直线方程为
)
(m x n
m
n y --=-…② ①⨯②并整理得：222
2
22n m y x +=+,又P 在椭圆W 上，所以12
2
2=+n m 所以1
2
2
2
=+y x ,即①、②两直线的交点B 在椭圆W 上,所以PB PA ⊥、
法二：由〔Ⅰ〕得椭圆W 的方程为1
2
2
2
=+y x
根据题意可设),(n m P ，那么)0,(),,(m C n m A --，
PA
n k m ∴=，2AC n k m
=
所以直线
:()
2n
AC y x m m
=- 2
2()212
n y x m m x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，化简得
222
22
(1)2022
n n n x x m m +-+-= 所以
222
22A B mn x x m n +=
+
因为A x m =-,所以
3222
232B m mn x m n +=+,那么3
22
222B B n n n y x m m n =-=+. 所以
3223222
2232PB
n n m m n k m mn n
m
m n -+==-
+-+，那么1PA PB
k k ⋅=-,即PA PB ⊥.
24、〔2018日照5月模拟〕椭圆
)
0(12
2
22>>=+b a b y a x 的离心率为
36，且过点)1,2(过点C 〔-1，0〕且斜率为k 的直线l 与椭圆相交于不同的两点B A ,.
〔Ⅰ〕求椭圆的方程；
〔Ⅱ〕在x 轴上是否存在点M ，使
2
5MA MB 3K 1
⋅++是与k 无关的常数？假设存在，求
出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由. （17）解：
，
22c b 1a 3a
∴∴=.
又
1〕，代入椭圆方程，得22211a b +=.所以22
5a 5,b 3==
. ∴椭圆方程为2
2
x y 155
+=，即22x 3y 5+=.……………………………………4分 〔Ⅱ〕在x 轴上存在点M 1(,0)6，使25MA MB 3k 1⋅++是与K 无关的常数.……5分
证明：假设在x 轴上存在点M 〔m,0〕,使
25MA MB 3k 1
⋅+
+是与k 无关的常数，
∵直线L 过点C 〔-1，0〕且斜率为K,∴L 方程为y k(x 1)=+， 由
⎩⎨
⎧+==+),
1(,
5322x k y y x 得
0536)13(2222=-+++k x k x k .
设),(),,(2
211y x B y x A ，那么
1
353,1362
2212221+-=⋅+-=+k k x x k k x x ……………6分
∵1122
MA (x m,y ),MB (x m,y ),=-=-
∴
12112255MA MB (x m)(x m)y y 3k 1
3k 1
⋅+
=--++
++……………………7分
2
121222212212122
2
2
2222222
2222225(x m)(x m)k (x 1)(x 1)3k 1
5
(1k )x x (k m)(x x )m k 3k 1
3k 56k 5
(1k )(k m)m k 3k 13k 13k 1
k 6mk 3m k m 3k 1
=--++++
+=++-++++
+--=++-++++++-+++=
+
是与k 无关的常数，
设常数为t ，那么22222
2k 6mk 3m k m t
3k 1
-+++=+.……………………10分 整理得222(3m 6m 13t)k m t 0+--+-=对任意的k 恒成立，
22
3m 6m 13t 0,m t 0.
⎧+--=⎪∴⎨-=⎪⎩解得
1m 6=，即在x 轴上存在点M 〔1,0
6
〕
， 使
25MA MB 3k 1
⋅+
+是与K 无关的常数.……………………………12分
25、〔2018威海二模〕
如图，在平面直角坐标系xoy 中，设点
()
0,F p 〔0p >〕，
直线l :y p =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与x
过R 、P 分别作直线1l 、2l ，使1l PF ⊥，2l l ⊥12l l Q =.
(Ⅰ)求动点Q 的轨迹C 的方程；
〔Ⅱ〕在直线l 上任取一点M 做曲线C 的两条切线，设切点为A 、B ，求证：直线AB 恒
过一定点；
(Ⅲ)对〔Ⅱ〕求证：当直线,,MA MF MB 的斜率存在时，直线,,MA MF MB 的斜率的倒数成等差数列.
解：(Ⅰ)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，
∴RQ 是线段FP 的垂直平分线、---------------------------------------2分 ∴
PQ QF
=、
故动点Q 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，
其方程为：24(0)x py p =>、-----------------------------------4分 〔Ⅱ〕设(,)M m p -，两切点为11(,)A x y ，22
(,)B x y
由24x py =得
214y x p =，求导得12y x
p
'=、
∴两条切线方程为
1111()
2y y x x x p
-=-① 2221
()
2y y x x x p
-=-②-------------------6分 对于方程①，代入点(,)M m p -得，
1111()
2p y x m x p
--=-，又21114y x p =
∴
211111()
42p x x m x p p
--=-整理得：2
211240x mx p --= 同理对方程②有2
222240x mx p --=
即1
2
,x x 为方程
22240x mx p --=的两根.
∴
212122,4x x m x x p +==-③-----------------------8分
设直线AB 的斜率为k ，
2
221211221211()
4()4y y x x k x x x x p x x p
--===+--
所以直线AB 的方程为
211211()()44x y x x x x p p
-=+-，展开得：
12121()44x x y x x x p p =+-，代入③得：2m
y x p
p
=+ ∴直线恒过定点(0,)p .-------------------------------------10分 (Ⅲ)证明：由〔Ⅱ〕的结论，设(,)M m p -，11(,)A x y ，22
(,)B x y
且有
212122,4x x m x x p +==-，
∴
1212,MA
MB y p y p k k x m x m
++==------------------------------11分 ∴
11MA MB k k +=1
21212222222
1212124()4()
4444x m x m x m x m p x m p x m x x y p y p x p x p p p p p
------=+=+=+++++++
=
1212212221122121212124()4()4()4()44()4p x m p x m p x m x p x m x pm pm m x x x x x x x x x x x x p p
-----+====-
----
--------------------------13分 又∵
12MF
m m k p p p ==---，所以112MA MB MF
k k k +=
即直线,,NA NM NB 的斜率倒数成等差数列.----------------------------14分 26、〔2018烟台二模〕如图，过抛物线2x 4y =焦点F 的直线l 与抛物线交点点A ，B 〔A 在第一象限〕，点C
()0,t 〔t ＞1〕.
〔1〕假设△CBF ，△CFA ，△CBA 的面积成等差数列，求直线l 的方程； 〔2〕假设
964AB ,27⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭
，且∠FAC 为锐角，试
求t 的取值范围. 解析：〔Ⅰ〕设直线的方程为1+=kx y ， 代入y
x 42=得0442=--kx x .
设),(),,(2
211y x B y x A ，
那么124,x x k +=12
4.x x =-①
又因为CBF ∆，CFA ∆，CBA ∆的面积成等差数列，即
||B F ，||F A ，||B A 成等差数列，那么
||2||||FA BA BF =+，得||2||BF FA =.
即21
2x x
-=，代入①得22
-
=x
，
=
.
所以所求直线方程为
1
4
2
+=
x y .
〔Ⅱ〕抛物线的焦点为(0,1)F ，故11(,1)A F x y =--，11
(,)A C x t y =--
假设FAC ∠为锐角，那么21A F A C x ⋅=+11
(1)()0y t y -->，
即
2
11
(3)0y t y t +-+>.
因为
)
7
6429(∈AB ，
又12||2A B y y =++
1211=+++kx kx 12()2=++k x x 244k =+， 且
2
2111()y k x -=211
(1)4y y -=，从而
4
)1(1
2
1+-=y y AB
，
得
111
(,)(2,7)
72
y ∈. 假设111(,)
72y ∈，当1>t 时，FAC ∠必为锐角；
假设
1(2,7)y ∈，那么211()g y y =+1(3)0t y t -+>在(2,7)上恒成立.
由于1()g y 的对称轴为
132
t y -=-
， 故〔1〕当322
t
--
<，即17t <<时，(2)100
g t =->满足题意； 〔2〕当327
2
t
-≤-≤，即717t ≤≤时，2(3)40t t ∆=--<， 即21090t t -+<，解得19t <<.所以79t ≤<. 〔3〕当372
t -->，即17t >时，(7)7060
g t =->无解. 综上，t 的取值范围是(1,9)、。