山东省济南市2019-2020学年高二下学期末考试数学试题 Word版含解析

济南市2020年7月高二年级学情检测数学试题
一、单项选择题
1. 复数(2)z i i =-（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A. 12i - B. 12i +
C. 12i -+
D. 12i --
【答案】A 【解析】
【详解】试题分析：(2)12z i i i =-=+，则12z i =-. 故选：A ．
考点：复数的运算．
2. 6
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为（ ）
A. 120
B. 70
C. 20
D. 1
【答案】C 【解析】 【分析】
首项写出展开式的通项，再令x 的指数为0，从而计算可得；
【详解】解：二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式的通项为6621661r
r r r r
r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，
令620r -=，解得3r =，所以3
4620T C ==.
故选：C.
【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 正方体1111ABCD A BC D -中，111BB A D CD ++=（ ） A. 1AC B. BD
C. 1CD
D. 1BD
【答案】D 【解析】 【分析】
利用111111,AD BC CD C D ==及向量加法法则计算．
【详解】∵1111ABCD A BC D -是正方体， ∴111111111BB AD CD BB C D BD BC ++=++=． 故选：D ．
【点睛】本题考查空间向量加法法则，属于基础题．
4. 已知某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，则现为20岁的这种动物活到25岁的概率是（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.32
【答案】B 【解析】 【分析】
由条件概率公式计算．
【详解】设事件A =“某种动物由出生算起活到20岁”，事件B =“某种动物由出生算起活到25岁”，
则()0.8,()0.4P A P B ==，显然AB B =，即()()P AB P B =， ∴()()0.4
(|)0.5()()0.8
P AB P B P B A P A P A ====． 故选：B ．
【点睛】本题考查条件概率，掌握条件概率计算公式是解题关键． 5. 曲线()sin 2x
f x e x =+在点()()
0,0f 处的切线方程为（ ）
A 2y = B. 2y x = C. 2y x =+
D.
2y x =-+
【答案】C
【解析】 【分析】
由()sin 2x
f x e x =+可求得导函数及对应(0)f 的函数值，进而可求(0)1f '=，即可得
()()0,0f 处的切线方程
【
详解】由原函数知：(sin c )s ()o x f x e x x +'=且(0)2f = ∴(0)1f '=，则在点()()
0,0f 处的切线方程为2y x =+ 故选：C
【点睛】本题考查了导数的几何意义，根据导数的几何意义求函数上某点处的切线方程
6. 若随机变量26,3X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则()21D X +=（ ） A.
43 B.
163
C.
173
D.
253
【答案】B 【解析】 【分析】
根据二项分布的方差，结合方差的性质，即可容易求得结果. 【详解】因为26,3X
B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，故可得()2146333D X =⨯⨯=，
故()21D X +=()16
43
D X =. 故选：B .
【点睛】本题考查二项分布的方差求解，涉及方差的性质，属综合简单题.
7. 若对任意的()0,x ∈+∞，()ln 21ax x -≥恒成立，则实数a 的最小值是（ ） A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】A 【解析】 【分析】 参数分离可得ln 21
x
a
x
，构造函数ln 21
()
x
f x x
，利用导数求出()f x 的最大值即
可. 【详解】
对任意的()0,x ∈+∞，()ln 21ax x -≥恒成立，
ln 21
x
a
x
在()0,x ∈+∞恒成立，
设ln 21
()
x
f x x
，
2
ln 2'()
x
f x x
， 令'()0f x =，解得12
x =
， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，'()0f x >，()f x 单调递增，
当1,2x ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
时，'()0f x <，()f x 单调递减， max
1
()()22
a
f x f ，即a 的最小值为2. 故选：A.
【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，分离参数，构造函数，利用导数求函数最值是解决问题的关键.
8. 《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +，B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100，
[81,90]，[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、[]31,40、[]21,30、八个分数区间，得
到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X ～()50,256N ，那么D 等级的原始分最高大约为（ ）
附：①若X ～()
2
,N μσ，
X Y μ
σ
-=，则Y ～()0,1N ；②当Y ～()0,1N 时，
()1.30.9P Y ≤≈. A. 23 B. 29
C. 36
D. 43
【答案】B 【解析】 【分析】
由于原始分与对应等级分的分布情况是相同的，由(P 等级分≥40)0.9=即有(P 原始分
≥
50
16
x -)0.9=，结合原始分满足X ～()50,256N 的正态分布即可得均值和标准差，而X Y μ
σ-=且()1.30.9P Y ≤≈知( 1.3)0.9P Y ≥-≈，即有
5016
x - 1.3=-求解即可 【详解】由题意知：X ～()50,256N 则有50μ=，16σ= 设D 等级的原始分最高大约为x ，对应的等级分为40 ，而(P 等级分
≥40)1(7%3%)0.9=-+=
∴有(P 原始分≥
50
16
x -)0.9= 而()1.30.9P Y ≤≈，由对称性知( 1.3)0.9P Y ≥-≈ ∴有
50
16
x - 1.3=-，即29.229x =≈ 故选：B
【点睛】本题考查了正态分布的应用，根据两个有相同分布情况的数据集概率相等，由已知数据集上某点上的概率找到另一个数据集上有相等概率的点，即可找到等量关系，进而求点的位置。

注意正态分布的对称性应用
二、多项选择题
9. 已知复数12ω=-+，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. 1ω=
B. 2ω的虚部为
C. 31ω=-
D.
1
ω
在复平面内对应的点在第四象限
【答案】AB 【解析】 【分析】
求得ω、2ω的虚部、3ω、
1
ω
对应点所在的象限，由此判断正确选项.
【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；
2
211312442ω⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
，虚部，所以B 选项正确；
2
2
32
1111222222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以C 选项错误；
221111222212ω--====--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，对应点为1,2⎛- ⎝
⎭，在第三象限，故D 选项错误. 故选：AB
【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 10. 在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男女乘客在机上晕机的情况，如下表所示：
则下列说法正确的是（ ）
附：参考公式：()()()()()
2
2n ad bc a c b d a b c d χ-=++++ ，其中n a b c d =+++.
独立性检验临界值表
A.
11126n n n ++
> B.
2 2.706χ<
C. 有90%的把握认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关
D. 没有理由认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关 【答案】ABD 【解析】 【分析】
由列联表数据关系求出各参数值即可确定A 得正误，根据
2χ的参考公式求值，由
20.775 2.706χ≈<结合临界值判定表知“没有理由认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男
女性别有关” ，由此可确定B 、C 、D 的正误 【详解】由列联表数据，知
111
2211122211261528
1562846
46
n n n n n n n n n n ++
+
++++=⎧⎪+=⎪
⎪+=⎪⎨
+=⎪⎪+=⎪+=⎪⎩，得11221121213182719
n n n n n +++=⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩ ∴111212466
27919
n n n ++==>=，即A 正确
合计 18 28 46
∴2
2
46(1213615)0.77518281927
χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯< 2.706，即B 正确
且没有理由认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关；即D 正确 故选：ABD
【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想，求列联表中参数值以及2χ的观测值，进而判断选项的正误
11. 如图，棱长为的正方体1111ABCD A BC D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A. 直线1D P 与AC 所成的角可能是6
π
B. 平面11D A P ⊥平面1A AP
C. 三棱锥1D CDP -的体积为定值
D. 平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】
对于A ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线D 1P 与AC 所成的角为,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
；对于B ，由A 1D 1⊥AA 1，A 1D 1⊥AB ，得A 1D 1⊥平面A 1AP ，从而平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ；对于C ，三棱锥D 1﹣CDP 的体积1116
D CDP P CDD V V --==为定值；对于D ，平面APD 1截正方体所得的截面不可能是直角三角形．
【详解】对于A ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，
()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0D A C ，设()()1,,01,01P a b a b <<<< ()()11,,1,1,1,0D P a b AC =-=-
()112
2
1cos ,0112
D P AC D P AC D P AC
a b ⋅=
=
<++-⨯
1301,01,,2
4
a b D P AC π
π
<<<<∴
<<
∴直线D 1P 与AC 所成的角为,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，故A 错误； 对于B ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1⊥AA 1，A 1D 1⊥AB ， ∵AA 1
AB ＝A ，∴A 1D 1⊥平面A 1AP ，
∵A 1D 1⊥平面D 1A 1P ，∴平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故B 正确； 对于C ，
1
11
1122
CDD S
=⨯⨯=，P 到平面CDD 1的距离BC ＝1， ∴三棱锥D 1﹣CDP 的体积：
11111
1326
D CDP P CDD V V --==⨯⨯=为定值，故C 正确；
对于D ，平面APD 1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D 错误； 故选：BC ．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12. 已知函数()3
2
1f x x ax bx =++-，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在0x R ∈，使得()00f x =
B. 1a =时，点()0,1-是函数()f x 图象的对称中心
C. 0b <时，()f x 在R 上存在减区间
D. 0b <时，若()f x 有且仅有两个零点1x ，2x ，且12x x <，则122x x a +=- 【答案】ACD 【解析】 【分析】
由零点存在定理判断A ，由函数的对称性判断B ，利用导函数判断C ，由导函数确定极值点，得单调性，确定极大值点也是零点，结合解高次不等式穿根法的思想可利用零点得出函数的解析式，与已知解析式比较可判断D ．
【详解】(0)10f =-<，不论,a b 为何值，当1x 充分大时， 一定有1()0>f x ，那么在1(0,)x 上一定有零点．A 正确；
1a =时，
2()()222f x f x x -+=-≠-，
因此函数图象不关于(0,1)-对称，B 错；
2()32f x x ax b '=++，当0b <时，24120a b ∆=->，
()0f x '=必有两不等实根1212,()x x x x <，在12(,)x x 上， ()0f x '<，即()f x 递减，C 正确；
0b <，设
2()320f x x ax b '=++=的两根为,m n （m n <）
， 03
b
mn =
<，∴0,0m n <>，()f x 在(,)m -∞和(,)n +∞上递增， 在(,)m n 上递减，所以m 极大值点，n 是极小值点， 若()f x 有且仅有两个零点1x ，2x ，且12x x <， 又(0)10f =-<，∴()0f m =，1x m =，2x n >， 根据解高次不等式的穿根法思想得2
12()()()f x x x x x =--，
23222121211212()()()(2)(2)f x x x x x x x x x x x x x x x =--=-+++-，
∴12(2)x x a -+=，即122x x a +=-．D 正确．
故选：ACD ．
【点睛】本题考查命题的真假判断，考查知识点较多，零点存在定理，函数图象的对称性，导数与单调性、零点的关系．考查了学生分析解决问题的能力，逻辑推理能力，属于中档题．
三、填空题
13. 已知向量()2,1,6m =-，()1,,3n λ=，且//m n ，则λ的值为______. 【答案】1
2
- 【解析】 【分析】
根据空间向量平行的坐标计算公式，即可容易求得结果. 【详解】因为向量()2,1,6m =-，()1,,3n λ=，且//m n ，
故可得1
22λ=-
=，解得1
2λ=-. 故答案为：1
2
-.
【点睛】本题考查由空间向量共线求参数值，属简单题.
14. 某老师安排甲、乙、丙、丁4名同学从周一至周五值班，每天安排1人，每人至少1天，若甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为______.（请用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】
首先在周一到周五任选连续的两天安排甲值班，即有1
4C 种方式，其它三天安排乙、丙、丁值班，有33A 种方式，由分步计数原理，即有总方法有14C 3
3A 种，即可求得所有安排方法数 【详解】从周一至周五值班，甲连续两天值班，乙、丙、丁每人值班一天，可知 1、周一到周五任选连续的两天安排给甲值班，则有：14C 种安排方法 2、甲值班两天除外，其它三天安排乙、丙、丁值班，则有：3
3A 种安排方法 以上两步是分步计数方法：故总的不同的安排方法为14C 3
3A = 24种 故答案为：24
【点睛】本题考查了排列组合，应用分步计数原理求总计数，注意其中“对甲连续两天的值
班安排”应用了捆绑法
15. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为22，则1AC 与面11ABB A 所成的角为______.
【答案】6
π
【解析】 【分析】
取11A B 的中点D ，连接1C D 、AD ，证明出1C D ⊥平面11ABB A ，可得出直线1AC 与面11ABB A 所成的角为1C AD ∠，计算出1AC 和1C D ，进而可求得1C AD ∠. 【详解】如下图所示，取11A B 的中点D ，连接1C D 、AD ，
111A B C 为等边三角形，D 为11A B 的中点，则111C D A B ⊥， 1AA ⊥平面111A B C ，1C D ⊂平面111A B C ，11C D AA ∴⊥，
又1
111AA A B A =，1C D ∴⊥平面11ABB A ，∴直线1AC 与面11ABB A 所成的角为1C AD ∠，
易得1AC =
=
，111sin
3
C D AC π
==
在1Rt AC D 中，1111sin 2C D C AD AC ∠=
=，1C AD ∠为锐角，则16
C A
D π∠=.
因此，直线1AC 与平面11ABB A 所成的角为6
π
. 故答案为：
6
π
. 【点睛】本题考查直线与平面所成的角的计算，考查计算能力，属于中等题.
16. 甲乙两名同学进行羽毛球比赛，采用三局两胜制，甲每局获胜的概率为p ，甲赢得比赛的概率为q .若q p >，则p 的取值范围是______；当q p -取得最大值时，p 的值为______. 【答案】 (1). 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
(2).
36
+ 【解析】 【分析】
用p 表示出q ，结合概率的知识以及q p >，求得p 的取值范围，求得q p -的表达式，利用导数求得q p -最大时p 的值.
【详解】依题意可知()()2
1
2
2
2121q p C p p p p p p =+⋅⋅-⋅=+-3223p p =-+.
所以320123p p p p <<⎧⎨-+>⎩，32
01230p p p p <<⎧⎨-+<⎩，()()012110p p p p <<⎧⎨--<⎩，解得1
12p <<. 令()32
12312f p p p p p ⎛⎫=-+-<< ⎪⎝⎭
，
()'2661f p p p =-+-，令()'0f p =
，解得p ==.
所以()f p
在区间0⎛ ⎭⎝，()'0f p >，()f p 递增；
在区间⎫⎪⎪⎭
⎝，()'
0f p <，()f p
递减，所以当36
p =时，()f p 也即q p -取得最大值.
故答案为：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查利用导数研究最值，属于中档题.
四、解答题
17. 已知()12n
x -展开式中只有第5项的二项式系数最大. （1）求展开式中含2x 的项；
（2）设()2
01212n n n x a a x a x a x -=+++
+，求123n a a a a ++++的值.
【答案】（1）2112x ；（2）0. 【解析】 【分析】
（1）根据二项式系数的最大项求得n ，再利用二项式展开式的通项公式即可求得2x 的项； （2）利用赋值法，即可容易求得结果.
【详解】（1）因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以8n =
()182r
r r r T C x +=-，0,1,
,8r =，
所以当2r
时，()2
2222182112T C x x +=-=.
（2）令1x =，得012381a a a a a +++++=，
又01a =， 所以12380a a a a +++
+=
【点睛】本题考查二项式系数的单调性，以及用二项式展开式通项公式求指定项系数，以及用赋值法求系数和，属综合基础题. 18. 已知函数()()1x
f x e a x =-+.
（1）当2a =时，求()f x 的单调区间； （2）求()f x 的极值.
【答案】（1）()f x 的单调减区间是(),ln 2-∞，单调增区间是()ln 2,+∞；（2）当0a ≤时，无极值；当0a >时，有极小值ln a a -，无极大值. 【解析】 【分析】
（1）求导，令导数大于0得增区间，导数小于0得减区间（2）先求导函数，分类讨论函数的
单调性，根据单调性得极值即可.
【详解】解：（1）当2a =时，()22x
f x e x =--，所以()2x
f x e '=-，
令()0f x '>，得ln 2x >， 令()0f x '<，得ln 2x <，
所以()f x 的单调减区间是(),ln 2-∞，单调增区间是()ln 2,+∞. （2）()x
f x e a '=-
若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在R 递增，所以无极值， 若0a >，则()f x 在(),ln a -∞单调递减，()ln ,a +∞上单调递增. 所以当ln x a =时，有极小值ln a a -，无极大值.
综上，当0a ≤时，无极值；当0a >时，有极小值-ln a a ，无极大值.
【点睛】本题考查了求函数的单调区间，函数极值，意在考查学生对于函数性质的综合应用，中档题.
19. 某学校组织一次自然科学夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，为了活动的需要，要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本.
（1）已知10名同学中有2名共青团员，求抽取的3人中至少有1名共青团员的概率； （2）设X 表示抽取的3名同学中女生的人数，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）815；（2）分布列见解析，65
. 【解析】 【分析】
（1）根据对立事件的概率公式进行求解即可；
（2）根据概率的计算公式，结合离散型随机变量分布列、数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）记事件A =“抽取的3人中至少有1名共青团员”，
则()3
83107
15
C P A C ==
所以()()
8
115
P A P A =-=
. 所以抽取的3人中至少有1名共青团员的概率是
815
（2）由题意知，X 可能的取值为0，1，2，3.
(
)0346310106C C P X C ===，()12463101
12C C P X C ===，
()21
463103210C C P X C ===，()30463101
330
C C P X C ===.
所以随机变量X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
16
12
310 130
()11316
01236210305
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】本题考查了对立事件的概率公式的应用，考查了离散型随机变量分布列和数学期望公式的应用，考查了数学运算能力.
20. 如图，三棱锥D ABC -中，2AD BD ==，2AB =，23
AC =
，AC ⊥平面ABD ，AE BC ⊥于点E
（1）求证：BD ⊥平面ACD ； （2）求二面角C AE D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）21
7
- 【解析】 【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用0BD AC ⋅=、0BD AD ⋅=，证得BD ⊥平面ACD .
（2）通过平面ADE 和平面ACE 的法向量，计算出二面角C AE D --的余弦值.
【详解】（1）取AB 中点O ，连接OD ，由于AD BD =，则⊥OD AB ，又由AC ⊥面ABD 知，面ABD ⊥面ABC ，所以OD ⊥面ABC .取BC 中点P ，连接PO ，则//PO AC ，又因为AC ⊥面ABD ，所以AC AB ⊥，所以PO AB ⊥，所以OB ，OP ，OD 两两垂直. 以O 为坐标原点建系如图.
由题意知，()1,0,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1D
，C ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭ 则()1,0,1BD =-，()1,0,1AD =
，AC ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以，0BD AC ⋅=，即AC BD ⊥；
0BD AD ⋅=，即AD BD ⊥；
又AD ，AC ⊂面ACD ，AD AC A =，
所以BD ⊥平面ACD
（2）由题意知，()1,0,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1D
，C ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
在Rt ABC △中，因为2AB =
，3
AC =
AC AB ⊥，所以30ABC ∠=︒， 又因为AE BC ⊥，所以1AE =
，所以1,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 故()1,0,1AD =
，1,22AE ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
设面ADE 的一个法向量(),,m x y z =，
则00m AD m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即0
102
2x z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1y =
，则(3,1,m =- 又易知面ACE 的一个法向量()0,0,1n =， 则21cos ,m n m n m n
⋅=
=
⋅， 由图知二面角C AE D --为钝角，
所以二面角C AE D --的余弦值为217
-
.
【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，属于中档题.
21. 自新型冠状病毒肺炎（COVID —19）疫情爆发以来，国家采取了强有力的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护.以下是济南市2020年1月24月~31日的累计确诊人数统计表与对应的散点图.将1月24日作为第1天，连续8天的时间作为变量x ，每天累计确诊人数作为变量y . 日期 24 25 26 27 28 29 30 31 时间x
1 2 3 4 5 6 7 8 累计确诊人数y 2
3
7
10
11
14
16
18
（1）由散点图知，变量y 与x 具有较强的线性相关关系，求y 关于x 的回归直线方程； （2）经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，如果每一个健康个体被感染的概率为0.3，在一次9人的家庭聚餐中，有一位感染者参加了聚餐，记其余8人中被感染的人数为X ，求
()P X k =取得最大值时k 的值.
参考公式及数据：1
22
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nxy
b
x
nx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx
=-；92x =，818y =，8
21
204i i x ==∑，8
1
464i i
i x y
==∑
【答案】（1）19915
ˆ8428
y
x =-；（2）2. 【解析】 【分析】
（1）根据所给公式计算回归直线方程中的系数，得回归方程； （2）由题意()8,0.3X B ，得出()P x k =，然后由()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=-⎧⎨=≥=+⎩
求得k ，即
得结论．
【详解】（1）1
2
22
1
981
464819928ˆ
2.484920482n
i i
i n
i
i x y nxy
b x
nx ==--⨯⨯
=
==≈⎛⎫
--⨯ ⎪
⎝⎭
∑∑， 15ˆˆ0.528a
y bx =-=-≈-， 所以19915
ˆ8428
y
x =-（或ˆ 2.40.5y x =-） （2）由题()8,0.3X
B ，所以()880.30.7k k
k P X k C -==，（0,1,2,
,8k =）
因为()P X k =时取最大值，
所以8119888117880.30.70.30.70.30.70.30.7
k k k k k k
k k k k k k
C C C C -----++-⎧≥⎨≥⎩，
()()()()()()8198178!8!0.30.70.30.78!!9!1!8!8!0.30.70.30.78!!
7!1!k k k k
k k k k
k k k k k k k k ----+-⎧≥⎪---⎪
⎨
⎪≥⎪--+⎩ 0.30.7
2.790.70.3 1.7 1.7 2.781k k k
k k k k ⎧≥⎪≤⎧⎪-⇒⎨⎨
≥⇒≤≤⎩⎪≥
⎪-+⎩
， 又因为k Z ∈，所以2k =时()P X k =取得最大值.
【点睛】本题考查线性回归直线方程，考查二项分布，求二项分布中概率的最大值，可通过
解不等式组的方法求解：即由()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=-⎧⎨=≥=+⎩
确定概率最大值时的k 值．
22. 已知函数()ln f x x x x =-，()()1
12
x g x e =-. （1）若2
1
,x e e
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的最值；
（2）若存在(]
00,x m ∈，使得()()0f x g m ≤，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()min 1f x =-，()2
max f x e =；（2）(]0,ln3.
【解析】 【分析】
（1）求得()f x 的定义域和导数，利用导数研究()f x 在区间2
1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
（2）将问题转化为()()min f x g m ≤，(]
0,x m ∈.对m 分成01m <≤，1m 两种情况进行分类讨论，结合导数进行分析，由此求得m 的取值范围. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()ln f x x '=， 令()0f x '=，得1x =，
当1,1x e ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时，()0f x '<，()f x 单调递减；
当(
21,x e ⎤∈⎦时，()0f x '>，()f x 单调递增
- 21 - 又12f e e
⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，()22f e e =. 所以()()min 11f x f ==-，()()22
max f x f e
e == （2） 由题意知：只需()()min
f x
g m ≤，(]0,x m ∈，
由（1）知()f x 在()0,1单调递减，()1,+∞单调递增，
①若01m <≤，则()f x 在(]
0,m 单减，则只需()()f m g m ≤，
即2ln 210m m m m e --+≤，
记()21m m m e ϕ=--+，01m <≤， 因为()2m
m e ϕ'=-+，所以()m ϕ在()0,ln 2减，()ln 2,1增， 而()00ϕ=，()10ϕ<，所以()0m ϕ<在01m <≤恒成立，
又因为2ln 0m m ≤，所以2ln 210m m m m e --+≤对任意01m <≤恒成立.
②若1m ，()()min 1f x f =，只需()()1f g m ≤， 即()1112
m e -≤-，解得1ln 3m <≤， 综上，(]0,ln3m ∈.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用导数研究不等式成立的存在性问题，属于中档题.。