创新设计数学一轮理科人教B配套课时作业 第十二章 概率随机变量及其分布

第6讲随机变量的数字特征
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2013·广东卷)已知离散型随机变量X的分布列为
X 123
P 3
5
3
10
1
10
则X的数学期望E(X)＝()
A.3
2B．2 C.
5
2D．3
解析E(X)＝1×3
5
＋2×3
10
＋3×1
10
＝3
2.
答案 A
2．已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为()
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1
解析由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.故选B.
答案 B
3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为() A．100 B．200 C．300 D．400
解析记不发芽的种子数为Y，则Y～B(1 000，0.1)，
∴E(Y)＝1 000×0.1＝100.又X＝2Y，∴E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.
答案 B
4．口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的数学期望E (X )的值是
( )
A ．4
B ．4.5
C ．4.75
D ．5
解析 由题意知，X 可以取3，4，5，P (X ＝3)＝1C 35
＝1
10，
P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24
C 35
＝610＝35，
所以E (X )＝3×110＋4×310＋5×3
5＝4.5， 故选B. 答案 B
5．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的方差D (X )的值为
( )
A.12
5
B.2425
C.8
5
D.265
解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为3
5，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4，35，∴D (X )
＝4×35⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－35＝2425.
答案 B 二、填空题
6．(2014·浙江卷)随机变量X 的取值为0，1，2.若P (X ＝0)＝1
5，E (X )＝1，则D (X )＝________．
解析 由题意设P (X ＝1)＝p ，由概率分布的性质得P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝4
5－p ，
由E (X )＝1，可得p ＝35，所以D (X )＝12×15＋02×35＋12×15＝2
5. 答案 2
5
7．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2
3，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若
P(X＝0)＝1
12，则随机变量X的数学期望E(X)＝________．
解析由题意知P(X＝0)＝1
12
＝(1－p)2×1
3
，
∴p＝1
2
，随机变量X的可能值为0，1，2，3，
因此P(X＝0)＝1
12
，
P(X＝1)＝2
3×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
2
＋2
3×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
2
＝1
3
，
P(X＝2)＝2
3×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
2
×2＋
1
3×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
2
＝5
12
，
P(X＝3)＝2
3×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
2
＝1
6
，
因此E(X)＝1×1
3＋2×5
12
＋3×1
6
＝5
3.
答案5 3
8．某保险公司新开设一项保险业务，规定该份保单在一年内如果事件E发生，则该公司要赔偿a元，在一年内如果事件E发生的概率为p，为使该公司收益期
望值等于a
10，公司应要求该保单的顾客缴纳的保险金为________元．
解析设随机变量X表示公司此项业务的收益额，x表示顾客交纳的保险金，则X的所有可能值为x，x－a，且P(X＝x)＝1－p，P(X＝x－a)＝p，
所以E(X)＝x(1－p)＋(x－a)p＝a
10，得x＝
a（10p＋1）
10.
答案a（10p＋1）
10
三、解答题
9．(2014·湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别
为2
3和
3
5.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互
独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望． 解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )
＝23，P (E －)＝13，P (F )＝35，P (F －)＝2
5，且事件E 与F ，E 与F －，E －与F ，E －与F －
都相
互独立．
(1)记H ＝“至少有一种新产品研发成功”，则H －
＝E －
F －
， 于是P (H －
)＝P (E －
)P (F －
)＝13×25＝2
15，
故所求的概率为P (H )＝1－P (H －
)＝1－215＝13
15.
(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X
＝0)＝P (E －F －
)＝13 ×25＝215，P (X ＝100)＝P (E －
F )＝13×35＝3
15，
P (X ＝120)＝P (EF －
)＝23×25＝4
15，
P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝6
15.
故所求的分布列为
数学期望为
E (X )＝0×215＋100×315＋120×415＋220×6
15 ＝300＋480＋1 32015
＝2 10015＝140.
10．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆， 统计数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.
则P(A)＝2＋3
50＝
1
10.
(2)依题意得，X1的分布列为
X2的分布列为
(3)由(2)得，E(X1)＝1×1
25＋2×
3
50＋3×
9
10
＝143
50＝2.86(万元)，
E(X2)＝1.8×1
10＋2.9×
9
10＝2.79(万元)．
因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
11．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的期望值为()
A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4
解析 X 的所有可能取值为3，2，1，0，其分布列为
∴E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376. 答案 C
12．掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4，5或6，丙盒中放一球，共掷6次，用x ，y ，z 分别表示掷完6次后甲，乙，丙盒中球的个数．令X ＝x ＋y ，则E (X )＝
( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析 将每一次掷骰子看作一次实验，实验的结果分丙盒中投入球为成功和丙盒中不投入球为失败且相互独立，则丙盒中投入球成功的概率为1
2，用z 表示6次实验中成功的次数，则z ～B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫6，12，
∴E (z )＝3，又x ＋y ＋z ＝6，
∴X ＝x ＋y ＝6－z ，∴E (X )＝E (6－z )＝6－E (z )＝
6－3＝3. 答案 B
13．随机变量X 的分布列如下：
其中a ，b ，c 成等差数列，若E (X )＝1
3，则D (X )的值是________．
解析 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，
a ＋c ＝2
b ，
E （X ）＝－a ＋0＋c ＝1
3，
解得a ＝16，b ＝13，c ＝1
2.
∴D (X )＝16×⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1－132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132＋12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－132＝59.
答案 5
9
14．(2014·安徽卷)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为1
3，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；
(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)． 解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，
则P (A k )＝23，P (B k )＝1
3，k ＝1，2，3，4，5. (1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝
P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×1
3×
⎝ ⎛⎭
⎪⎫232＝56
81.
(2)X 的可能取值为2，3，4，5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)
＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝2
9， P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)
＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝10
81， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为
E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝224
81.。