三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题18双曲线理20171102337

专题 18 双曲线
1.【2017课标 II ，理 9】若双曲线 C :
x
y
2
2
（ a 0 ， b 0）的一条渐近线被圆
2
2
1
a b
2
2
x 2
y 4所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（）
A ． 2
B ．
3
C ．
2
D ．
2 3 3
【答案】A 【解析】
即：
4
2
2 c a
c
2
，整理可得： c 2
4a 2 ,
3
e
双曲线的离心率
c
2。

故选
A 。

2
4 2
a
【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式
【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取 值范围)，常见有两种方法： ①求出 a ，c ，代入公式
e c ； a
②只需要根据一个条件得到关于 a ，b ，c 的齐次式，结合 b 2＝c 2－a 2转化为 a ，c 的齐次式， 然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a 2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可 得 e (e 的取值范围)。

2.【2017课标3，理5】已知双曲线C：x y
22
221
(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为
a b
1
5
x
y
有公共焦点，则 C 的方程为 2
2
y
x ,且与椭圆
1
2
12
3
A ．
x
y
B ．
2
2
1
8 10
x
y
C ．
2
2
1
4 5 x
y
D ．
2
2
1
5 4
x y
2
2
1
4
3
【答案】B 【解析】
试题分析：双曲线 C ： x
y
2
2
(a ＞0,b ＞0)的渐近线方程为 y b x 2
2
1
，
a
b a
椭圆中： a 2
12,b 2 3,
c 2
a 2
b 2
9,c 3，椭圆，即双曲线的焦点为
3, 0
，
b
5
a
2
据此可得双曲线中的方程组： c 2 a 2 b 2 c 3
，解得： a 2
4,b 2
5 ， 则双曲线C 的方程为
x
y
2
1 . 4
5
故选 B .
3.【2017天津，理 5】已知双曲线
x
y
2 2 2
2
1( 0, 0)
a b 的左焦点为 F ，离心率为
2 .若 a b
经过 F 和 P (0, 4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 （A ）
x y （B ）
2
2
1
4
4 x
y
（C ） 2
2
1
8 8 x
y
（D ）
2
2
1
4 8
x y
2
2
1
8
4
【答案】 B
4
x
y
2
2
【解析】由题意得
，选 B.
a b ,
1 c 4,a
b 2 2
1
c
8 8
2
【考点】双曲线的标准方程
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于a,b,c的方程，解方程组求出a,b，另外求双曲线方程要注意巧设
双曲线（1）双曲线过两点可设为mx2ny21(mn 0)，（2）与x y
22
221共渐近线的双
a b
曲线可设为x y
22
22(0)，（3）等轴双曲线可设为x2y2(0)等，均为待定系
a b
数法求标准方程.
4.【2016高考新课标1卷】已知方程
x y
22
221
表示双曲线,且该双曲线两焦点间m n3m n
的距离为4,则n的取值范围是( )
（A ）1,3（B ）1,3（C ）0,3（D ）0,
3
【答案】A 【解析】
试题分析：
x y
22
表示双曲线,则
221
m2n3m2n
m n3m n
c2m2n 3m2n 4m2,其中是半焦距∴m2n 3m2,由双
曲线性质知：
∴焦距2c 22m 4,解得m 1,∴1n 3,故选A．考点：双曲线的性质
5.【2016高考新课标2理数】已知F1,F2是双曲线E
x y
22
:1的左，右焦点，点M
在E
a b
22
上，
MF与轴垂直，sin
1
1
,则E的离心率为（）
MF F
21
3
（A）2（B）3
2
（C）3（D）2
【答案】A
【解析】
3
试题分析：因为
MF 垂直于 x 轴，所以 1
b
b
2
2
MF 1
, MF 2 2a
，因为
sin
a
a
1
MF F ，
2 1
3
即
b
2
MF
a 1
MF
b
2
2
2a
a
1 3
，化简得b a ，故双曲线离心率 e 1 b
2
.选
A.
a
考点：双曲线的性质.离心率.
【名师点睛】区分双曲线中 a ，b ，c 的关系与椭圆中 a ，b ，c 的关系，在椭圆中 a 2＝b 2＋c 2， 而在双曲线中 c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率 e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率 e ∈(0，1)．
6.【2015高考新课标 2，理 11】已知 A ，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为等 腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为（） A ． 5
B ．
C ． 3
D ． 2
【答案】D
【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质．
【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点 M 的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题． 7.【2015高考四川，理 5】过双曲线
y
2
x 2
1的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双
曲线
3
的两条渐近线于A，B两点，则AB（）
4
(A)
4 3 3
(B)2 3
(C)6
（D ） 4 3
【答案】D 【解析】
双曲线的右焦点为 F (2,0)，过 F 与 x 轴垂直的直线为 x 2 ，渐近线方程
为
y
2
x 2
0，
将
3
x 2 代
入
y
2
x 2
0得： y 2 12, y 2 3, | AB | 4 3 .选
dreamsummit.
3
8.【2016高考天津理数】已知双曲线
x
y
2
2
=1（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴
长
4
b
2
为半径长
的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A 、B 、C 、D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b ，则双曲线
的方程为（）
（A ）
x （B ）
2
2
3y =1
4
4
x
4
（C ）
2
2
y
=1
4 3
x
y
2
2
=1
（D ）
4
b
2
x
y 2
2
4 12
=1
【答案】D 【解析】
试 题 分 析 ： 根 据 对 称 性 ， 不 妨 设 A 在 第 一 象 限 ， A (x , y ) ， ∴
4
x
x y
4
2
2
b
4
2
b b
y x y
4
，
242
b
2
16b b
∴xy b2 12
b422
2，故双曲线的方程为
x y ，故选
D.
22
1
412
考点：双曲线渐近线
【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：
(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指
确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．
5
(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论． ①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为 Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)． ②若已知渐近线方程为 mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为 m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)． 9.【2015高考新课标 1，理 5】已知 M （
x 0 , y 0 ）是
双曲线 C ：
x 2
2
y 2 1
上的一点， F
F
1
,
2
是 C 上的两个焦点，若
MF 1 MF 2 0 ，则
y 的取值范围是( )
（A ）（-
3 3 ，
33 ） （B ）（- 3 6
， 36
）
（C ）（ 2
2 ， 2 2
2 2 ， 2 2 3
3
）（D ）（
2 3 ， 2 3 3 3 ）
【答案】A
【 解 析 】 由 题 知
F
F ，
1
(
3, 0), 2 ( 3, 0)
x 2
0 2 y
， 所 以
0 1 2
MF
MF
=
1
2
( 3 x ,y )( 3 x ,
y ) =x 2
y 2
y 2
，解得
3 3 0 1 0
3 3 y
，
故选
3
3
A.
10.【2015高考重庆，理 10】设双曲线 x
y
2
2 2
2
1
（a >0,b >0）的右焦点为 1，过 F 作
AF 的
a b
垂线与双曲线交于 B ,C 两点，过 B ,C 分别作 AC ，AB 的垂线交于点 D .若 D 到直线 BC 的距离小 于 a a 2 b 2 ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A 、 (
1,0)
(0,1)
B 、
(
,1) (1,)
C、(2,0)(0,2)
D、(,2)(2,)【答案】A
【解析】由题意
b b
22
A(a,0),B(c,),C(c,)，由双曲线的对称性知D在轴上，设
D(x,0)，
a a
6
由BD AC得b b
22
a a
1
，解得
c x a c
c x
b
4
a2(c
a)
，所以
b
4
c x a a b
a c
22
a2(c a)，所以
b
4
a
2
22
2
c a b
b 0b1
2
21，
因
a a
此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)，选A.
【考点定位】双曲线的性质.
【名师点晴】求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于a,b,c的不等式，根据已知条件和双曲线中a,b,c的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于a,b的不等关系，解不等式可得所求范围．解题中要注意椭圆与双曲线中a,b,c关系的不同．
11.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y
2x的是（）
（A）
y
2
x21
（B）
4
x
2
4
y21
（C）
y
2
4
x21
（D）
x
2
y2
1
4
【答案】C
12.【2015高考湖北，理8】将离心率为的双曲线
C的实半轴长和虚半轴长b(a b)同时增加
1
m(m 0)个单位长度，得到离心率为e的双曲线C，则（）
22
A．对任意的a,b，e e B．当a b时，e e；当a b时，e e
121212
C．对任意的a,b，e e D．当a b时，e e；当a b时，e e
121212
【答案】D
7
e
a b b 2
2
a
b
b
【解析】依题意，
2
1
1 ( )
a
a
(a m )
(b m )
b m
2
2
e
2
1
(
) ，
2
，
a m
a m
因为
b a
b
m ab bm ab am m (b a )
，由于 m
0， a 0 ，b
0，
a m
a (a m )
a (a m )
b
b m b b m b b m 所以当 a
b 时， 0 1， 0
1
， ( )2
(
)2 ，所以
，
e
e ；
a
a m a a m
a
a m
1
2
b
b b m
b m
b
b m 当 a
b 时， 1， 1
，所以 ( )2
(
)2 ，所以
，而
e
e .
a a m
a a m a
a m
1
2
所以当 a b 时， e
e ；当 a b 时， e
e .
1
2
1
2
【考点定位】双曲线的性质，离心率.
【名师点睛】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．分类讨论的时应做到：分类不重不漏； 标准要统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 13.【2015高考福建，理 3】若双曲线
x
y
2
2
E :
1 的左、右焦点分别
为
9 16
F F ，点 P 在双 1, 2
曲线 E 上，且 PF
，则
1
3
P F 等于（ ）
2
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3
【答案】B
14.【2017课标1，理】已知双曲线C：x2y2
221
（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，
a b
b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.
【答案】23 3
【解析】试题分析：
8
如图所示，作 AP MN ，因为圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M 、N 两点，则 MN 为双曲
线的渐近线
b
y
x
上的点，且 A (a ,0) ， AM AN
b a
而 AP
MN ，所以 PAN 30 ， 点 A (a ,0) 到直线
b y x 的距
离
a
AP
| b |
1
b a
2
2
在 Rt PAN 中， cos PAN PA
NA
代入计算得 a 2 3b 2 ，即 a 3b
由 c 2 a 2 b 2 得 c 2b 所以
e c 2b
2 3
.
a
3b
3
【考点】双曲线的简单性质.
x
y
2
2
15.【2017山东，理 14】在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
2
2
1 a 0,b
0 的右支与 a
b
焦点为 F 的抛物线 x 2
2px
p
0交于 A ,B 两点，若 AF
BF
4 OF ，则该双曲线的渐近
线方程为.
【答案】
2
y
x
2
p p p
【解析】试题分析：|AF||BF|=y y4y y p，
A B A B
222
9
22
x y
1
因为a b
2220
a y p
b y a b
22222
x2py
2
，所以
2pb
2
y y p a
2b
A B
2
a
渐近线方程为
2
y
x.
2
【考点】1.双曲线的几何性质.2.抛物线的定义及其几何性质.
【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.
对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方
程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.
因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2By21的形式，当A 0，B 0，A B 时为椭圆，当AB
0时为双曲线.
2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
16.【2017北京，理9】若双曲线
y
2
x21
的离心率为3，则实数
m=_________.
m
【答案】2
x
2
17.【2015高考北京，理10】已知双曲线
221
0的一条渐近线为3x y 0，则a
y a
a
．
【答案】
3
3
1 x
2
【解析】双曲线的渐近线方程为
y a
2y
x，210
a a
10
1 3 3x y
0 y
3x ， a
0,则
3, a
a
3
【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程， 利用已给渐近线方程求参数.
【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题， 正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的 “1”改“0”，利用已知渐近线方程，求出参数a 的值. 18.【2016高考山东理数】已知双曲线 E ： x
y
2
2
2
2
1（a ＞0，b ＞0），若矩形 ABCD 的四
个顶
a b
点在 E 上，AB ，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB |=3|BC |，则 E 的离心率是_______. 【答案】2 【解析】
b 2
试题分析：假设点 A 在第一象限，点 B 在第二象限，则 A(c, )
a
b
2
，
B(c,
) ，所以
a
| AB|
（舍去），
2b ，| BC | 2c ，由 2 AB
3 BC ， c 2
a 2
b 2 得离心率 e 2 或 e
1
2
a
2
所以 E 的离心率为 2. 考点：双曲线的几何性质
【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况 的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一 般与特殊思想及基本运算能力等.
19.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 x 2 y 2 1右支上的一个
动点。

若点 P 到直线 x y
1 0 的距离大于 c 恒成立，则是实数 c 的最大值为.
【答案】
2 2
11
【考点定位】双曲线渐近线，恒成立转化
【名师点晴】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结 合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：(1)与双曲线
x
y
2 2
2
2
1 共渐近线的可设
为 a b x
y
2 2 2
2
( 0)
； (2)若渐近线方
程为 a b
b
y
x
，则可设
为
a
x y
2 2
2
2
( 0) ；(3) 双曲
线
a
b
的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；(4) x
y
2
2 2
2
1( 0. 0)
a b 的一条渐近线的斜
率为 a b
b
c
a
2
2
2
1 .可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大
e
2
a
a
小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.
x
y
2
2
20.【2015高考山东，理 15】平面直角坐标系 xoy 中，双曲线
C 1 : 2 2
1 a
0,b
a b
的渐近线与抛物线
C 2 : x 2
2py p
0 交于点O , A , B ，若
OAB 的垂心为
C 的焦点，则C
2
1
的离心率为. 【答案】
3
2
【解析】设OA 所在的直线方程为
,则OB 所在的直线方程为 y b x b y
x
,
a
a
b
y
x
解方程组
a
x 2 2py
x
得：
y
2pb a 2pb
2 a
2
2
2pb 2pb
，所以点 A 的坐标为
,
2
,
a a
p 抛物线的焦点 F 的坐标为: 0,
2
.因为 F 是 ABC 的垂心，所以 k k
1 ,
OB
AF
2pb p 2
2
2pb
p
b
a
b
2
5
2
2
1 所以，
2
4
pb
2
a
a
a . c
b
9
3
2
2
所以，
e
1 e
2
.
a
a
4
2
2
2
12
21.【 2016高 考 江 苏 卷 】 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 双 曲 线
x y
的 焦 距 是
2
2
1
7
3
________________. 【答案】 2 10 【解析】
试题分析：
．故答案应
a 2
7,b
2
3,c
2
a
2
b
2
7 3 10,c 10,2c 2 10
填： 2 10 ，焦距为 2c 考点：双曲线性质
【名师点睛】本题重点考查双曲线基本性质，而双曲线性质是与双曲线标准方程息息相关，明 确双曲线标准方程中量所对应关系是解题关键：
x
y
2 2
2
2 1(a 0,b 0) 揭示焦点在 x
轴，实 a b
轴长为 2a ，虚轴长为 2b ，焦距为 2c
2 a 2 b 2 ，渐近线方程为 y
b x
，离心率为
a
c
a
b
2
2
a a
22.【2015高考浙江，理 9】双曲线 x 2
2
y 2
1的焦距是，渐近线方程
是．
2 【答案】 2
3 ， y
x .
2
【解析】由题意得： a 2 ，b 1， c a 2 b 2 2 1 3 ，∴焦距为 2c 2 3 ，
b 2 渐近线方程为 y x x .
a 2
13
23.【2015湖南理13】设F是双曲线C：x y
22
221的一个焦点，若C上存在点P，使线段
a b
PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为.
【答案】5.
【解析】
试题分析：根据对称性，不妨设F(c,0)，短轴端点为(0,b)，从而可知点(c,2b)在双曲线上，c4b c
22
∴1e
5
a b a
22
.
【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.
【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行
等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用c2a2b2，焦点坐标，渐近线方程等性质，
也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.
14。