正确理解与区分命题的否定与否命题

正确理解与区分命题的否定与否命题
命题的否定与否命题是逻辑学的难点之一，为了突破这一难点，本文试图全面而又详细地阐述之，以飨读者．
一、命题的否定与否命题的相关概念
１．定义：
设“若p 则q ”为原命题，那么“若非p 则非q ”就叫做原命题的否命题．
设“p ”是一个命题，那么“非p ”叫做命题p 的否定．“非p ”记作“p ⌝”
２．区别：否命题是对原命题的条件与结论都作否定，否命题与原命题可同真同假，也可一真一假．而命题的否定是（1）在不考虑命题的条件与结论的情况下对整个命题作否定，此时只需在原命题前加“并非”即可．（2）如果考虑命题的条件与结论，则仅仅对命题的结论作否定．任何一个命题与该命题的否定必定是一真一假（常用这一点来验证写出来的命题的否定是否正确）．
二、命题的否定中的关键词剖析
１．一般命题中
“都…”对应于“不都…”，而不是对应于“都不…”； “全…”对应于“不全…”，而不是对应于“全不…”．
“…且…”对应于“…或…”；“…或…”对应于“…且…”，
２．全称命题与存在性命题中
“任意…” 对应于“有些…”等；“存在…” 对应于“所有…”等．
“至少有一个” 对应于“一个都没有”等；“至多有一个” 对应于“至少有两个”等．
三、否命题的改写说明：原命题如果是“若p 则q ”或“如果…，那么…”的形式，则按照否命题的定义改写即可，原命题如果不是上面的形式，则先改写成上面的形式后，再去写它的否命题．
四、命题的否定与否命题的易错题举例．
１．写出“若a ，b 都是正数，则ab b a 2≥+．”的否命题．
解答：若a ，b 不都是正数，则ab b a 2<+．
评注： “都是正数”的否定是“不都是正数”而不是“都不是正数”．如果把“a ，b 都是正数”理解成“a 是正数且b 是正数”，则其否定也可写成“a 不是正数或b 不是正数”．
２．写出“两个奇数的和是偶数”的否命题与命题的否定．
解答：否命题：若两个数不全是奇数，则它们的和不是偶数．
命题的否定：两个奇数的和不是偶数
评注：(1)“两个奇数的和是偶数”意思是“有两个数全是奇数，则它们的和是偶数”．
(2) “是偶数”的否定是“不是偶数”，而不是 “是奇数”（为什么？）．
３．写出下列命题的否定：
(1)有些常数数列不是等比数列． (2)平行四边形是菱形．
解答：(1) 任意一个常数数列都是等比数列．(2) 平行四边形不都是菱形．
评注：一般地说，存在性命题的否定可以是全称命题，全称命题的否定可以是存在性命题．所以(1)
题的否定是一个全称命题．“平行四边形是菱形”根据意思其实也是一个全称命题，故也可以用“有些平行四边形不是菱形”作为答案，而解答中仅是对结论作否定的，比较简洁，当然也行的．
４．已知“p ：不等式022
>--x x 的解集是{}12|-<>x x x 或”，那么“非p ”为 ． 解答：不等式022
>--x x 的解集不是{}12|-<>x x x 或． 评注：命题p 是一个简单命题，而不是复合命题，故不能认为“非p ”为“不等式022
>--x x 的解集是{}21|≤≤-x x ”．类似地：命题“方程012
=-x 的解是1±=x ”也是一个（没有使用逻辑联结词的）简单命题．
５．已知p ：
02
12>--x x ，则“非p ”对应的x 值的集合是 ． 解答：由于0212>--x x ⇔022>--x x ⇔21>-<x x 或，即p ：21>-<x x 或；所以“非p ”对应的x 值的集合是{}21|≤≤-x x ．
评注：不能错误认为“非p ”为
02
12<--x x 而解得为{}21|<<-x x ． ６．设p ：062
≥-+x x ，q ：02||12
<-+x x ，则p 是q ⌝的 条件． 解答：由02
||12
<-+x x ⇔22<<-x 知q ⌝：22≥-≤x x 或． 062≥-+x x ⇔23≥-≤x x 或知p ：23≥-≤x x 或
而23≥-≤x x 或⇒22≥-≤x x 或且反之不成立，所以p 是q ⌝的充分不必要条件．
评注：出错之处是：认为q ⌝为02
||12
≥-+x x ，进而得到q ⌝：22>-<x x 或，从而导致错误答案为p 是q ⌝的既不充分也不必要条件．
命题的否定形式与否命题的区别是什么?
命题的否定就是将原来的命题的结论否定
比如，原命题是：三角形有三个角，否定就是三角形没有三个角；
而否命题是将假设和结论都否定，比如上例的否命题就是：不是三角形的没有三个角
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