1地球物理反演-绪论
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2.4 反演理论的5大问题
1、解的存在性：即给定一组观测数据后，是否一定存在一个
能拟合观测数据的解或模型；
观测数据的模型；
数学家
2、模型构制：如果存在性是肯定的，如何求得或构制能拟合
3、非唯一性：能拟合观测数据的模型是唯一，还是非唯一；
4、解的稳定性：当反演问题中的数据稍有变化时其解是否会 发生大的变化？ 5、结果的评价：如果解是非唯一的，如何才能从构制的模型 中提取关于真实模型的地球物理信息。
1 地球物理勘探概念
物理性质
地球物理方法
速度
密度
地震√
大 地 水 准 面 上
地 壳
重力√
真 实 的 地 球
p
海 洋
H
磁性(磁导率/磁化强度)
电阻率/介电性/磁化率
磁法√
电法
极化率
?
激发极化
?
1 地球物理勘探概念
主要地球物理探测方法 重力勘探 以岩石的密度差为依据，在地面上测量由密度差 引起的重力变化的方法。 磁法勘探 以岩石的磁性差异为依据，在地面、海上或航 空测量由磁性体引起的磁场变化的方法
设目标函数为
T
d Gm
2
得
m (G T G ) 1 G T d
3.4 欠定问题的最小长度解
d Gm 已知G和m， 求d。 ( N ) 观测数据的个数 M )小于模型参数的个数 (
并且G的秩r (G ) M N
M*1 M*N N*1
d G m ( M 1) ( M N ) ( N 1) 设目标函数为 E mT m T (d Gm) E 令 0 m 得 m G T (GGT ) 1 d
地球物理的多解性是固有问题，是永恒的难题 反演问题多解性的原因：
——观测数据不充足，且存在误差 ——观测空间和角度不是“全方位”
解决方案：
先验约束 正则化
——场的等效性(如：同层等值现象)
m1
m2
d
m3
模型空间
数据空间
2 地球物理反演的基本知识
2.4 反演理论的5大问题——解的稳定性
原因：方程的病态程度比较高，系数矩阵“不良好”
3.3 超定问题的最小方差解
d G m 采用最小误差拟合法是 合适的 尽可能的拟合数据 。 已知1) (M N求d1) ( M G和m ) (N
M*1 M*N N*1
d Gm
观测数据的个数 M )多于模型参数的个数 N ) ( ( 并且G的秩r (G) N M
，
T
。
d : 合成数据； E (d Gm) (d Gm) m : 模型； E 令 0 m G : 泛函。
正演
模型空间
反演
20 10
数据空间
Байду номын сангаас
m(z)
0
-10
-20 0 2 4 6 8 10
Z
2 地球物理反演的基本知识
2.2 地球物理正演问题
对于给定的地球物理模型和 初始-边界条件以及场源，求解 模型空间 地球物理场及观测数据的过程。
正演
数据空间
d Gm 已知G和m， 求d。 d : 合成数据； m : 模型； G : 泛函。
地球化学、数学地质、遥感、 地热等
钻井法
（参数井、探井、生产井） 一孔之见
地球物理法
（物探和测井） 多个垂向剖面和井
1 地球物理勘探概念
• 地下存在有不同物理性质的岩石---产生不同的物理场 • 利用各种精密仪器测量地下的物理场，对物理场进行分 析、研究、解释，推断地下构造、岩性等地质规律，达 到认识地球构造、勘探资源(石油、金属矿等)、勘察地 质情况等目的。
方程d Gm中只有r个线性无关的方程 。
T 2 T
脊回归法
令 得
阻尼最小二乘法
E 0 m
m (G T G 2 I ) 1 G T d
3.6 先验约束的构制
对观测数据的人为限制 对超定问题解的改进
对地球物理问题 有时有些数据被认为是 ， 重要的， 可赋给较大的权 ； 有时有些数据精度高些 也可给予以较大的权 ， 。 令 P u1 0 0 0 u2 0 uM 0 0
0 0 4 8 12 8 12
m
4
a 0.62
i
Z
3.1 参数化模型
参数化模型：能用有限个参数表示的模型 第一类：参数有限的模型
三维模型
二维模型
3.1 参数化模型
第二类：连续模型的离散化
当观测数据与连续模型之间存在线性泛函时 离散化近似模型：
d ( j ) g ( z , j )m( z ) dz
解决方法：正则化处理，改善方程病态程度
3
参数化模型的最小长度解
3.1 参数化模型
参数化模型：能用有限个参数表示的模型 第一类：参数有限的模型
lg Rt lg RW lg a m lg n lg SW Rt 地层电阻率 RW 地层水电阻率 地层孔隙度 SW 含水饱和度( S oil 1 SW ) m n 胶结因子(对砂层m 2.15) 饱和度指数(n 2)
存在含水体时的电场分布 不存在含水体时的电场分布 含水断层
2 地球物理反演的基本知识
2.3 地球物理反演思想与流程 地球物理学可分为固体地球物理学和勘探地球 物理学两大方面，其理论上有一个共同的核心
问题：如何根据地面上的观测信号推测地球内
部与信号有关部位的物理状态，这些问题就构
成了地球物理反演的独特研究对象。
对地球物理问题 有时对模型参数和观测 ， 数据赋给不同的权 。 w1 0 Wm 0 u1 0 We 0 0 0 w2 0 称为对模型参数的加权 因子. 比较混定问题的不加权 阻尼最小二乘解 0 wN 1 0 0 m G T G 2 I G T d u2 0 称为对观测数据的加权 因子. 0 uM
1
超定问题的加权最小方 差解为： m G T WeG G T We d
1
3.6 先验约束的构制
对模型参数的人为限制 对欠定问题解的改进
对地球物理问题 有时有些模型参数被认 ， 为更重要， 可赋给较大的权 ； 令 P w1 0 0 0 w2 0 0 w2 0 0 0 wN 0 0 称为对模型参数的加权 因子. wN
比较超定问题的不加权 最小方差解 m GT G GT d
改目标函数为：E P (d Gm) P (d Gm) d Gm We d Gm
T T
u1 0 0 0 u 0 2 T 称为对观测数据的加权 We P P 因子. 0 0 uM
G1N m1 G11 G12 m G G22 G2 N 2 21 m G mN GM 1 GM 1 GMM
d : 合成数 m : 模型；
m
i
Z
3.2 适定、超定、欠定和混定问题
d Gm 已知G和m， 求d。
d : 合成数据； 。 M个方程互不相关 也不矛盾 ， 对欠定问题有无穷个解 。 m : 模型； 观测数据量不够 不足以确定模型 ， 。 只能挑选一个特解 。 G : 泛函。 假定地球模型服从 最简单”结构原则， 采用 “
模型能量最小作为找特 解的准则是合适的 。
3.5 混定问题的最小长度解
d Gm
地球物理反演概论
讲课人：刘斌
岩土与结构工程研究中心 超前地质预报理论与装备创新小组
主要内容
1 地球物理勘探概念
2
3 4 5
地球物理反演基本知识
参数化模型的最小长度解
第一堂课
非线性问题线性化及电阻率反演 第二堂课 非线性反演方法
第三堂课
1
地球物理勘探概念
1 地球物理勘探概念
地质法
（地面地质调查和地下地质研究） 主要是在地面和井
2 地球物理反演的基本知识
2.3 地球物理反演思想与流程
反演基本思想—正演拟合
对于实际观测到的数据d和
10
实际地质模型m，假设存
100
在一个理论地质模型m’及 且d和d’拟合较好，我们则 认为m’就是待求的反演结
100000
Depth (M)
其对应的理论观测数据d’，
1000
10000
果m。
1000000 1 10 100 1000 10000
Resistivity (Ohm-M)
2 地球物理反演的基本知识
2.3 地球物理反演思想与流程
反演基本流程
设定模型参数初值
数值正演，得到理论观测数据
是否满足收敛标 准?
NO 利用某种反演方法 得到新的模型参数
YES
反演结束 输出结果
2 地球物理反演的基本知识
固体地球物理反演的一般流程
2 地球物理反演的基本知识
a
b
G ji mi ( j 1, M ) mi mi ( z ) : z zi 1 , zi
12
N
i 1
d Gm
线性反演的 最重要方程
G ji g ( z , j )dz
zi 1
Zi
已知G和
8
4
0 0 4 8 12
d Gm d1 d d 2 d M
T
改目标函数为：E Pm Pm mT Wm m 欠定问题的加权最小模 型解为： m WmG T GWmG
w1 0 T Wm P P 0
比较欠定问题的不加权 最小模型解 m G T GGT
T 1
1
d
d
3.6 先验约束的构制
对模型参数和观测数据 的双重人为限制 对混定问题解的改进
G-泛函算子，表示模型空间到数据 空间的一个泛函映射。
当地球物理问题是线性时，G为线 性泛函算子；当地球物理问题为非 线性时，G为非线性泛函算子。 多数地球物理问题是非线性问题。
2 地球物理反演的基本知识
2.2 地球物理正演问题
描述地球物理模型与地球物理场之间 映射关系的方程基本都是偏微分方程 (波动方程、泊松方程、扩散方程等) 求解边值问题(偏微分方程+边界条件) 的主要方法： ——解析方法，一维或理想条件 ——数值方法(有限单元法、有限差分 法等)，最常用方法 ——物理模拟方法，简单情况
1 地球物理勘探概念
主要地球物理探测方法 电法勘探 以岩石的导电性、导磁性、介电性（电阻率） 为依据，测量由此引起的变化的方法 地震勘探 以岩石的弹性差异为依据，测量由弹性引起的 地震波场变化的方法
2
地球物理反演基本知识
2 地球物理反演的基本知识
2.1 地球物理反演概念
地球物理探测仪器 建立地球物理场 (地震场、电磁场、电场等) 地球物理数据采集
M=N=r(G)，适定问题，有唯一解
M*1 M*N N*1
d : 合成数据； m : 模型；
M>r(G) ,N>r(G)，混定问题，无正常解 Lp范数——L1，L2，L∞
M>N=r(G)，超定问题，已知信息比未知数多，无正常解 N>M=r(G)，欠定问题，未知数多余已知信息，无正常解
最小长度解：在某种长度下使得方程的解最优
观测数据的个数 M )、 模型参数的个数 N )有 ( (
已知G和m， 求d。
r (G ) min(M , N )。
M*1
M*N N*1
d : 合成数据； 因M r属于超定，N r属于欠定， 故称“d ”。 G 混定 m 尽可能既要拟合数据 又要使模型能量最小 ( M N ) ( N 1) ( M 1。 ) m : 模型； ， 设目标函数为 马奎特法 。 E (d Gm) (d Gm) m m G : 泛函
非接触测量，如何感知？
地球物 理数据
反演 inversion
地球物理性质结构
地质结构
地球物 理模型
地球物理反演：利用地球表面观测到的物理现象推测地球内部介质物理 状态的空间变化及物性结构，进而推断地质结构地层结构等信息。
2 地球物理反演的基本知识
2.1 地球物理反演概念
输入:激发
输出:地球物理数据
地球物理学家
2 地球物理反演的基本知识
2.4 反演理论的5大问题——模型构制
采用什么反演方法，得到与观测数据拟合的地球物理模型
适定问题
欠定问题
超定问题 混定问题 离散模型 连续模型
线性反演方法？ 非线性反演方法？ 连续介质反演方法？ 约束反演方法？ 联合反演方法？
2 地球物理反演的基本知识
2.4 反演理论的5大问题——解的非唯一性
1、解的存在性：即给定一组观测数据后，是否一定存在一个
能拟合观测数据的解或模型；
观测数据的模型；
数学家
2、模型构制：如果存在性是肯定的，如何求得或构制能拟合
3、非唯一性：能拟合观测数据的模型是唯一，还是非唯一；
4、解的稳定性：当反演问题中的数据稍有变化时其解是否会 发生大的变化？ 5、结果的评价：如果解是非唯一的，如何才能从构制的模型 中提取关于真实模型的地球物理信息。
1 地球物理勘探概念
物理性质
地球物理方法
速度
密度
地震√
大 地 水 准 面 上
地 壳
重力√
真 实 的 地 球
p
海 洋
H
磁性(磁导率/磁化强度)
电阻率/介电性/磁化率
磁法√
电法
极化率
?
激发极化
?
1 地球物理勘探概念
主要地球物理探测方法 重力勘探 以岩石的密度差为依据，在地面上测量由密度差 引起的重力变化的方法。 磁法勘探 以岩石的磁性差异为依据，在地面、海上或航 空测量由磁性体引起的磁场变化的方法
设目标函数为
T
d Gm
2
得
m (G T G ) 1 G T d
3.4 欠定问题的最小长度解
d Gm 已知G和m， 求d。 ( N ) 观测数据的个数 M )小于模型参数的个数 (
并且G的秩r (G ) M N
M*1 M*N N*1
d G m ( M 1) ( M N ) ( N 1) 设目标函数为 E mT m T (d Gm) E 令 0 m 得 m G T (GGT ) 1 d
地球物理的多解性是固有问题，是永恒的难题 反演问题多解性的原因：
——观测数据不充足，且存在误差 ——观测空间和角度不是“全方位”
解决方案：
先验约束 正则化
——场的等效性(如：同层等值现象)
m1
m2
d
m3
模型空间
数据空间
2 地球物理反演的基本知识
2.4 反演理论的5大问题——解的稳定性
原因：方程的病态程度比较高，系数矩阵“不良好”
3.3 超定问题的最小方差解
d G m 采用最小误差拟合法是 合适的 尽可能的拟合数据 。 已知1) (M N求d1) ( M G和m ) (N
M*1 M*N N*1
d Gm
观测数据的个数 M )多于模型参数的个数 N ) ( ( 并且G的秩r (G) N M
，
T
。
d : 合成数据； E (d Gm) (d Gm) m : 模型； E 令 0 m G : 泛函。
正演
模型空间
反演
20 10
数据空间
Байду номын сангаас
m(z)
0
-10
-20 0 2 4 6 8 10
Z
2 地球物理反演的基本知识
2.2 地球物理正演问题
对于给定的地球物理模型和 初始-边界条件以及场源，求解 模型空间 地球物理场及观测数据的过程。
正演
数据空间
d Gm 已知G和m， 求d。 d : 合成数据； m : 模型； G : 泛函。
地球化学、数学地质、遥感、 地热等
钻井法
（参数井、探井、生产井） 一孔之见
地球物理法
（物探和测井） 多个垂向剖面和井
1 地球物理勘探概念
• 地下存在有不同物理性质的岩石---产生不同的物理场 • 利用各种精密仪器测量地下的物理场，对物理场进行分 析、研究、解释，推断地下构造、岩性等地质规律，达 到认识地球构造、勘探资源(石油、金属矿等)、勘察地 质情况等目的。
方程d Gm中只有r个线性无关的方程 。
T 2 T
脊回归法
令 得
阻尼最小二乘法
E 0 m
m (G T G 2 I ) 1 G T d
3.6 先验约束的构制
对观测数据的人为限制 对超定问题解的改进
对地球物理问题 有时有些数据被认为是 ， 重要的， 可赋给较大的权 ； 有时有些数据精度高些 也可给予以较大的权 ， 。 令 P u1 0 0 0 u2 0 uM 0 0
0 0 4 8 12 8 12
m
4
a 0.62
i
Z
3.1 参数化模型
参数化模型：能用有限个参数表示的模型 第一类：参数有限的模型
三维模型
二维模型
3.1 参数化模型
第二类：连续模型的离散化
当观测数据与连续模型之间存在线性泛函时 离散化近似模型：
d ( j ) g ( z , j )m( z ) dz
解决方法：正则化处理，改善方程病态程度
3
参数化模型的最小长度解
3.1 参数化模型
参数化模型：能用有限个参数表示的模型 第一类：参数有限的模型
lg Rt lg RW lg a m lg n lg SW Rt 地层电阻率 RW 地层水电阻率 地层孔隙度 SW 含水饱和度( S oil 1 SW ) m n 胶结因子(对砂层m 2.15) 饱和度指数(n 2)
存在含水体时的电场分布 不存在含水体时的电场分布 含水断层
2 地球物理反演的基本知识
2.3 地球物理反演思想与流程 地球物理学可分为固体地球物理学和勘探地球 物理学两大方面，其理论上有一个共同的核心
问题：如何根据地面上的观测信号推测地球内
部与信号有关部位的物理状态，这些问题就构
成了地球物理反演的独特研究对象。
对地球物理问题 有时对模型参数和观测 ， 数据赋给不同的权 。 w1 0 Wm 0 u1 0 We 0 0 0 w2 0 称为对模型参数的加权 因子. 比较混定问题的不加权 阻尼最小二乘解 0 wN 1 0 0 m G T G 2 I G T d u2 0 称为对观测数据的加权 因子. 0 uM
1
超定问题的加权最小方 差解为： m G T WeG G T We d
1
3.6 先验约束的构制
对模型参数的人为限制 对欠定问题解的改进
对地球物理问题 有时有些模型参数被认 ， 为更重要， 可赋给较大的权 ； 令 P w1 0 0 0 w2 0 0 w2 0 0 0 wN 0 0 称为对模型参数的加权 因子. wN
比较超定问题的不加权 最小方差解 m GT G GT d
改目标函数为：E P (d Gm) P (d Gm) d Gm We d Gm
T T
u1 0 0 0 u 0 2 T 称为对观测数据的加权 We P P 因子. 0 0 uM
G1N m1 G11 G12 m G G22 G2 N 2 21 m G mN GM 1 GM 1 GMM
d : 合成数 m : 模型；
m
i
Z
3.2 适定、超定、欠定和混定问题
d Gm 已知G和m， 求d。
d : 合成数据； 。 M个方程互不相关 也不矛盾 ， 对欠定问题有无穷个解 。 m : 模型； 观测数据量不够 不足以确定模型 ， 。 只能挑选一个特解 。 G : 泛函。 假定地球模型服从 最简单”结构原则， 采用 “
模型能量最小作为找特 解的准则是合适的 。
3.5 混定问题的最小长度解
d Gm
地球物理反演概论
讲课人：刘斌
岩土与结构工程研究中心 超前地质预报理论与装备创新小组
主要内容
1 地球物理勘探概念
2
3 4 5
地球物理反演基本知识
参数化模型的最小长度解
第一堂课
非线性问题线性化及电阻率反演 第二堂课 非线性反演方法
第三堂课
1
地球物理勘探概念
1 地球物理勘探概念
地质法
（地面地质调查和地下地质研究） 主要是在地面和井
2 地球物理反演的基本知识
2.3 地球物理反演思想与流程
反演基本思想—正演拟合
对于实际观测到的数据d和
10
实际地质模型m，假设存
100
在一个理论地质模型m’及 且d和d’拟合较好，我们则 认为m’就是待求的反演结
100000
Depth (M)
其对应的理论观测数据d’，
1000
10000
果m。
1000000 1 10 100 1000 10000
Resistivity (Ohm-M)
2 地球物理反演的基本知识
2.3 地球物理反演思想与流程
反演基本流程
设定模型参数初值
数值正演，得到理论观测数据
是否满足收敛标 准?
NO 利用某种反演方法 得到新的模型参数
YES
反演结束 输出结果
2 地球物理反演的基本知识
固体地球物理反演的一般流程
2 地球物理反演的基本知识
a
b
G ji mi ( j 1, M ) mi mi ( z ) : z zi 1 , zi
12
N
i 1
d Gm
线性反演的 最重要方程
G ji g ( z , j )dz
zi 1
Zi
已知G和
8
4
0 0 4 8 12
d Gm d1 d d 2 d M
T
改目标函数为：E Pm Pm mT Wm m 欠定问题的加权最小模 型解为： m WmG T GWmG
w1 0 T Wm P P 0
比较欠定问题的不加权 最小模型解 m G T GGT
T 1
1
d
d
3.6 先验约束的构制
对模型参数和观测数据 的双重人为限制 对混定问题解的改进
G-泛函算子，表示模型空间到数据 空间的一个泛函映射。
当地球物理问题是线性时，G为线 性泛函算子；当地球物理问题为非 线性时，G为非线性泛函算子。 多数地球物理问题是非线性问题。
2 地球物理反演的基本知识
2.2 地球物理正演问题
描述地球物理模型与地球物理场之间 映射关系的方程基本都是偏微分方程 (波动方程、泊松方程、扩散方程等) 求解边值问题(偏微分方程+边界条件) 的主要方法： ——解析方法，一维或理想条件 ——数值方法(有限单元法、有限差分 法等)，最常用方法 ——物理模拟方法，简单情况
1 地球物理勘探概念
主要地球物理探测方法 电法勘探 以岩石的导电性、导磁性、介电性（电阻率） 为依据，测量由此引起的变化的方法 地震勘探 以岩石的弹性差异为依据，测量由弹性引起的 地震波场变化的方法
2
地球物理反演基本知识
2 地球物理反演的基本知识
2.1 地球物理反演概念
地球物理探测仪器 建立地球物理场 (地震场、电磁场、电场等) 地球物理数据采集
M=N=r(G)，适定问题，有唯一解
M*1 M*N N*1
d : 合成数据； m : 模型；
M>r(G) ,N>r(G)，混定问题，无正常解 Lp范数——L1，L2，L∞
M>N=r(G)，超定问题，已知信息比未知数多，无正常解 N>M=r(G)，欠定问题，未知数多余已知信息，无正常解
最小长度解：在某种长度下使得方程的解最优
观测数据的个数 M )、 模型参数的个数 N )有 ( (
已知G和m， 求d。
r (G ) min(M , N )。
M*1
M*N N*1
d : 合成数据； 因M r属于超定，N r属于欠定， 故称“d ”。 G 混定 m 尽可能既要拟合数据 又要使模型能量最小 ( M N ) ( N 1) ( M 1。 ) m : 模型； ， 设目标函数为 马奎特法 。 E (d Gm) (d Gm) m m G : 泛函
非接触测量，如何感知？
地球物 理数据
反演 inversion
地球物理性质结构
地质结构
地球物 理模型
地球物理反演：利用地球表面观测到的物理现象推测地球内部介质物理 状态的空间变化及物性结构，进而推断地质结构地层结构等信息。
2 地球物理反演的基本知识
2.1 地球物理反演概念
输入:激发
输出:地球物理数据
地球物理学家
2 地球物理反演的基本知识
2.4 反演理论的5大问题——模型构制
采用什么反演方法，得到与观测数据拟合的地球物理模型
适定问题
欠定问题
超定问题 混定问题 离散模型 连续模型
线性反演方法？ 非线性反演方法？ 连续介质反演方法？ 约束反演方法？ 联合反演方法？
2 地球物理反演的基本知识
2.4 反演理论的5大问题——解的非唯一性