(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》检测卷(答案解析)(1)

一、选择题
1．若直线:10(0,0)l ax by a b ++=>>把圆()()2
2
:4116C x y +++=分成面积相等的两部分，则当ab 取得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是（ ）
A ．4
B ．817
C ．2
D ．
817
17
2．如图所示，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，EF 切O 于点C ，那么
图中与DCF ∠相等的角的个数是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
3．圆C 1: 1)2()2(2
2
=-++y x 与圆C 2: 2
2
(2)(5)16x y -+-=的位置关系是（ ） A ．外切 B ．相交 C ．内切 D ．外离
4．（2015秋•河池期末）直线3x+4y+2m =0与圆x 2+（y ﹣）2=1相切，且实数m 的值为（ ）
A ．log 23
B ．2
C ．log 25
D ．3
5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为 AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （ ） A ．10 B ．20
C ．30
D ．40
6．若圆
上至少有三个不同点到直线:
的距离为
,则直线的倾斜角的取值范围是 ( ) A ．[
] B ．[
] C ．[
D ．
7．已知点P 是圆22:450C x y x ay +++-=上任意一点， P 点关于直线210x y +-=的对称点在圆上，则实数a 等于（ ） A ．10 B ．10- C ．20 D ．20-
8．已知圆C ：2240x y ax y ++-=的圆心在直线10x y -+=，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．2
C ．-4
D ．4
9．设集合(){},|A x y y x a =
=+，集合(){}
2,|34B x y y x x ==-， 若A B ∅
⋂≠的概率为1，则a 的取值范围是（ ）
A ．122,122⎡-+⎣
B ．12,3⎡⎤⎣⎦
C ．1,122⎡⎤-+⎣⎦
D ．122,3⎡⎤-⎣⎦
10．已知点(0,2)A 为圆2
2
:220(0)C x y ax ay a +--=>外一点，圆C 上存在点使得
45CAP ∠=，则实数a 的取值范围是（ ）
A.(0,1)
B.[31,1)-
C.(0,31]-
D.[31,31]---
11．直线:1l y kx =-与圆
22
1x y +=相交于A 、B 两点，则OAB ∆的面积最大值为（ ） A ．
14 B ．12 C ．1 D ．32
12．已知点13
(,)22
A 是圆C:221x y += 上的点，过点A 且与圆C 相交的直线AM 、AN 的倾斜角互补，则直线MN 的斜率为（ ）
A ．
33 B ．3 C ．233
D ．不为定值 二、填空题
13．已知90o ABC
，PA ⊥平面ABC ，若1PA AB BC ===，则四面体PABC 的外
接球（顶点都在球面上）的表面积为_______．
14．已知AC BD 、为圆22:9O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为(1,3)M ,则四边形
ABCD 的面积的最大值为____________________
15．(几何证明选讲)如图，在ABC 中，5AB =，3BC =，120ABC ︒∠=，以点B 为圆心，线段BC 的长为半径的半圆交AB 所在直线于点E 和F ，交线段AC 于点D ，则线段AD 的长为____________.
16．对于任意实数k ，直线(3k ＋2)x －ky －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是________． 17．如果直线将圆平分，那么坐标原点到直线的最大距离为
__________.
18．已知直线m ：0x y a +-=，点M 在直线m 上，过点M 引圆221x y +=的切线，若切线长的最小值为22a 的值为__________．
19．已知直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，那么弦AB 的长等于________.
20．A ．（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为2,2
{2
12
x t y t
=
=+(为参数)，圆C 的参数
方程为cos 2
{
sin x y θθ
=+=(θ为参数),则圆心C 到直线的距离为_________． B ．（几何证明选讲）如右图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线
PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =,则CE =_________．
C ．（不等式选讲）若存在实数x 使12x m x -++≤成立，则实数m 的取值范围是_________．
三、解答题
21．已知点,直线与圆相交于
两点, 且,求. （1）的值； （2）线段中点的轨迹方程； （3）
的面积的最小值.
22．已知圆2
2
1:2410C x y x y +++﹣＝，圆2
2
2:450C x y x +--＝．
（1）试判断圆1C 与圆2C 是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由；
（2）若直线1y kx ＝+与圆1C 交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值． 23．已知抛物线2
2(0)y px p =>的准线方程是是： 1
2
x =-. （1）求抛物线方程；
（2）设直线()2y k x =-与抛物线相交于M N 、两点， O 为坐标原点，证明以MN 为直径的圆过O 点.
24．已知动直线l ：（m ＋3）x －（m ＋2）y ＋m ＝0与圆C ：（x －3）2＋（y －4）2＝9． （1）求证：无论m 为何值，直线l 总过定点A ，并说明直线l 与圆C 总相交． （2）m 为何值时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小？请求出该最小值． 25．（本题满分16分）已知圆心()(1,2)0,1C ，且经过点 （Ⅰ）写出圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过点(2,1)P -作圆C 的切线，求切线的方程及切线的长.
26．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线与圆C 相切．
（I ）求圆C 的方程；
（II ）过点Q （0，－3）的直线l 与圆C 交于不同的两点A
、B
，当
时，求△AOB 的面积．
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一、选择题 1．D 解析：D
【解析】依题意可知直线过圆心()4,1--，代入直线方程得1144,16
a b ab ab =+≥≤，当且仅当1
42b a ==
时当好成立，此时原点到直线的距离为22181717a b
=
+. 2．B
解析：B 【解析】
试题分析:因CAD CBD ∠=∠,CAD CDB CAB ∠=∠=∠,故应选B ． 考点：弦切角等于同弦所对圆周角,同弧所对圆周角相等．
3．A
解析：A 【解析】
试题分析：两圆的圆心为()()2,2,2,5-，圆心距为5d =，两圆半径为
12121,4r r r r d ==∴+=，所以两圆外切
考点：两圆的位置关系
4．A
解析：A 【解析】
试题分析：根据直线与圆相切，圆心到直线的距离d=r ，列出方程求出m 的值． 解：因为直线3x+4y+2m =0与圆x 2+（y ﹣）2=1相切， 所以圆心到直线的距离为d=r ； 即
=1，
化简得2+2m =5，
即2m =3， 解得m=log 23． 故选：A ．
考点：圆的切线方程．
5．B
解析：B 【解析】
试题分析：把圆的方程为化成标准方程
，过点
的最长弦为
最短弦为
则
故选B
考点：本题考查了直线与圆的位置关系
点评：掌握过圆内一点的最长弦和最短弦的结论是解决此类问题的常用转化方法
6．B
解析：B 【解析】 因为圆上至少有三个不同的点到直线
的
距离为则根据圆心到直线的距离和园的半径的关系可知，直线的倾斜角的取值范围是
，选B
7．B
解析：B
【解析】试题分析：将圆2
2
:450C x y x ay +++-=化成标准方程
()2
22
2924a a x y ⎛
⎫+++=+ ⎪⎝⎭
，故圆心为2,2a C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依意可知直线210x y +-=过点
圆心C ，所以()2210102
a
a ⨯---=⇒=-，故选B ．
考点：1．圆的方程；2．直线与圆的位置关系．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】 写出圆的圆心(,2)2
a
-，代入直线10x y -+=，即可求出a . 【详解】
因为圆C ：2240x y ax y ++-= 所以圆心(,2)2
a
-
，
代入直线10x y -+=
102
a
--=，解得2a =- 故选A. 【点睛】
本题主要考查了圆的一般方程，圆心的坐标，属于中档题.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
先求出集合A 、集合B 表示的几何意义，然后结合题意中A B ∅⋂≠的概率为1转化为直线与圆相交，运用直线与圆的位置关系求出结果 【详解】
集合A 表示在直线y x a =+上的点，
化简234y x x =--，可得()()2
2
324y x -+-=
3y ≤，则集合B 表示半圆
A B ∅⋂≠的概率为1，
即直线与半圆有交点 如图：
将（0，3）代入可得：3a =
()
2
2
23d 211a -+=
≤+-，
即122a -≤122221a -≤≤，
综上，1223a -≤≤
则a 的取值范围是122,3⎡⎤-⎣⎦
故选D 【点睛】
本题较为综合考查了集合的运算、直线与圆的位置关系，解题关键是转化为直线与圆的位置关系，然后运用相关知识来求解，需要掌握此类题目解题方法。

10．B
解析：B 【解析】
试题分析：圆心为(),a a ，半径2r a =，设圆的参数方程为2cos 2sin x a a y a a θ
θ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，所以
2cos 2
AP AC CAP AP AC
⋅∠=
=
⋅，()2
22AC a a =+-，因为,AC PC 长度固定，当P 为切点时，CAP ∠最大，要存在点P 使45CAP ∠=，则需最大角度不小于45，所以
()2222sin 4522PC a AC a a =≥=
+-，整理得2
220a a +-≥，解得31a ≥-，由于A 在圆外()2
222,1AC a a a a =+-<<，综上所述[31,1)a ∈-.
考点：点和圆的位置关系.
【思路点晴】化圆的一般方程为标准方程易得圆心为(),a a ，半径2r a =
，由题意可得
1sin PC
CAP AC
≥
≥∠，有距离公式可得a 的不等式，解这个不等式可得a 的的取值范围.考查了划归与转化的数学思想方法.利用数形结合思想，将问题灵活加以转化，往往能起到事半功倍的效果.如利用几何法将弦长转化为圆心到直线的距离等.
11．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题意可得OAB ∆的面积为1
2
sin OAB ∠，再根据正弦函数的值域，求得它的最大值．
由题意可得1OA OB ==，OAB ∆的面积为111222
OA OB sin AOB sin AOB ⋅⋅∠=∠≤，故选B.
考点：直线与圆的位置关系
【方法点睛】直线与圆的位置关系的判断方法
（1）几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d>r ，则直线与圆相离； 若d ＝r ，则直线与圆相切； 若d<r ，则直线与圆相交．
（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数（也就是方程组解的个数）来判断．
如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；
如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切； 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．
12．A
解析：A 【解析】
试题分析：设直线AM 斜率为k ，所以AM 直线为3122y k x ⎛
⎫-
=- ⎪⎝
⎭，与圆的方程221x y +=联立得
()(
)
2
2
2131
130
424
k
x k
k x k k ++-+--=212
131
212
M k k x x k -=∴=-+，代入直线得1y 值，从而得到(),M M M x y ，同理可得(),N N N x y ，则直线MN 的斜率为
N M N M
y y k x x -=
-代入计算可得斜率为定值3
3
考点：1．直线方程；2．直线与圆相交的位置关系
二、填空题
13．【解析】取的中点连接如下图由题意知又平面在同理因此四点在以为球心的球面上在在中球的半径因此球的表面积为考点：球的表面积公式【思路点睛】取的中点连结由线面垂直的判定与性质证出且得到与是具有公共斜边的直 解析：3π
【解析】 取
的中点
，连接
，如下图
由题意知
，又
，平面，
，在
，
，同理
，
，因此
四点在以为球心的球面上，在
，
，在
中，
，球
的半径
，因此球的表面积为
．
考点：球的表面积公式． 【思路点睛】取
的中点
，连结OA OB 、．由线面垂直的判定与性质，证出
BC PB ⊥且PA AC ⊥，得到PAC ∆与PBC ∆是具有公共斜边的直角三角形，从而得出1
2
OA OB OC OP PC ====
，所以P A B C 、、、四点在以为球心的球面上．根据题
中的数据，利用勾股定理算出长，进而得到球半径3
R =
，利用球的表面积公式加以计算，可得答案．
14．14【分析】根据垂径定理得弦长再根据四边形面积公式得面积最后根据基本不等式所求最值【详解】设圆心O 到ACBD 的距离分别为则因此当且仅当时取等号即四边形ABCD 的面积最大值为14【点睛】本题考查圆中弦
解析：14 【分析】
根据垂径定理得弦长，再根据四边形面积公式得面积，最后根据基本不等式所求最值. 【详解】
设圆心O 到AC.BD 的距离分别为12,d d ，则2212||29,||29AC d BD d =-=- 因此
2222212121
||||2999918||1813142
ABCD S AC BD d d d d OM =
=--≤-+-=-=--=
当且仅当12d d =时取等号，即四边形ABCD 的面积最大值为14. 【点睛】
本题考查圆中弦长以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
15．【分析】先由余弦定理求出再求出然后由相交弦定理可求出的长【详解】在中由余弦定理可得：所以即故线段的长为【点睛】本题考查了相交弦定理的应用考查了利用余弦定理解三角形考查了计算能力属于中档题 解析：
167
【分析】
先由余弦定理求出AC ，再求出,AE AF ，然后由相交弦定理AD AC AE AF ⋅=⋅，可求出AD 的长. 【详解】
在ABC 中，5AB =，3BC =，120ABC ︒∠=，由余弦定理可得：
259253cos1207AC ︒=+-⨯⨯⨯=，
532,538AE AB BE AF AB BF =-=-==+=+=，
所以AD AC AE AF ⋅=⋅， 即2816
77
AE AF AD AC ⋅⨯=
==. 故线段AD 的长为16
7
. 【点睛】
本题考查了相交弦定理的应用，考查了利用余弦定理解三角形，考查了计算能力，属于中档题.
16．相切或相交【解析】试题分析：把圆的方程化为标准形式得：(x-1)2+(y-1)2=5可知圆的半径等于5求出圆心到直线的距离d=|2k|(3k+2)2+k2≤2<5所以直线与圆相交考点：直线与圆的位置
解析：相切或相交 【解析】
试题分析：把圆的方程化为标准形式得：
，可知圆的半径等于
，
求出圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交 考点：直线与圆的位置关系
17．13【解析】试题分析：因为直线l 将圆C ：（x －2）2＋（y ＋3）2＝13平分所以直线过圆心(2-3)要使原点到过圆心的距离最大的直线为与原点和圆心连线垂直的直线此时最大距离为坐标原点与圆心的距离22 解析：
【解析】
试题分析：因为直线l 将圆C ：（x －2）2＋（y ＋3）2＝13平分，所以直线过圆心
，要使原点到过圆心的距离最大的直线为与原点和圆心连线垂直的直线，此时最大
距离为坐标原点与圆心的距离
考点：点到直线的距离，两点间距离公式
18．【解析】【分析】将切线长的最小值问题转化为圆心到直线的距离来求解列方程求得实数的值【详解】设切点为根据切线的性质可知即当取得最小值时取得最小值原点到直线的距离为依题意可得解得【点睛】本小题主要考查直
解析：32±
【解析】 【分析】
将切线长的最小值问题，转化为圆心到直线的距离来求解，列方程求得实数a 的值. 【详解】
设切点为D ，根据切线的性质可知222OM DM OD =+，即221DM OM =-.当OM 取得最小值时，DM 取得最小值，原点到直线m 的距离为
2
a ，依题意可得
()
2
2
2212a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，解得32a =±. 【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆的切线长问题，考查圆的切线的几何性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.解决本题的突破口在于将切线长的最小值问题，通过切线的几何性质，利用勾股定理，转化为圆心到直线的距离来求解.
19．【解析】【分析】求出圆心到直线的距离再利用弦长公式进行求解即可【详解】∵圆∴圆心（00）半径r=2圆心到直线l ：3x+4y-5=0的距离d==1∴直线3x+4y-5=0被圆截得的弦长l=2=2故答案 解析：23
【解析】 【分析】
求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式进行求解即可． 【详解】
∵圆224x y +=，∴圆心（0，0），半径r =2，圆心到直线l ：3x +4y -5=0的距离d =
55
-=1，∴直线3x +4y -5=0被圆224x y +=截得的弦长l =22221-=23．
故答案为：23． 【点睛】
本题考查了直线被圆截得的弦长公式222l r d =-，主要用到了点到直线的距离公式．
20．A ；B ；C 【解析】试题分析：A 先把直线l 和圆C 的参数方程化为普通方程y=x+1（x-2）2+y2=1再利用点到直线的距离公式求出即可B 在圆中线段利用由切割线定理求得PA 进而利用直角三角形PCO 中的线
解析：A.
32
2
； B ．； C ．[3,1]-
【解析】
试题分析：A.先把直线l 和圆C 的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y 2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．
B ．在圆中线段利用由切割线定理求得PA ，进而利用直角三角形PCO 中的线段，结合面积法求得CE 即可．
C.由绝对值的基本不等式得：211x m x m ≥-++≥+，解得－3≤m≤1. 考点：(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.
三、解答题
21．（1）；（2）
；（3）
．
【解析】
试题分析：（1）利用，得圆心到直线的距离，从而，再进
行化简，即可求解的值；（2）设点的坐标为
，则代入①，化
简即可求得线段
中点的轨迹方程；（3）将面积表示为
，再利用基本不等式，即
可求得的面积的最小值．
试题 （1）直线
的方程
,即:
, 圆圆心到
的距离
即：，化简得，
．①
（2）设点的坐标为,则代入①得即：
为所求的轨迹方程．
（3）
,
当
时, 面积最小, 最小值为
．
考点：直线与圆的综合问题．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的综合问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、轨迹方程的求解，以及基本不等式的应用求最值等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中将面积表示为
，再利用基本不等式是解答的一个难点，属于中档试题．
22．（1）3230x y -+=； （2）12k =12k =+. 【解析】 【分析】
（1）用圆心距与两圆半径的关系判断两圆位置关系；用两圆方程相减消去二次项得相交弦所在直线方程；（2）联立直线与圆的方程，根据韦达定理以及两线垂直的向量关系列式可解得k ． 【详解】
（1）()()()2
2
2
2
12:124,:24,C x y C x y ++-=-+=
()()12121,2,2,0,2,C C r r ∴-==
121294134C C r r =+=<+=，∴两圆相交，两圆做差得
()()
2
222241456460;x
y x y x y x x y ++-+-+--=-+=
即公共弦所在直线为：3230x y -+= （2）由题可知，设()()1111,,,A x y B x y 、 将1y kx =+代入222410,x y x y ++-+=
得()()2
2
124110,x kx x kx +++-++=整理得，
()()2
2
12220k x k x ++--=，由韦达定理得
1212
22
222
,,,11k x x x x OA OB k k --+=-
⋅=∴⊥++ 化简得2210k k --= ，解得12k =12k =+ 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系及圆和圆的位置关系及其判定，属中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。

23．（1）2
2y x =；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）由抛物线的准线方程1
2
x =-
，得1p =，从而可求得抛物线的方程；（2）由题意知，可将问题转化为证OM ON ⊥，即OM ON ⊥，则可联立直线和抛物线方程，消去
x （或y ），利用韦达定理，再由向量数量积的计算公式验证
0OM ON ⋅=成立，从而问题可得证. 试题
（1）由题意2
2y x =
（2）联立()
22{
2y x y k x ==-得22y y k ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
即2240y y k --=
令()()1122,,M x y N x y 2212121214,4
y y x x y y ∴=-=
22
1212121214404
OM ON x x y y y y y y ∴⋅=+=
+=-= OM ON ∴⊥ ∴以MN 为直径的圆过O 点.
24．（1）证明见解析；（2）5
2
m =-时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小，最小值为
27． 【解析】
试题分析：（1）直线l 变形为()()1320m x y x y -++-=．利用直线系过定点，若定点在圆的内部即可；（2）利用垂径定理和弦长公式即可得出． 试题
（1）证明：直线l 变形为()()1320m x y x y -++-=． 令10320x y x y -+=⎧⎨
-=⎩解得2
3
x y =⎧⎨=⎩
如图所示，故动直线l 恒过定点A （2,3）． 而()()
22
233423AC =
-+-=< （半径）．
∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线与l 圆C 总相交．
（2）解：由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC 垂直直线l 时，弦长最小，
此时k l ·k AC ＝－1，即
3431232m m +-⋅=-+-，∴5
2
m =- 最小值为2
2
23(2)27+=． 故5
2
m =-
时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小，最小值为27．
考点：直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质． 25．【解析】
试题分析：（Ⅰ）写出圆的方程()()2
2
2
12x y r -+-=，代入点()0,1可以解r ；（Ⅱ）
由题意知切线斜率存在，设方程1(2)y k x +=-，即210kx y k ---=，由圆心到直线的
距离等于r ，能够求出k 得直线方程，由圆的性质可知切线22PA PB PC AC ==-.
试题
（Ⅰ）圆C 的半径()()
22
10212r =
-+-=
所以圆C 的标准方程：()()2
2
122x y -+-=
（Ⅱ）由题意知切线斜率存在,故设过点(2,1)P -的切线方程为1(2)y k x +=- 即210kx y k ---=，有：
2
321k k
--=+，
2670k k ∴--=，解得71k k ==-或，
∴所求切线的方程为715010x y x y --=+-=或 由圆的性质可知：
()()
22
22==2112222PA PB PC AC -=
-+---=
考点：1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系. 26．（1）；（2）
.
【解析】 解：（I ）设圆心为，
因为圆C 与相切，
所以
，
解得
（舍去），
所以圆C 的方程为
（II ）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为， 由
，
∵直线l 与圆相交于不同两点
，
设
，则
， ①
，
将①代入并整理得，解得k = 1或k =－5（舍去），
所以直线l的方程为
圆心C到l的距离，。