2020届高三二轮复习月考检测试卷(化学、数学)附答案

2020届高三第六次质量检测 化学
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Si-28 Li-7 Na-23 Al-27
第一部分(选择题 共126分)
一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

7.化学与人类生产、生活、科研密切相关，下列有关说法正确的是
A.新能源汽车的推广使用有助于减少光化学烟雾
B.黑火药燃烧反应时，氧化剂只有单质硫
C.“侯氏制碱”中的“碱”不属于碱，而是盐NaHCO 3
D.杜康用高粱酿酒的原理是通过蒸馏法将高粱中的乙醇分离出来
8.科技改变生活，充电宝己逐渐成为人们生活中的必需品。

某充电宝工作时的总反应化学方程式为：
2323x V O xLi Li V O 垐垎?噲垐?放电充电
，下列说法错误的是 A.放电时负极上的电极反应为：Li －e －＝Li ＋
B.该充电宝的凝胶介质不可用KOH 水溶液代替
C.充电时每生成14 g Li ，凝胶介质中通过的电子数为2N A
D.充电时电池的正极失电子后Li x V 2O 3会转化为V 2O 3
9.在盛有足量A 的体积可变的密闭容器中，加入B ，发生反应：A(s)＋2B(g)ƒ4C(g)＋D(g) △H<0，在一定温度、压强下达到平衡。

平衡时C 的物质的量与加入的B 的物质的量的变化关系如图。

下列说法正确的是
A.当温度升高后，则图中θ>45°
B.若再加入少量A ，正、逆反应速率均增大
C.平衡时B 的转化率为50%
D.若再加入B ，则平衡后反应体系气体密度减小
10.25℃时，用浓度均为0.1 mol/L 的NaOH 溶液和盐酸分别滴定体积均为20mL 、浓度均为0.l mol/L 的HA 溶液与BOH 溶液。

滴定过程中溶液的pH 随滴加溶液的体积交化关系如图所示。

下列说法中正确的是
A.HA为弱酸，BOH为强碱
B.a点时，溶液中离子浓度存在关系：c(B＋)>c(Cl－)>c(OH－)>c(BOH)
C.b点时两种溶液中水的电离程度相同，且V=20
D.c、d两点溶液混合后微粒之间存在关系：c(H＋)=c(OH—)+c(BOH)
11.根据下列实验操作和现象所得出的结论或解释正确的是
12.下列判断正确的是
A.Na2S2O3溶液中加入稀硫酸的离子方程式为：2S2O32－+4H＋=SO42－+3S↓+2H2O
B.用TiCl4制备TiO2的反应可表示为：TiCl4+(x+2)H2O(过量)ƒTiO2·xH2O↓+4HCl
C.CuCl2溶液中通入少量H2S溶液：Cu2＋+S2－=CuS↓
D.磁性氧化铁溶于氢碘酸：Fe3O2+8H＋=Fe2＋+2Fe3＋+4H2O
13.某单官能团有机化合物，只含碳、氢、氧三种元素，相对分子质量为58，完全燃烧时产生等物质的量的CO2和H2O。

它可能的结构共有(不考虑立体异构)
A.4种
B.5种
C.6种
D.7种
第二部分(非选择题共174分)
三、非选择题：共174分。

第22～32题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第33～38题为选考题，考
生根据要求作答。

(一)必考题：共129分。

26.(13分)氯化法是合成硫酰氯(SO 2Cl 2)的常用方法，实验室合成硫酰氯(SO 2Cl 2)的反应和实验装置如下：
SO 2(g)＋Cl 2(g)垐垐?噲垐?催化剂SO 2Cl 2(l) △H ＝－97.3 kJ/mol 。

有关信息如下：硫酰氯通常条件下为无色液体，熔点为－54.1℃，沸点为的69.1℃，在潮湿空气中“发烟”，100℃以上开始分解，生成二氧化硫和氯气，长期放置也会发生分解。

回答下列问题：
(1)装置甲中仪器B 的名称为 ，甲中活性炭的作用是 ，A 的作用为 ；
(2)装置丁中仪器C 中试剂为浓盐酸，则装置丁中发生反应的离子方程式为 ；
(3)氯磺酸(ClSO 3H)加热分解，也能制得硫酰氯与另外一种物质，该反应的化学方程式为 ，从中分离产物的方法是 (填字母)；
A.重结晶
B.过滤
C.蒸馏
D.萃取
(4)装置丙的作用为 ，若缺少装置乙，氯气和二氧化硫可能发生反应的化学方程式为 ；
(5)为提高本实验中硫酰氯的产率，宜进行的操作有 (填序号)。

①先通气、再通冷凝水 ②控制气流速率，宜慢不宜快
③若三颈烧瓶发烫，可适当降温 ④加热三颈烧瓶
25.(15分)碳及其化合物在生产、生活中有广泛的用途。

I.金刚砂SiC 具有优良的耐磨、耐腐蚀特性，应用广泛。

(1)碳与同周期元素Q 的单质化合仅能生成两种常见气态化合物，其中一种化合物R 为非积极性分子，则Q 元素在周期表中的位置为 ，R 的电子式为 ；
(2)一定条件下，Na 还原CCl 4可制备金刚石，反应结束冷却至室温后，回收CCl 4的实验操作名称为 ，除去粗产品中少量钠的试剂为 ；
(3)碳还原制取SiC ，其粗产品中杂质为Si 和SiO 2。

先将20.0g SiC 粗产品加入到过量NaOH 溶液中充分反应，收集到0.1 mol 氢气，过滤SiC 固体11.4g ，滤液稀释到1L 。

Si 与NaOH 溶液反应的离子方程式
为，硅酸盐的物质的量浓度为。

II.工业上向氨化的CaSO4悬浊液中通入适量CO2，可制取(NH4)2SO4，其流程如下图所示。

已知CaSO4的K SP＝9.1×10－4，CaCO3的K SP＝2.8×10－4。

请回答：
(1)向甲中通入过量CO2(填“有”或“不”)利于CaCO3和(NH4)2SO4的生成，原因是。

(2)直接蒸干滤液得到的(NH4)2SO4主要含有的杂质是(填含量最多的一种)。

(3)锅炉水垢中含有的CaSO4，可先用Na2CO3溶液浸泡，使之转化为疏松、易溶于酸的CaCO3，而后用酸除去。

①CaSO4转化为CaCO3的离子方程式为；
②请分析CaSO4转化为CaCO3的原理：。

28.(15分)石墨在材料领域有重要应用，某初级石墨中含SiO2(7.8%)、Al2O3(3.4%)、Fe2O3(3.1%)、和MgO(0.5%)等杂志，设计的提纯与综合利用工艺如下：
(注：SiCl4的沸点为57.6℃，金属氯化物的沸点均高于150℃)
(1)向反应器中通入Cl2前，需通一段时间N2，主要目的是。

(2)高温反应后，石墨中氧化物杂质均转变为相应的氯化物，气体1中的碳氧化物主要为，由气体II 中某物质得到水玻璃的化学反应方程式为；
(3)步骤①为：搅拌、，所得溶液IV中的阴离子有；
(4)由溶液IV生成沉淀V的总反应的离子方程式，10t(吨)初级石墨最多可获得沉淀V的质量为kg；
(5)以石墨为原料可人工制造金刚石。

若2.4g石墨完全转为金刚石时吸热0.38kJ，则该反应的热化学方程式为；
(6)石墨可用于自然水体中铜件的电化学防腐，则右图中电键K应与(选填“A”、“B”)相连，可实现铜件的防腐。

29.(10分)某研究小组在水分充足、晴朗大风的夏日，观测海水稻得到了光合速率等生理指标日交化趋势。

如下图所示。

请回答下列相关问题：
(1)8：00到10：00光合速率升高的原因有：①温度升高，先合作用酶活性增强；②光强增大，光反应速率加快；③。

(2)推测导致12：00时光合速率出现低谷的环境因素主要是(填“光照强度”或“CO2浓度”)，有可能是其过大抑制了光合作用过程。

(3)为验证缺镁对海水稻光合作用的影响，设完全培养液(A组)和缺镁培养液(B组)，在特定条件培养海水稻，一定时间后检测其光合作用速率，实验结果为B组小于A组，说明缺镁影响光合作用的进行，原因是。

(4)CCCP(一种化学物质)能抑制海水稻的光合作用，为探究CCCP、缺镁两种因素对海水稻光合作用的影响及其相互关系，需在(3)的基础上增设两组实验，则其培养液为和。

30.(10分)为研究胰岛素的生理作用，某同学将禁食一段时间的实验小鼠随机分为A、B、C、D四组，A组腹腔注射生理盐水，B、C、D三组均腹腔注射等量胰岛素溶液，一段时间后，B、C、D三组出现反应迟钝、嗜睡等症状，而A组未出现这些症状。

回答下列问题：
(1)B、C、D三组出现上述症状的原因是。

(2)B、C、D三组出现上述症状后进行第二次注射，给B组腹腔注射生理盐水；为尽快缓解上述症状给C 组注射某种激素、给D组注射某种营养物质。

那么C组注射的激素是，D.组注射的营养物质是。

(3)第二次注射后，C、D两组的症状得到缓解，缓解的机理分别是C组，D 组。

(二)选考题：共45分。

请考生从2道物理题、2道化学题、2道生物题中每科任选一题作答。

如果多做，则每科按所做的第一题计分。

35.【化学——透修3：物质结构与性质】(15分)
A、B、C、D为原子序数依次增大的四种元素，A2－和B＋具有相同的电子构型；C、D为同周期元素，C核外电子总数是最外层电子数的3倍；D元素最外层有一个未成对电子。

回答下列问题：
(1)四种元素中第一电离能最大的是(填元素符号)，其中C原子的核外电子排布式为：；
(2)A有两种同素异形体，其中沸点较高的是(填分子式)，B的氢化物所属的晶体类型为；
(3)化合物CD3中心原子的杂化轨道类型为；
(4)化合物D2A的立体构型为，单质D与湿润的Na2CO3反应可制备D2A，其化学方程式为；
(5)CuSO4溶液可用作C4中毒的解毒剂，反应可生成C的最高价含氧酸和铜，该反应的化学方程式为：；
(6)A和B形成化合物F，晶胞结构如下图所示，晶胞参致a＝0.566nm，晶胞中A原子的配位数为，列出晶体F的密度(g·cm－3)计算式。

(阿伏加德罗常数的值为N A)
36.[化学——选修5：有机化学基础] (15分)
一种有机合成的中间体－环丁基甲酸的合成路线如下(部分反应条件、产物己省略)。

请回答下列问题：
(1)CH2＝CHCHO中含氧官能团的名称为；由B生成D的反应类型为；
(2)化合物A的结构简式为；
(3)下列说法中正确的是(选填字母符号)
A.环丁基甲酸和乙酸属于同系物
B.化合物B和C可通过缩聚反应合成高聚物
C.化合物G的分子式为C6H10O4
D.1 mol化合物B与足量金属钠反应能生成2 mol氢气
(4)写出D＋E→F的化学方程式：；
(5)环丁基甲酸与苯酚反应生成一种酯X，则化合物X的同时满足下列条件的同分异构体有
种(不包括立体异构)，其中一种的结构简式为。

①能使FeCl3溶液变紫色；
②含有丙烯醛中所有的官能团；
③1H－NMR谱显示分子中有5个吸收峰。

(6)以l，3－丁二烯和化合物E为原料，参照上述合成路线可制备。

请选用必要的试剂设计合成路线。

2020届高三第六次质量检测数学（理）试题
一、单选题
1．已知平面向量()1,2a =-r ，()2,b m =r ，且//a b r r ，则m =（ ）
A ．4
B ．1
C ．-1
D ．-4
【答案】D
【解析】利用平面向量共线定理即可得出．
【详解】 解：Q ()1,2a =-r ，()2,b m =r ，且//a b r r ，
40m ∴+=，解得4m =-．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．已知集合{}|13A x x =-<<，{}
2|40B x Z x x =∈-<，则A B =I （ ） A ．{}|03x x <<
B ．{}1,2,3
C ．{}1,2
D ．{}2,3,4
【答案】C 【解析】解不等式求出集合A 、B ，再求A B I ．
【详解】
解：{}
2|40B x Z x x =∈-<Q {}1,2,3B ∴=
{}|13A x x =-<<Q
{}1,2A B ∴=I
故选：C
【点睛】
本题考查了解不等式与交集的运算问题，属于基础题．
3．设3443i z i -=
+，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．i
B ．i -
C ．1i -+
D ．1i + 【答案】A
【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解． 【详解】 解：3443i
z i
-=
+Q ()()()()
344334434343i i i z i i i i ---∴=
==-++- ()21f x x x =-+Q
()()()2
1f z i i i ∴=---+=
故选：A 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 4．下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）个
①若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ；②若平面//α平面β，直线//m 平面α，则
//m β；③平面α⊥平面β，且l αβ=I ，点A α∈，若直线AB l ⊥，则AB β⊥；④直线m 、n 为
异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】A
【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 【详解】 解：
①若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则α与β相交或平行，故①错误； ②若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β或m β⊂，故②错误；
③当点B 不在平面α内，满足AB l ⊥时，但AB 与β不垂直，故③错误； ④直线m 、n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β， 由面面垂直的性质得αβ⊥，故④正确． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了面面平行的性质，以及空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了空间想象能力，属于基础题． 5
=（ ）
A ．
14 B ．
12
C ．1 D
．3
-
【答案】A
【解析】利用三角函数的切化弦及辅助角公式对函数化简即可得答案. 【详解】
解：=Q
=
⎝⎭
()
sin 204sin 3010︒
︒-︒=
14
=
故选：A 【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系、辅助角公式，属于基础题.
6．将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A ．36种 B ．42种 C ．48种 D ．60种
【答案】B
【解析】根据题意，可分为两种情况讨论：①甲在最左端，将剩余的4人全排列；②乙在最左端，分析可得此时的排法数目，由分类计数原理，即可求解． 【详解】
根据题意，最左端只能拍甲或乙，可分为两种情况讨论：
①甲在最左端，将剩余的4人全排列，共有4
424A =种不同的排法；
②乙在最左端，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排好在剩余的三个位置上，此时
共有3
3318A =种不同的排法，
由分类计数原理，可得共有241842+=种不同的排法，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中注意优先元素受到的限制条件，合理分类求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 7．二项式()()3
10mx m ->展开式的第二项的系数为-3，则22
m
x dx -⎰的值为（ ）
A ．3
B ．
73
C ．83
D ．2
【答案】A
【解析】二项式()
()3
10mx m ->的展开式的通项公式得12222
3()(1)3T
mx m x =-=-ð．由于第二项的系数为
3-，可得233m -=-，即21m =，解得m ，再利用微积分基本定理即可得出．
【详解】
解：二项式()
()3
10mx m ->的展开式的通项公式得12222
3()(1)3T
mx m x =-=-ð．
Q 第二项的系数为3-，
∴233m -=-，
21m ∴=，0m >，解得1m =．
当1m =时，则31
2
2
1
222|33
m
x x dx x dx ---===⎰⎰．
故选：A ． 【点睛】
本题考查了二项式定理与微积分基本定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．已知()f x 是R 上的偶函数，若将()f x 的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图象，若
()21f =-，则()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．2019
B ．1
C ．-1
D ．-2019
【答案】C
【解析】由题意()f x 是R 上的偶函数，(1)f x -是R 上的奇函数，由此可以得出函数的周期为4，再由
()21f =-求出(2)1f -=-，由奇函数的性质得出(1)0f -=，从而可得()10f =，求出一个周期上的四
个函数的和，即可求出()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+的值． 【详解】
解：由题意()f x 是R 上的偶函数，(1)f x -是R 上的奇函数，
()()f x f x ∴-=，(1)(1)f x f x --=--，①
(1)(1)f x f x ∴--=+，②
由①②得(1)(1)f x f x +=--③恒成立， (1)(3)f x f x ∴-=--④
由③④得(1)(3)f x f x +=-恒成立，
∴函数的周期是4，下研究函数一个周期上的函数的值
由于()f x 的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象即(01)0f -=，即(1)0f -=，由偶函数知
()10f =，由周期性知()30f =
由()21f =-得(2)1f -=-，由(1)(1)f x f x +=--，知(0)1f =，故()41f =故有
()()()()12340f f f f ∴+++=
()()()()()()()()12320191230101f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=++=+-+=-
故选：C ． 【点睛】
本题考查函数奇偶性的运用，求解本题的关键是根据函数的性质求出函数的周期以及一个周期中函数值的和，然后根据周期性求出函数值的和．
9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=，则
3
9121239
S S S S a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．1013 B ．1035
C ．2037
D ．2059
【答案】A
【解析】根据1
1
12n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a ，求出前n 项和为n S ，即可得到21n n n S a =-，再用分组求和求得其前9项和. 【详解】 解：1n n a S +=Q
当1n =时111a S +=得11
2
a = 当2n ≥时111n n a S --+= ()110n n n n a S a S --∴+-+=
112
n n a a -∴=
数列{}n a 是以112
a =
为首项，1
2q =为公比的等比数列.
12n
n a ⎛⎫
∴= ⎪⎝⎭
112n
n S ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
21n n
n
S a ∴
=- 29103
9121239
22292111013S S S S a a a a ∴
+++⋅⋅⋅+=++-=-=L 故选：A 【点睛】
本题考查利用n S 求n a ，以及等比数列的前n 项和为n S ，属于基础题.
10．已知点N 在圆224x y +=上，()2,0A -，()2,0B ，M 为NB 中点，则sin BAM ∠的最大值为（ ）
A ．
1
2
B ．
13
C
D
【答案】B
【解析】设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+先求出AM 的斜率的最大值，再得出sin NAM ∠的最大值． 【详解】
解：设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+，
sin 0sin tan 1cos 2cos 3BAM αααα-∠=
=+++…
， 1
sin 3BAM ∴∠…，
故选：C ． 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
11．抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，设A 为抛物线上的动点，则
AO AF
的最大值为
（ ）
A
B
C
D
【答案】D
【解析】由抛物线方程为：2
2(0)y px p =>，可得：焦点(2
p
F ，0)，由抛物线的定义可得||||||AO AO AF d =，化简再换元，利用基本不等式求得最大值． 【详解】
解：由抛物线方程为：2
2(0)y px p =>，可得： 焦点(
2
p
F ，0)， 设(,)A m n ，则22n pm =，0m >，设A 到准线2
p
x =-
的距离等于d ，
则||||||22AO AO AF d m m ====++ 令24p pm t -=，2
4
p t >-，则4t p m p =+，
∴||||AO AF =2
34p t = 时，等号成立）． 故
||||AO AF
， 故选：D ． 【点睛】
本题考查抛物线的定义、基本不等式的应用，考查换元的思想，解题的关键是表达出||
||
AO AF ，再利用基本不等式，综合性强．
12．已知ABC ∆中，60A =︒，6AB =，4AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，且满足OA OB OC ==.
设AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则λμ+的值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．
1118
D ．
711
【答案】C
【解析】由由OA OB OC ==，得：点O 是ABC ∆的外心，由向量的投影的概念可得：·18
·8AO AB AO AC ⎧=⎨=⎩
u u u v u u u v u u u v u u u v ，
再代入运算623
342λμλμ+=⎧⎨+=⎩
，即可
【详解】
解：由OA OB OC ==，得：点O 是ABC ∆的外心，
又外心是中垂线的交点，则有：·18
·
8AO AB AO AC ⎧=⎨=⎩u u u v u u u v
u u u v u u u v ， 即()?18
()?8AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+=⎨+=⎩
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 又6AB =，4AC =，12AB AC =u u u r u u u r
g ，
所以623342λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得：49
16λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
即4111
9618
λμ+=
+=， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念，平面向量的数量积公式，属中档题.
二、填空题
13．抛物线22x y =-的准线方程是____________ 【答案】18
x =
【解析】先将抛物线方程化为标准方程，即可求解. 【详解】
由2
2x y =-，所以2
12y x =-
，故准线方程为18
x =. 【点睛】
本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型.
14．若x y z R ∈、、，且226x y z ++=，则222x y z ++的最小值为______. 【答案】4
【解析】由条件利用柯西不等式可得222222(212)()(22)36x y z x y ++++++=…
，由此求得222x y z ++ 的
【详解】
解：由于222222(212)()(22)36x y z x y ++++++=…
， 即2229()36x y z ++…，2224x y z ∴++…，即222x y z ++ 的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】
本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题．
15．在平面直角坐标系xOy 中，设定点()(),0A a a a >，P 是函数()1
0y x x
=
>图象上一动点，若点P ，
A ，则满足条件的正实数a 的值为______.
【答案】3
【解析】设点(P x ，1
)(0)x x >，利用两点间的距离公式可得||PA ，令1t x x
=+，由0x >，可得2t …
，令2222
()222()2g t t at a t a a =-+-=-+-，讨论a 的范围：当02a <…时，当2a >时，利用基本不
等式和二次函数的单调性即可得出a 的值． 【详解】
解：设点(P x ，1
)(0)x x >，
则||PA =
=
=
令1
t x x
=+
，由0x >，可得2t …
， 令2
2
2
2
()222()2g t t at a t a a =-+-=-+-，
①当02a <…时，2t =时()g t 取得最小值()2
22242g a a =-+=，
解得a ②当2a >时，()g t 在区间[2，)a 上单调递减，在(,)a +∞单调递增，
可得t a =，()g t 取得最小值()2
2g a a =-，可得2
22a -=
，解得3a =（负的舍去）
． 综上可知：3a =． 故答案为：3．
本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力． 16．函数()3
2
3232f x ax a x ⎛⎫=+-
⎪⎝⎭
，a R ∈，当[]0,1x ∈时，函数()f x 仅在1x =处取得最大值，则a 的取值范围是______.
【答案】3,10⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
【解析】求出原函数的导函数，对a 分类，根据函数在[]0,1x ∈上的单调性逐一分析求解． 【详解】
解：22
()6(63)32(21)f x ax a x ax a x ⎡⎤'=+-=+-⎣⎦．
若0a =，则()0f x '…在[]0,1上恒成立，()f x 在[]0,1上单调递减，不合题意； 若0a <，由()0f x '=，得11202a
x a
-=
<，20x =， ()f x 在[]0,1上单调递减，不合题意；
若0a >，当12a …时，
1202a
a
-…，()f x 在[]0,1上单调递增，符合题意； 当104
a <…时，1212a
a -…，()f x 在[]0,1上单调递减，不合题意； 当
1142a <<时，12012a
a
-<<， ()f x 在120,2a a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在12,12a a -⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增， 要使当[]0,1x ∈时，函数()f x 仅在1x =处取得最大值， 则())3
1230(02
f a a f =+-
>=，即310a >．
综上，实数a 的取值范围为3,10⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
．
故答案为：3,10⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．
三、解答题
17．设函数()22cos 2cos 132
x
f x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求()f x 的值域；
（2）记ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为(),,a b c a b >，若()0f B =，1b =，c =a 的
值.
【答案】（1）[]1,1-；（2）2.
【解析】（1）利用二倍角公式及两角和的余弦公式将()22cos 2cos 132
x
f x x π⎛
⎫=++- ⎪⎝⎭化简，变形后可以用三角函数的有界性求值域．
（2）由()0f B =求出B Ð，利用余弦定理建立关于a 的方程求出a ． 【详解】
解：（1）()22cos cos
sin sin cos 33f x x x x ππ=-+cos 3x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
∵x ∈R ，∴1cos 13x π⎛
⎫
-≤+≤ ⎪⎝
⎭
， ∴()f x 值域为[]1,1-.
（2）由()0f B =得：cos 03B π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
.在ABC ∆中，0B π<<，故6B π
=. 在ABC ∆中，由余弦定理得：2
2
2
2cos 6
b a
c ac π
=+-，
∴2320a a -+=，∵1a b >=，解得：2a =. 【点睛】
考查利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形，属于基础题，
18．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）
10
3
；（Ⅱ）350
【解析】试题分析：（1）求古典概型概率，先确定两次检测基本事件个数：2
3A ，再确定第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的基本事件个数1
1
2
3A A
，从而得所求事件概率为
1123233
10
A A P A ==（2）先确
定随机变量：最少两次（两次皆为次品），最多四次（前三次两次正品，一次次品），三次情况较多，可利用补集求其概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望
试题解析：解:（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，
11
23253
()10
A A P A A ==
（Ⅱ）X 的可能取值为200,300,400
2
2251
(200)10A P X A ===
311232323
53
(300)10
A C C A P X A +=== 213
3234523
(400)5
C C A P X A ⨯===
（或3
(400)1(200)(300)5
P X P X P X ==-=-==） 故X 的分布列为
133
20030040035010105
EX =⨯
+⨯+⨯= 【考点】1.古典概型概率；2.分布列和数学期望.
【方法点睛】（1）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、
方差公式进行计算.
19．已知抛物线：24y x =的焦点为F ，直线l ：()()20y k x k =->与抛物线交于A ，B 两点，AF ，
BF 的延长线与抛物线交于C ，D 两点.
（1）若AFB ∆的面积等于3，求k 的值； （2）记直线CD 的斜率为CD k ，证明：CD
k k
为定值，并求出该定值. 【答案】（1）2；（2）证明见解析，2.
【解析】（1）设出抛物线上两点A 、B 的坐标，由24(2)
y x
y k x ⎧=⎨=-⎩消去x ，根据AFB ∆的面积和根与系数
的关系即可求出k 的值；
（2）设出抛物线上点C 、D ，利用向量法和三点共线的知识，求出点C 与D 的坐标表示，再计算CD 的斜率，即可证明CD
k k
为定值． 【详解】
解：（1）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2
22,4y B y ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 由()
242y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2480ky y k --=，216320k ∆=+>，∴124y y k +=，128y y =-，
12112AFB y y S ∆⨯=
=⨯
-3==，解得2k =. （2）设233,4y C y ⎛⎫
⎪⎝⎭，则21
11,4y y FA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，2331,4y y FC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
u u u r ， 因为A ，F ，C 共线，所以2
2313111044y y y y ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即2
3131440y y y y ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭
， 解得：31y y =（舍）或314y y =-
，所以21144,C y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理22244,D y y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 121212221244
244CD
y y y y k k y y y y -
+==-=+-，故2CD k k =（定值）.
【点睛】
本题考查了直线与双曲线、直线与抛物线的应用问题，也考查了弦长公式以及根与系数的应用问题，属于
中档题．
20．如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明祥见解析；（Ⅱ）．
【解析】试题分析：根据题意可以建立空间直角坐标系来解答.以点为坐标原点，求出向量的坐标，根据数量积得出，故平面，于是平面平面.
求出平面的法向量，计算与的夹角，则直线与平面所成角的正弦值等于. 试题解析：（Ⅰ）以点为坐标原点，以直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，.
∴，，，
∴，，
∴，，
又，平面，平面，
∴平面，∵平面，
∴平面平面
（Ⅱ），，
设是平面的一个法向量，则，
∴，
令，则，，即，
∴，，，
∴.
∴直线与平面所成角的正弦值为.
点睛：立体几何是高中数学的重要内容之一,也历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与平面的垂直性质及线面角的求解.解答时第一问充分借助已知条件建立直角坐标系，借助于数量积证明线线垂直，进而得到线面垂直，故面面垂直；.关于第二问中的直线与平面所成角的问题,解答时巧妙运用建构空间直角坐标系,将直线和平面所成角的正弦转化为直线与法向量的余弦即可.
21．已知函数处的切线与直线垂直．
(1)求函数为f(x)的导函数）的单调递增区间；
(2)记函数是函数的两个极值点，若
恒成立，求实数k的最大值．
【答案】（1）;（2）.
【解析】【试题分析】（1）依据题设借助导数与函数的单调性之间的关系分析求解；（2）先依据题设条件将问题进行等价转化，再构造函数运用导数知识分析探求：
（1）由题意可得：，，可得：；
又，所以；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；故函数的单调增区间为.
（2），，
因为，是的两个极值点，故，是方程的两个根，由韦达定理可知：，，可知，又，
令，可证在递减，由，从而可证.
所以
.
.
令，，
所以单调减，故，所以，即.
22．在直角坐标系xOy中，曲线1C：
27cos
7sin
x
y
α
α
⎧
=+
⎪
⎨
=
⎪⎩
（α为参数）.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2
C的极坐标方程为8cos
ρθ
=，直线l的极坐标方程为()
3
θρ
π
=∈R.
（Ⅰ）求曲线1
C的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与1C，2C在第一象限分别交于A，B两点，P为2C上的动点.求PAB
∆面积的最大值.【答案】（1）3
y x
=（2）23
+
【解析】(Ⅰ)先求出曲线1
C的普通方程,再把普通方程化为极坐标方程.再写出直线的直角坐标方程.( Ⅱ)先
求出
21
1
ABρρ
=-=,再求出以AB为底边的PAB
∆的高的最大值为423
+,
再求PAB
∆面积的最大值.
【详解】
(Ⅰ)依题意得,曲线1C的普通方程为()22
27
x y
-+=,
曲线1
C的极坐标方程为24cos30
ρρθ
--=,
直线l的直角坐标方程为3
y x
=．
(Ⅱ)曲线2C的直角坐标方程为()22
416
x y
-+=,设1,
3
A
π
ρ⎛⎫
⎪
⎝⎭
,2,
3
B
π
ρ⎛⎫
⎪
⎝⎭
,
则2
114cos
303
π
ρρ--=,即211230ρρ--=,得13ρ=或11ρ=-(舍),
28cos
43
π
ρ==,则211AB ρρ=-=,
()24,0C 到l
的距离为d =
=以AB 为底边的PAB ∆
的高的最大值为4+
则PAB ∆
的面积的最大值为(
1
1422
⨯⨯+=+【点睛】
(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，考查面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题的解题的关键是求出
211AB ρρ=-=.
23．已知函数()()21f x x a x a R =-+-∈. （1）当1a =时，求()2f x ≤的解集；
（2）若()121f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）4|03x x ⎧
⎫≤≤
⎨⎬⎩⎭；（2）51,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
. 【解析】（1）当1a =时，()121f x x x =-+-，分类去绝对值讨论即可；（2）由()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，得当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，不等式()21f x x ≤+恒成立，然后去绝对值参变分离转化为函数的最值问题即可. 【详解】
解：（1）当1a =时，()121f x x x =-+-，
()21212f x x x ≤⇒-+-≤，
上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩，或112
1212x x x ⎧
<<⎪
⎨⎪-+-≤⎩或11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩， 解得120x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，或1
122x x ⎧<<⎪⎨⎪≤⎩，或143x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩
，
∴102x ≤≤
或112x <<或413x ≤≤，∴原不等式的解集为4|03x x ⎧
⎫≤≤⎨⎬⎩
⎭
. （2）∵()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
∴当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，不等式()21f x x ≤+恒成立，
即2121x a x x -+-≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立， ∴2121x a x x -+-≤+，即2x a -≤，∴22x a -≤-≤， ∴22x a x -≤≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立， ∴()()max min 22x a x -≤≤+， ∴512
a -≤≤
， ∴a 的取值范围是51,2⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
.
【点睛】
本题考查了分类讨论解绝对值不等式，不等式的恒成立问题，参变分离法是解决恒成立有关问题的好方法.。