福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次综合质量检查理科数学(理)试题
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5．C
【解析】
【分析】
根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案.
【详解】
如图所示，连接 交 于 ，设球的半径为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查三视图还原几何体的直观图、组合体体积计算，考查空间想象能力和运算求解能力.
6．D
【解析】
【分析】
根据程序框图，解方程 得 ，即可得到答案.
（1）求点 轨迹的极坐标方程；
（2）若 ，求 的值.
22．已知 在R上恒成立.
（1）求 的最大值 ；
（2）若 均为正数，且 ,求 的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
利用复数的四则运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可．
【详解】
复数 ＝2i+ ＝2i+1﹣i＝1+i,
则|z|＝ ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）问： 的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．
20．已知函数 ．
（1）若 ，曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的值；
（2）若 ，且函数 的值域为 ，求 的最小值．
21．在平面直角坐标系 中，圆 ，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴，直线 的极坐标方程为 ，直线 交圆 于 两点， 为 中点.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
17．如图，矩形 平面 ， ， ，且 ， 分别为 ， 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的大小．
18． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ．
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形， 为 中点，求 的取值范围．
19．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 作直线 与椭圆 交于 ， 两点， 的周长为8．
6．明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的 ( )
A．25B．45C．60D．75
7．若实数 ， ， 满足 ，则 ， ， 的大小关系是( )
A． < < B． < <
A． B． C． D．
11．已知函数 ，以下四个命题：
①当 时，函数 存在零点；
②当 时，函数 没有极值点；
③当 时，函数 在 上单调递增；
④当 时， 在 上恒成立．
其中的真命题为( )
A．②③B．①④C．①②D．③④
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
12．已知向量 ， ，若 ，则 =_______．
福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末）数学理试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．若复数 ，其中 是虚数单位，则复数 的模为（ ）
13．已知定义在R上的奇函数 满足 ，且 则 =_______．
14．若 ，则 _______．
15．在棱长为4的正方体 中，正方形 所在平面内的动点 到直线 ， 的距离之差为2．设 的中点为 ，则 的最小值为_______．
评卷人
得分
三、解答题
16．已知各项均为正数的数列 的首项 ，前 项和为 ，且 ．
【详解】
根据程序框图，当 时，解得 ，
此时， 终止循环.
故选：D.
【点睛】
本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题转化为解方程问题.
7．C
【解析】
【分析】
令 ，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案.
【详解】
令 ，则 ，
因为 ，由 的图象可得： ，所以 ；
因为 与 互为反函数，图象关于 对称，
C． < < D． < <
8．已知点 和点 关于直线 对称，斜率为 的直线 过点 交 于点 ，若 的面积为2，则 的值为( )
A． 或 B． C． D．
9．已知斜率为 的直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，又直线 与圆 交于 ， 两点．若 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
10．已知函数 的周期为 ， , 分别是函数 的图像与 轴相邻的两个交点，点 在函数 的图像上，且满足 ，则 的值为( )
A． B． C． D．2
2．设集合 ， ，则 =( )
A． B． C． D．
3．已知等比数列 满足 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
4．若x，y满足 ，则2x+y的最大值为（ ）
A．2B．5C．6D．7
5．一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．
故选C．
【点睛】
本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题．
2．A
【解析】
【分析】
对集合 分别进行不等式求解，并进行化简，再求交集，即可得答案.
【详解】
因为 ，
集合 或 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】
本题考查不等式的求解及集合的交运算，考查基本运算求解能力.
3．A
【解析】
【分析】
利用等பைடு நூலகம்数列的通项公式，将等式 化成关于 的方程，进而求得 的值.
因为 ，所以 ，
综上所述： .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的图象研究数的大小，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意借助函数的图象进行研究.
8．B
【解析】
【分析】
先求出点 的坐标，再利用 的面积为2，得到关于 的方程，从而求得答案.
【详解】
设点 ，则 解得： ，则 ，
由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，
此时z最大．
由 ，解得A（2，1），
代入目标函数z＝2x+y得z＝2×2+1＝5．
即目标函数z＝2x+y的最大值为5．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
【详解】
因为 ，所以 ，
解得： ，所以 .
故选：A.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式应用，考查基本运算求解能力.
4．B
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．
【详解】
作出x，y满足 对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，
平移直线y＝﹣2x+z，
【解析】
【分析】
根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案.
【详解】
如图所示，连接 交 于 ，设球的半径为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查三视图还原几何体的直观图、组合体体积计算，考查空间想象能力和运算求解能力.
6．D
【解析】
【分析】
根据程序框图，解方程 得 ，即可得到答案.
（1）求点 轨迹的极坐标方程；
（2）若 ，求 的值.
22．已知 在R上恒成立.
（1）求 的最大值 ；
（2）若 均为正数，且 ,求 的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
利用复数的四则运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可．
【详解】
复数 ＝2i+ ＝2i+1﹣i＝1+i,
则|z|＝ ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）问： 的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．
20．已知函数 ．
（1）若 ，曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的值；
（2）若 ，且函数 的值域为 ，求 的最小值．
21．在平面直角坐标系 中，圆 ，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴，直线 的极坐标方程为 ，直线 交圆 于 两点， 为 中点.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
17．如图，矩形 平面 ， ， ，且 ， 分别为 ， 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的大小．
18． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ．
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形， 为 中点，求 的取值范围．
19．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 作直线 与椭圆 交于 ， 两点， 的周长为8．
6．明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的 ( )
A．25B．45C．60D．75
7．若实数 ， ， 满足 ，则 ， ， 的大小关系是( )
A． < < B． < <
A． B． C． D．
11．已知函数 ，以下四个命题：
①当 时，函数 存在零点；
②当 时，函数 没有极值点；
③当 时，函数 在 上单调递增；
④当 时， 在 上恒成立．
其中的真命题为( )
A．②③B．①④C．①②D．③④
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
12．已知向量 ， ，若 ，则 =_______．
福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末）数学理试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．若复数 ，其中 是虚数单位，则复数 的模为（ ）
13．已知定义在R上的奇函数 满足 ，且 则 =_______．
14．若 ，则 _______．
15．在棱长为4的正方体 中，正方形 所在平面内的动点 到直线 ， 的距离之差为2．设 的中点为 ，则 的最小值为_______．
评卷人
得分
三、解答题
16．已知各项均为正数的数列 的首项 ，前 项和为 ，且 ．
【详解】
根据程序框图，当 时，解得 ，
此时， 终止循环.
故选：D.
【点睛】
本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题转化为解方程问题.
7．C
【解析】
【分析】
令 ，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案.
【详解】
令 ，则 ，
因为 ，由 的图象可得： ，所以 ；
因为 与 互为反函数，图象关于 对称，
C． < < D． < <
8．已知点 和点 关于直线 对称，斜率为 的直线 过点 交 于点 ，若 的面积为2，则 的值为( )
A． 或 B． C． D．
9．已知斜率为 的直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，又直线 与圆 交于 ， 两点．若 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
10．已知函数 的周期为 ， , 分别是函数 的图像与 轴相邻的两个交点，点 在函数 的图像上，且满足 ，则 的值为( )
A． B． C． D．2
2．设集合 ， ，则 =( )
A． B． C． D．
3．已知等比数列 满足 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
4．若x，y满足 ，则2x+y的最大值为（ ）
A．2B．5C．6D．7
5．一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．
故选C．
【点睛】
本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题．
2．A
【解析】
【分析】
对集合 分别进行不等式求解，并进行化简，再求交集，即可得答案.
【详解】
因为 ，
集合 或 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】
本题考查不等式的求解及集合的交运算，考查基本运算求解能力.
3．A
【解析】
【分析】
利用等பைடு நூலகம்数列的通项公式，将等式 化成关于 的方程，进而求得 的值.
因为 ，所以 ，
综上所述： .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的图象研究数的大小，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意借助函数的图象进行研究.
8．B
【解析】
【分析】
先求出点 的坐标，再利用 的面积为2，得到关于 的方程，从而求得答案.
【详解】
设点 ，则 解得： ，则 ，
由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，
此时z最大．
由 ，解得A（2，1），
代入目标函数z＝2x+y得z＝2×2+1＝5．
即目标函数z＝2x+y的最大值为5．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
【详解】
因为 ，所以 ，
解得： ，所以 .
故选：A.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式应用，考查基本运算求解能力.
4．B
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．
【详解】
作出x，y满足 对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，
平移直线y＝﹣2x+z，