高考数学一轮总复习 课时跟踪检测(三十) 等差数列及其前n项和 文 新人教A版

课时跟踪检测(三十) 等差数列及其前n 项和
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( )
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15 解析：选B 由S 5＝a 2＋a 42⇒25＝＋a 42⇒a 4＝7，所以7＝3＋2d ⇒d ＝2，
所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.
2．(2015·西安八校联考)在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )
A ．37
B ．36
C ．20
D ．19
解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82
d ＝36d ＝a 37. 3．(2016·陕西质量监测)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( )
A ．21
B ．22
C ．23
D ．24
解析：选C 3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23
n .∵a k ＋1·a k <0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴k ＝23. 4．(2015·唐山期末)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. 解析：设数列{a n }的公差为d ，S 3＝6，S 4＝12，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3×22d ＝6，4a 1＋4×32d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝0，d ＝2，
∴S 6＝6a 1＋6×52
d ＝30. 答案：30
5．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2
n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于
________．
解析：∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1，
又a n －1＋a n ＋1－a 2
n ＝0，
∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.
∵a n ≠0，∴a n ＝2.
∴S 2n －1＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10.
答案：10
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2015·太原一模)在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34
，则a 1＝( ) A ．－1
B ．0 C.14 D.12 解析：选B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，
又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32
. ∴公差d ＝a 4－a 22＝12
.∴a 1＝a 2－d ＝0. 2．(2015·江西八校联考)数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p
－a q ＝( )
A ．10
B ．15
C ．－5
D ．20
解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n －[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1，
当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，符合上式，
∴a n ＝4n ＋1，∴a p －a q ＝4(p －q )＝20.
3．(2015·东北三省联考)现给出以下几个数列：①2,4,6,8，…，2(n －1)，2n ；②1,1,2,3，…，n ；③常数列a ，a ，a ，…，a ；④在数列{a n }中，已知a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2.其中等差数列的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B ①由4－2＝6－4＝…＝2n －2(n －1)＝2，得数列2,4,6,8，…，2(n －1)，2n 为等差数列；②因为1－1＝0≠2－1＝1，所以数列1,1,2,3，…，n 不是等差数列；③常数列a ，a ，a ，…，a 为等差数列；④当数列{a n }仅有3项时，数列{a n }是等差数列，当数列{a n }的项数超过3项时，数列{a n }不一定是等差数列．故等差数列的个数为2.
4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最
大自然数n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．12
D ．13
解析：选C ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.
5．(2015·青岛二模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n 为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )
A ．b n ＝n －1
B ．b n ＝2n －1
C ．b n ＝n ＋1
D ．b n ＝2n ＋1
解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，
S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2n ＋12×2n n －d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.
因为对任意的正整数n 上式均成立，
所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，
解得d ＝2，k ＝14
. 所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.
6．在等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 45＝________. 解析：a 25－a 15＝10d ＝66－33＝33，
∴a 45＝a 25＋20d ＝66＋66＝132.
答案：132
7．(2014·江西高考)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．
解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得
⎩⎪⎨⎪⎧ d <0，a 8>0，
a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78
. 答案：⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－78 8．(2015·泰安一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则正整数m 的值为________．
解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， 所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5， 即2a 1＋2m －1＝5，
所以a 1＝3－m .
由S m ＝(3－m )m ＋m m －2×1＝0，
解得正整数m 的值为5.
答案：5
9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.
(1)求a 及k 的值；
(2)设数列{b n }的通项b n ＝S n n ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k k －2
·d ＝2k ＋k k －2×2＝k 2＋k . 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，
解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.
(2)证明：由(1)得S n ＝n ＋2n 2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S n n ＝n ＋1，
故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，
即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，
所以T n ＝n ＋n ＋2＝n n ＋2.
10．(2016·南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，
a 5成等比数列，当n ≥5时，a n >0.
(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列；
(2)求{a n }的前n 项和S n .
解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2
n ＋1＋2a n ＋1－3， 得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，
即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.
当n ≥5时，a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2，
所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．
(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1，
又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，
所以a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1，
而a 5>0，所以a 1>0，从而a 1＝3，
所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －n －1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5，
所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32
[1－－n ]，1≤n ≤4，n 2－6n ＋8，n ≥5.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．(2016·保定一模)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则
S n ＋10a 2n 的最大值是( ) A ．310
B ．212
C ．180
D ．121 解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，
依题意得2S 2＝S 1＋S 3，
因为a 1＝1，
所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，
化简可得d ＝2a 1＝2，
所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n n －2×2＝n 2
， 所以S n ＋10a 2n ＝n ＋2n －2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ＋102n －12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12n －＋2122n －12 ＝14⎝
⎛⎭⎪⎫1＋212n －12≤121. 2．(2015·山东省实验中学一模)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *
)．
(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；
(2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)法一：数列{a n }是等差数列，
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd .
由a n ＋1＋a n ＝4n －3，
得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3，
∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，
即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，
解得d ＝2，a 1＝－12
. 法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3， 得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1，
∴2d ＝a n ＋2－a n ＝(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝4n ＋1－(4n －3)＝4， ∴d ＝2.
又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝4×1－3＝1，
∴a 1＝－12
. (2)①当n 为奇数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋52.
②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝1＋9
＋…＋(4n －7)＝2n 2
－3n 2
.。