八年级数学下册16.2二次根式的乘除2导学案新版新人教版2

16.2二次根式的乘除法（2）学习目标
1、会进行简单的二次根式除法运算和化简（理解a
b =a
b
（a≥0，b>0））；
2、理解最简二次根式的概念，并能把二次根式化为最简二次根式。

学习重点、难点
重点：掌握和应用二次根式的除法法则进行运算和化简。

难点：正确依据二次根式的除法法则进行二次根式的化简，最简二次根式的运用。

学习过程：
一、自主学习
计算并填空：（1）
9
16
=________，
9
16
=_________
（2）16
36
=________，
16
36
=________
（3）
4
16
=________，
4
16
=________
自学课本完成下面的题目：
1、
9
16
______
9
16
16
36
______
16
36
4
16
_______
4
16
2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？
能叙述并用数学表达式表示发现的规律吗？
二、合作交流
1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？
a b =反过来，
a
b
=
2、最简二次根式应满足哪两个条件：
（1）. （2）. 3、说一说怎样把一个二次根式化为最简二次根式？ 4、计算：（1）12
3 （2）3
1
28÷
三、课堂检测（1、2必做 3题为选做题）： 1、选择题
（1）计算11
2
121335÷÷的结果是（ ）．
A ．275
B ．27
C ．2
D ．2
7
（2）、下列各式中，是最简二次根式的有( )
A.y x 2
B.12
C.22y x +
D.52
2、计算：
（1）482 （2） x x
823
（3）16141
÷ （42964x
y
3. 化简，求值： 111(11
222+---÷-+-m m m m m m ），
其中m =3．
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（）
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的角平分线
D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）
【答案】D
【解析】试题分析：作∠E的平分线，可得点P到AB和CD的距离相等，因为AB=CD，所以此时点P满足S△PAB=S△PCD．
故选D．
考点：角平分线的性质．
2．下列命题是假命题的是（）
A．两直线平行，同旁内角互补；B．等边三角形的三个内角都相等；
C．等腰三角形的底角可以是直角；D．直角三角形的两锐角互余．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质分别判断即可. 【详解】解：A. 两直线平行，同旁内角互补，正确；
B. 等边三角形的三个内角都相等，正确；
C. 由于等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和是180°，故等腰三角形的底角不可以是直角，错误；
D. 直角三角形的两锐角互余，正确，
故选：C.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握各性质是解题关键.
3．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠P的度数为（）
A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】B
【分析】根据三角形的外角性质即可求出答案．
【详解】解：延长AC交BD于点E，
设∠ABP＝α，
∵BP平分∠ABD，
∴∠ABE＝2α，
∴∠AED＝∠ABE+∠A＝2α+60°，
∴∠ACD＝∠AED+∠D＝2α+80°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝1
2
∠ACD＝α+40°，
∵∠AFP＝∠ABP+∠A＝α+60°，
∠AFP＝∠P+∠ACP
∴α+60°＝∠P+α+40°，
∴∠P＝20°，
故选B．
【点睛】
此题考查三角形，解题的关键是熟练运用三角形的外角性质，本题属于基础题型．
4．如图，CD是直角△ABC斜边AB上的高，CB＞CA，图中相等的角共有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【答案】D
【解析】根据直角和高线可得三对相等的角，根据同角的余角相等可得其它两对角相等：∠A=∠DCB，
∠B=∠ACD ．
【详解】∵CD 是直角△ABC 斜边AB 上的高，
∴∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠A=∠DCB ，
同理得：∠B=∠ACD ，
∴相等的角一共有5对，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键．
5．如图，△ABC 中，AB AC =，D 是BC 中点，下列结论，不一定正确的是（ ）
A ．AD BC ⊥
B ．AD 平分BA
C ∠ C ．2AB B
D = D ．B C ∠=∠
【答案】C 【分析】根据等边对等角和等腰三角形三线合一的性质解答．
【详解】解：∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
∵AB=AC ，D 是BC 中点，
∴AD 平分∠BAC ，AD ⊥BC ，
所以，结论不一定正确的是AB=2BD ．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等边对等角的性质以及等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6．计算结果为x 2﹣y 2的是（ ）
A ．（﹣x+y ）（﹣x ﹣y ）
B ．（﹣x+y ）（x+y ）
C ．（x+y ）（﹣x ﹣y ）
D ．（x ﹣y ）（﹣x ﹣y ）
【答案】A
【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐一展开即可
【详解】A. （﹣x+y ）（﹣x ﹣y ）=(- x )2- y 2= x 2﹣y 2,故A 选项符合题意;
B. （﹣x+y ）（x+y ）()()22
=y x y x y x -+=-,故B 选项不符合题意; C. （x+y ）（﹣x ﹣y ）()()22
=+2x y x y x xy y -+=---,故C 选项不符合题意; D. （x ﹣y ）（﹣x ﹣y ）=()()()2
222=y x y x y x y x -+--=--=-,故D 选项不符合题意;
故选A.
【点睛】
此题考查的是平方差公式以及完全平方公式,掌握平方差公式以及完全平方公式的特征是解决此题的关键. 7．甲、乙两班举行班际电脑汉字输入比赛，各选10名选手参赛，各班参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：
通过计算可知两组数据的方差分别为s 甲2＝2.0，s 乙2＝2.7，则下列说法：①甲组学生比乙组学生的成绩稳定；②两组学生成绩的中位数相同；③两组学生成绩的众数相同，其中正确的有（ ） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】B
【分析】根据中位数，众数的计算方法，分别求出，就可以分别判断各个命题的真假．
【详解】解：①甲组学生比乙组学生的成绩方差小，∴甲组学生比乙组学生的成绩稳定．
②甲班学生的成绩按从小到大排列：132、134、134、135、135、135、135、136、137、137，可见其中位数是135；乙班学生的成绩按从小到大排列：133、134、134、134、134、135、136、136、137、137，可见其中位数是134.5，所以两组学生成绩的中位数不相同；
③甲班学生成绩的众数是135，乙班学生成绩的众数是134，所以两组学生成绩的众数不相同． 故选B ．
【点睛】
此题考查方差问题，对于中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可．方差是反映数据波动大小的量．
8．如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE ⊥ BD ，垂足为 F ，若∠ABC ＝35°，∠ C ＝50°，则∠CDE 的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】C
【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=1
2
∠ABC=
35
2
︒
，∠AFB=∠EFB=90°，推出
AB=BE，根据等腰三角形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD=∠EBD=1
2
∠ABC=
35
2
︒
，∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°，
∴AB=BE，AE⊥BD
∴BD是AE的垂直平分线，
∴AD=ED，
∴∠DAF=∠DEF，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CDE=95°-50°=45°，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
9．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为3m和4m.．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）
A．2m B．3m C．4m D．6m
【答案】B
【解析】根据△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积即可求解．【详解】解：在直角△ABC中，BC=4m，AC=3m．
则2222
435
AB BC AC
=+=+=
∵中心O到三条支路的距离相等，设距离是r．
∵△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积
∴1111 2222
AC BC AB r BC r AC r ⋅=⋅+⋅+⋅
∴3×4=5r+4r+3r
∴r=1．
故O到三条支路的管道总长是1×3=3m．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了三角形的内心的性质，三角形内心到三角形的各边的距离相等，利用三角形的面积的关系求解是解题的关键．
10．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）
A．斜边和一直角边对应相等B．两个锐角对应相等
C．一锐角和斜边对应相等D．两条直角边对应相等
【答案】B
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，AAS，SSS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证即可．
【详解】A ．符合判定HL ，故此选项正确，不符合题意；
B ．全等三角形的判定必须有边的参与，故此选项错误，符合题意；
C ．符合判定AAS ，故此选项正确，不符合题意；
D ．符合判定SAS ，故此选项正确，不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定定理，熟记直角三角形的判定定理是解题的关键，注意判定全等一定有一组边对应相等的．
二、填空题
11．已知点A 的坐标为(,2)m ，点B 的坐标为(3,)n ，且点A 与点B 关于x 轴对称，则m n +=________．
【答案】1
【分析】根据点A 与点B 关于x 轴对称，求出m 和n 的值即可.
【详解】∵点A 与点B 关于x 轴对称，
∴A ，B 两点的横坐标不变，纵坐标变成相反数，
∴m=3n=2⎧⎨-⎩
， ∴1m n +=，
故答案为：1.
【点睛】
本题是对坐标系中点对称的考查，熟练掌握点关于对称轴的变化规律是解决本题的关键.
12．正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE=3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF=AE,则BM 的长为____． 【答案】52或125 【分析】分两种情况进行分析，①当BF 如图位置时，②当BF 为BG 位置时；根据相似三角形的性质即可求得BM 的长．
【详解】如图，当BF 如图位置时，
∵AB=AB ，∠BAF=∠ABE=90°，AE=BF ，
∴△ABE ≌△BAF （HL ），
∴∠ABM=∠BAM ，
∴AM=BM ，AF=BE=3，
∵AB=4，BE=3，
∴AE= 2222
435
AB BE
+=+=，
过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS=2，SM是△ABE的中位线，
∴BM=1
2
AE=
1
2
×5=
5
2
，
当BF为BG位置时，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，∴BG=AE=5，∠AEB=∠BGC，
∴△BHE∽△BCG，
∴BH：BC=BE：BG，
∴BH=12
5
．
故答案是：5
2
或
12
5
．
【点睛】
利用了全等三角形的判定和性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解．
13．用4块完全相同的长方形拼成正方形(如图)，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可得到1个关于a b
、的等式为________.
【答案】（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
【分析】根据长方形面积公式列①式，根据面积差列②式，得出结论．
【详解】S阴影＝4S长方形＝4ab①，
S阴影＝S大正方形﹣S空白小正方形＝（a+b）2﹣（b﹣a）2②，
由①②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
故答案为（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
【点睛】
本题考查了完全平方公式几何意义的理解，此题有机地把代数与几何图形联系在一起，利用几何图形的面积公式直接得出或由其图形的和或差得出．
14．关于x 的多项式(4)(23)mx x +-展开后不含x 的一次项，则m =______．
【答案】1
【分析】先将多项式展开，再合并同类项，然后根据题意即可解答．
【详解】解：∵（mx+4）（2-3x ）
=2mx-3mx 2+8-12x
=-3mx 2+（2m-12）x+8
∵展开后不含x 项，
∴2m-12=0，
即m=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式的法则的应用，主要考查学生的化简能力．
15．已知221
1
221899m n n m +=--，则11
m n -的值等于___________． 【答案】2
9-
【分析】先进行配方计算出m ，n 的值，即可求出11
m n -的值. 【详解】221
1
221899m n n m +=--
221
1
2218099m n n m +++=-
221
1
2929099m m n n -++++=
22
11
33033m n ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+
11
30,3033m n +=-=
9,9m n =-=， 则1
1
2
9m n -=-， 故答案为：2
9-.
【点睛】
本题是对完全平方非负性的考查，熟练掌握配方知识和完全平方非负性是解决本题的关键.
16．已知：如图，ABC 和ADE 为两个共直角顶点的等腰直角三角形，连接CD 、BE ．图中一定与线段CD 相等的线段是__________．
【答案】BE
【解析】∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，
∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC －∠BAD=∠DAE －∠BAD ，
∴∠DAC=∠BAE ，
∵在△CAD 和△BAE 中，
AB AC DAC BAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△CAD ≌△BAE ，
∴CD=BE.
故答案为BE.
点睛：本题关键在于掌握三角形全等的判定方法.
17．观察一组数据，34，59，716，925
，．．．．．．，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第n 个数是_________．
【答案】()2211n n ++
【分析】根据题意可知，分子是从3开始的连续奇数，分母是从2开始的连续自然数的平方，进一步即可求得第n 个数为2
21(1)n n ++． 【详解】∵这组数据中的每个数都是分数，分子是从3开始的连续奇数，分母是从2开始的连续自然数的平方．
∴这组数据的第n 个数是()2211n n ++（n 为正整数）
故答案是：()2211n n ++（n 为正整数）
【点睛】 对于找规律的题目，通常按照顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般的规律，找出的规律通常包含着序列号，因此，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易的发现其中的奥秘．
三、解答题
18．如图，某校准备在校内一块四边形ABCD 草坪内栽上一颗银杏树，要求银杏树的位置点P 到边AB ，BC 的距离相等，并且点P 到点A ，D 的距离也相等，请用尺规作图作出银杏树的位置点P(不写作法，保留作图痕迹)．
【答案】见解析
【解析】分析：首先作出∠ABC 的角平分线进而作出线段AD 的垂直平分线，即可得出其交点P 的位置．
详解：如图所示：P 点即为所求．
点睛：本题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
19．直线364
y x =-+与x 轴相交于点B ，与y 轴相交于点A .
（1）求直线AB 与坐标轴围成的面积；
（2）在x 轴上一动点P ，使ABP ∆是等腰三角形；请直接写出所有P 点的坐标，并求出如图所示AP PB =时点P 的坐标；
（3）直线3y x 与直线AB 相交于点C ，与x 轴相交于点D ；点Q 是直线CD 上一点，若BQD ∆的面积是BCD ∆的面积的两倍，求点Q 的坐标.
【答案】（1）24；（2）所有P 点的坐标()()()7
8,02,018,04--，，,(,0)，点P 的坐标7,04⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）4566,77Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭或8766,7
7⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）先求出OA,OB 的长度，然后利用面积公式即可求解；
（2）ABP ∆是等腰三角形,分三种情况讨论：若AB AP =时；若AB BP =时；若AP BP =时，图中给出的情况是AP BP =时，设OP x =，利用勾股定理即可求出x 的值，从而可确定P 的坐标；
（3）先求出点C 的坐标，然后根据面积之间的关系求出D 的纵坐标，然后将纵坐标代入直线CD 中即可求出横坐标．
【详解】（1）当0y =时，8x =，
(8,0)B ∴ ,8OB = ；
当0x =时，6y =,
(0,6)A ∴,6OA = ；
∴AOB ∆的面积11682422
OA OB ==⨯⨯=； （2）ABP ∆是等腰三角形,分三种情况讨论：
若AB AP =时，有OP OB =，此时()8,0P -；
若AB BP =时，
10AB OA ===
10BP ∴=
此时()2,0P -或()18,0P ；
若AP BP =时,
设OP x =，则8AP PB x ==-，
由222AO OP AP +=，得：()22268x x +=-
∴74x =
此时7,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）由364y x =-+以及3y x 得1233,77x y ==，所以1233,77C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∵BQD ∆的面积是BCD ∆的面积的两倍，
∴Q 点的纵坐标为
667或667
-， 把667y =代入3y x 得457
x =， 把667y =-代入3y x 得877x =- 因此4566,77Q ⎛⎫ ⎪⎝
⎭或8766,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查一次函数与几何综合，数形结合及分情况讨论是解题的关键．
20．已知32,32m n =-=+，求代数式22m mn n ++的值.
【答案】11
【解析】先求出m+n 和mn 的值，再根据完全平方公式变形，代入求值即可.
【详解】∵32,32m n =-=+，
∴m+n=23，mn=1
∴22m mn n ++＝222()(23)111m n mn +-=-=.
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算法则，完全平方公式的应用，主要考查了学生的计算能力，题目较好. 21．图①是一个长为2m ，宽为2n 的长方形纸片，将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形，然后拼成图②所示的一个大正方形．
（1）用两种不同的方法表示图②中小正方形(阴影部分)的面积：
方法一：S =小正方形 ；
方法二：S =小正方形 .
(2)(m+n)2,(m−n) 2，mn 这三个代数式之间的等量关系为___
(3)应用(2)中发现的关系式解决问题：若x+y=9，xy=14，求x−y 的值.
【答案】（1）(m+n)2−4mn,(m−n)2;（2）(m+n)2−4mn=(m−n)2；（3）±5.
【分析】（1）观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为（m+n ）2，四个小长方形的面积为4mn ，中间阴影部分的面积为S=（m+n ）2-4mn ；
方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为m-n ，所以其面积为（m-n ）2．
（2）观察图形可确定，大正方形的面积减去四个小长方形的面积等于中间阴影部分的面积，即（m+n ）2-4mn=（m-n ）2．
（3）根据（2）的关系式代入计算即可求解．
【详解】(1)方法一：S 小正方形=(m+n)
2−4mn. 方法二：S 小正方形=(m−n) 2.
(2)(m+n)2,(m−n)2,mn 这三个代数式之间的等量关系为(m+n)2−4mn=(m−n)2.
(3)∵x+y=9，xy=14，
∴x−y=()24x y xy ±+-=±5.
故答案为(m+n)2−4mn,(m−n)
2;(m+n)2−4mn=(m−n)2，±5.
【点睛】 此题考查完全平方公式的几何背景，解题关键在于掌握计算公式.
22．如图，在ABC ∆中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，点F 是BC 的中点．
（1）如图1，BE 的延长线与AC 边相交于点D ，求证：1()2
EF AC AB =
-； （2）如图2，ABC ∆中9AB =，5AC =，求线段EF 的长．
【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）先证明AB=AD ，根据等腰三角形的三线合一，推出BE=ED ，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）先证明AB=AP ，根据等腰三角形的三线合一，推出BE=ED ，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵AB BD ⊥，
90AED AEB ∠=∠=︒∴，
90BAE ABE ∴∠+∠=︒，90DAE ADE ∠+∠=︒，
BAE DAE ∠=∠∵，
ABE ADE ∠=∠∴，
AB AD ∴=，
∵AE BD ⊥，
BE DE ∴=，
BF FC =∴， 111()()222EF DC AC AD AC AB ==-=-∴．
（2）如图2中，延长AC 交BE 的延长线于P ．
∵AE BP ⊥，
90AEP AEB ∠=∠=︒∴，
90BAE ABE ∴∠+∠=︒，90PAE APE ∠+∠=︒；
BAE PAE ∠=∠∵，
ABE APE ∠=∠∴，
AB AP =∴，
∵AE BD ⊥，
BE PE =∴，
∵BF FC =，
1
1
1
1
()()(95)22222EF PC AP AC AB AC ==-=-=-=∴．
【点睛】
本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．综合与实践：
问题情境：
如图 1，AB ∥CD ，∠PAB=25°，∠PCD=37°，求∠APC 的度数，小明的思路是：过点P 作PE ∥AB ，通过平行线性质来求∠APC
问题解决：
（1）按小明的思路，易求得∠APC 的度数为 °；
问题迁移：
如图 2，AB ∥CD ，点 P 在射线 OM 上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β．
（2）当点 P 在 B ，D 两点之间运动时，问∠APC 与α，β 之间有何数量关系？ 请说明理由； 拓展延伸：
（3）在（2）的条件下，如果点 P 在 B ，D 两点外侧运动时 （点 P 与点 O ，B ，D 三点不重合）请你直接写出当点 P 在线段 OB 上时，∠APC 与 α，β 之间的数量关系 ，点 P 在射线 DM 上时，∠APC 与 α，β 之间的数量关系 ．
【答案】（1）62；（2）APC αβ∠=+，理由详见解析；（3）APC βα∠=-；APC αβ∠=-．
【分析】（1）根据平行线的性质，得到∠APE=∠PAB=25°，∠CPE=∠PCD=37°，即可得到∠APC ；
（2）过P 作PE ∥AD 交AC 于E ，推出AB ∥PE ∥DC ，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β，即可得出答案；
（3）分两种情况：P 在BD 延长线上；P 在DB 延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE ，
∠β=∠CPE ，即可得出答案；
【详解】解：()1如图1，过P 作PE ∥AB ，
∵AB ∥CD ，
∴PE ∥AB ∥CD ，
∴∠APE=∠PAB=25°，∠CPE=∠PCD=37°， ∴∠APC=25°+37°=62°；
故答案为：62；
()2APC ∠与,αβ之间的数量关系是：APC αβ∠=+； 理由：如图，过点P 作//PE AB 交AC 于点E ，
∵//AB CD ，
////,AB PE CD ∴
,,APE CPE αβ∴=∠=∠
APC APE CPE a β∠=∠+∠=+∴； ()3如图3，所示，当P 在射线DM 上时， 过P 作PE ∥AB ，交AC 于E ，
∵AB ∥CD ，
∴AB ∥PE ∥CD ，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD ，
∴∠APC=∠1-∠PCD ，
∴∠APC=α-β，
∴当P 在射线DM 上时，APC αβ∠=-；
如图4所示，当P 在线段OB 上时，
同理可得：∠APC=β-α，
∴当P 在线段OB 上时，APC βα∠=-．
故答案为：APC βα∠=-；APC αβ∠=-.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定的应用、三角形内角和定理的证明、外角的性质，主要考查学生的推理能力，第3问在解题时注意分类讨论思想的运用．
24．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AB ∥ED ,交BC 于E ，交 AC 于F ，
DE = BC,030CDE ACB ∠=∠=.
（1） 求证：△FCD 是等腰三角形
（2） 若AB=3.5cm,求CD 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）CD=1cm.
【解析】（1）首先根据平行线的性质得出∠DEC ＝∠B ＝90°，然后在△DCE 中根据三角形内角和定理得出∠DCE 的度数，从而得出∠DCF 的度数．在△CDF 中根据等角对等边证明出△FCD 是等腰三角形； （2）先证明△ACB ≌△CDE ，得出AC ＝CD ，再根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）
∵DE ∥AB ，∠B ＝90°，∴∠DEC ＝90°，∴∠DCE ＝90°﹣∠CDE ＝60°，∴∠DCF ＝∠DCE ﹣∠ACB
＝30°，∴∠CDE＝∠DCF，∴DF＝CF，∴△FCD是等腰三角形；
（2）在△ACB和△CDE中，∵
90
B DEC
BC DE
ACB CDE
∠∠
∠∠
==︒
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，∴△ACB≌△CDE，∴AC＝CD．
在Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3.5，∴AC＝2AB＝1，∴CD＝1．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质和含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25．（1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，过D点画直线EF与AC相交于E，与AB的延长线相交于F，使BF＝CE．
①已知△CDE的面积为1，AE＝kCE，用含k的代数式表示△ABD的面积为
；
②求证：△AEF是等腰三角形；
（2）如图2，在△ABC中，若∠1＝2∠2，G是△ABC外一点，使∠3＝∠1，AH∥BG交CG于H，且∠4＝∠BCG﹣∠2，设∠G＝x，∠BAC＝y，试探究x与y之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）、（2）的条件下，△AFD是锐角三角形，当∠G＝100°，AD＝a时，在AD上找一点P，AF上找一点Q，FD上找一点M，使△PQM的周长最小，试用含a、k的代数式表示△PQM周长的最小值．（只需直接写出结果）
【答案】（1）①k+1；②见解析；（2）y＝3
4
x+45°，理由见解析；（3）
2(1)
(1)
k k
k a
+
-
【分析】（1）①先根据AE与CE之比求出△ADE的面积，进而求出ADC的面积，而D中BC中点，所以△ABD面积与△ADC面积相等；②延长BF至R，使FR＝BF，连接RC，注意到D是BC中点，过B过B点作BG∥AC交EF于G．得BGD CED
≅，再利用等腰三角形性质和判定即可解答；
（2）设∠2＝α．则∠3＝∠1＝2∠2＝2α，根据平行线性质及三角形外角性质可得∠4=α，再结合三角形内角和等于180°联立方程即可解答；
（3）分别作P点关于FA、FD的对称点P'、P''，则PQ+QM+PM＝P'Q+QM+MP“≥P'P''＝FP，当FP垂直AD 时取得最小值，即最小值就是AD边上的高，而AD已知，故只需求出△ADF的面积即可，根据AE＝kEC，AE＝AF，CE＝BF，可以将△ADF的面积用k表示出来，从而问题得解．
【详解】解：（1）
①∵AE ＝kCE ，
∴S △DAE ＝kS △DEC ，
∵S △DEC ＝1，
∴S △DAE ＝k ，
∴S △ADC ＝S △DAE +S △DEC ＝k+1，
∵D 为BC 中点，
∴S △ABD ＝S △ADC ＝k+1．
②如图1，过B 点作BG ∥AC 交EF 于G ．
∴BGD CED ∠=∠，BGF AED ∠=∠
在△BGD 和△CED 中，
BGD CED
BD CD BDG CDE
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，
∴BGD CED ≅（ASA ），
∴BG ＝CE ，
又∵BF ＝CE ，
∴BF ＝BG ，
∴BGF F ∠=∠，
∴F AED ∠=∠
∴AF ＝AE ，即△AEF 是等腰三角形．
（2）如图2，设AH 与BC 交于点N ，∠2＝α．
则∠3＝∠1＝2∠2＝2α，
∵AH ∥BG ，
∴∠CNH ＝∠ANB ＝∠3＝2α，
∵∠CNH ＝∠2+∠4，
∴2α＝α+∠4，
∴∠4＝α，
∵∠4＝∠BCG ﹣∠2，
∴∠BCG ＝∠2+∠4＝2α，
在△BGC 中，3180BCG G ∠+∠+∠=︒，即：4180x α+=︒，
在△ABC 中，12180BAC ∠+∠+∠=︒，即：3180y α+=︒，
联立消去α得：y ＝3
4x+45°．
（3）如图3，作P 点关于FA 、FD 的对称点P'、P''，
连接P'Q 、P'F 、PF 、P''M 、P''F 、P'P''，
则FP'＝FP ＝FP''，PQ ＝P'Q ，PM ＝P''M ，∠P'FQ ＝∠PFQ ，∠P''FM ＝∠PFM ，
∴∠P'FP''＝2∠AFD ，
∵∠G ＝100°，
∴∠BAC ＝34
∠G+45°＝120°， ∵AE ＝AF ，
∴∠AFD ＝30°，
∴∠P'FP''＝2∠AFD ＝60°，
∴△FP'P''是等边三角形，
∴P'P''＝FP'＝FP ，
∴PQ+QM+PM ＝P'Q+QM+MP''≥P'P''＝FP ，
当且仅当P'、Q 、M 、P''四点共线，且FP ⊥AD 时，△PQM 的周长取得最小值．
AE kCE =，AF AE =，BF CE =，
1AB k AF k
-∴=， ()
111ADF ABD k k k S S k k +∴==--，
∴当FP AD ⊥时，()()2121ADF k k S FP AD k a
+==-， PQM ∴的周长最小值为
()()211k k k a +-．
【点睛】 本题是三角形综合题，涉及了三角形面积之比与底之比的关系、全等三角形等腰三角形性质和判定、轴对称变换与最短路径问题、等边三角形的判定与性质等众多知识点，难度较大．值得强调的是，本题的第三问实际上是三角形周长最短问题通过轴对称变换转化为两点之间线段最短和点到直线的距离垂线段最短．
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF
【答案】B
【解析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.
【详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；
C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，
∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，
∴AF//CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，
∴AE//CF，
∴AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，
故选B.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.
2．如果关于x 的分式方程4122ax x x =+--有解，则a 的值为（ ） A ．1a ≠
B ．2a ≠
C ．1a ≠-且2a ≠-
D ．1a ≠且2a ≠
【答案】D
【分析】先去分母，然后讨论无解情况，求出即可.
【详解】去分母得：42ax x =+- 21
x a =-，则1a ≠， 当x=2时，为增根方程无解，则2a ≠，
则1a ≠且2a ≠，
故选D.
【点睛】
本题是对分式方程的考查，熟练掌握分式方程知识的考查是解决本题的关键.
3．等式(x+4)0=1成立的条件是( )
A ．x 为有理数
B ．x ≠0
C ．x ≠4
D ．x ≠－4
【答案】D
【解析】试题分析：0指数次幂的性质：
. 由题意得，x≠－4，故选D. 考点：0指数次幂的性质
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握0指数次幂的性质，即可完成.
4．下列计算中正确的是（ ）
A ．（ab 3）2＝ab 6
B ．a 4÷a ＝a 4
C ．a 2•a 4＝a 8
D ．（﹣a 2）3＝﹣a 6
【答案】D
【分析】分别根据积的乘方运算法则、同底数幂的除法和同底数幂的乘法运算法则依次计算即可得出答案．
【详解】解：A 、（ab 3）2＝a 2b 6≠ab 6，所以本选项错误；
B 、a 4÷a ＝a 3≠a 4，所以本选项错误；
C 、a 2•a 4＝a 6≠a 8，所以本选项错误；
D 、（﹣a 2）3＝﹣a 6，所以本选项正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了幂的运算性质，属于基础题型，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
5．若把分式
3425x y x y +-中的,x y 都扩大4倍，则该分式的值（ ） A ．不变
B ．扩大4倍
C ．缩小4倍
D ．扩大16倍
【答案】A 【分析】当分式3425x y x y +-中x 和y 同时扩大4倍，得到1216820x y x y
+-，根据分式的基本性质得到12164343482042525x y x y x y x y x y x y
+++=⨯=---，则得到分式的值不变． 【详解】分式3425x y x y
+-中x 和y 同时扩大4倍， 则原分式变形为12164343482042525x y x y x y x y x y x y
+++=⨯=---， 故分式的值不变．故选A ．
【点睛】
本题主要考查分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于的整式,分式的值不变.解题的关键是抓住分子,分母变化的倍数,解此类题首先把字母变化后的值代入式子中,然后约分,再与原式比较,最终得出结论.
6．函数14y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≤
B ．4x ≠
C ．3x ≥且4x ≠
D ．3x ≤或4x ≠ 【答案】A
【详解】要使函数14y x =-有意义， 则30
{-40x x -≥≠
所以3x ≤，
故选A ．
考点：函数自变量的取值范围．
7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是（ ）
A ．365
B ．1225
C ．94
D ．334
【答案】A
【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB 的长，再根据三角形等面积法求出则点C 到AB 的距离即可．
【详解】设点C 到AB 距离为h ．
在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，
∴222AC BC AB +=
∵9AC =，12BC = ∴2215AB AC BC =
+= ∵1122
∆==ABC S AC BC AB h ∴12936==155
⨯h ． 故选：A ．
【点睛】
本题考查勾股定理应用，抓住三角形面积为定值这个等量关系是解题关键．
8．已知直角三角形的两边长分别为2,3,则第三边长可以为（ ） A 7
B ．3
C 11
D 13【答案】D
【分析】分3是直角边和斜边两种情况讨论求解．
【详解】解：若3是直角边， 则第三边2223+13
若3是斜边， 则第三边2232-5
故选D.
【点睛】
本题考查了勾股定理，是基础题，难点在于要分情况讨论．
9．下列图形中，已知12∠=∠，则可得到//AB CD 的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】先确定两角之间的位置关系，再根据平行线的判定来确定是否平行，以及哪两条直线平行． 【详解】解：A .1∠和2∠的是对顶角，
不能判断//AB CD ，此选项不正确；
B .1∠和2∠的对顶角是同位角，且相等，
所以//AB CD ，此选项正确；
C .1∠和2∠的是内错角，且相等，
故//AC BD ，不是//AB CD ，此选项错误；
D .1∠和2∠互为同旁内角，同旁内角相等，
两直线不一定平行，此选项错误．
故选B .
【点睛】
本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键.
10．点P(－2,3)到x 轴的距离是( )
A ．2
B ．3
C ．
D ．5
【答案】B
【解析】直接利用点的坐标性质得出答案．
【详解】点P （-2，1）到x 轴的距离是：1．
故选B ．
【点睛】
此题主要考查了点的坐标，正确把握点的坐标性质是解题关键．
二、填空题
11．已知1
1x x -=，则式子221
x x +=__________________．
【答案】1
【分析】将已知的式子两边平方，进一步即可得出答案． 【详解】解：∵1
1x x -=，∴2
11x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22121x x -+=，∴221
x x +=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了完全平方公式和代数式求值，属于常考题型，熟练掌握完全平方公式和整体的思想是解题的关键．
12．定义[]x 表示不大于x 的最大整数、{}[]x x x =-，例如[]
22=，[]2.83-=-，[]2.82=，{}20=，{}2.80.8=，{}2.80.2-=，则满足{}[]2x x =的非零实数x 值为_______．
【答案】1.5
【分析】设x=n+a ，其中n 为整数，0≤a ＜1，则[x]=n ，{x}=x-[x]=a ，由此可得出2a=n ，进而得出a=12n ，结合a 的取值范围即可得出n 的取值范围，结合n 为整数即可得出n 的值，将n 的值代入a=
12
n 中可求出a 的值，再根据x=n+a 即可得出结论．
【详解】设x n a =+，其中n 为整数，01a ≤<，则[]x n =，{}[]x x x a =-=，
原方程化为：2a n =， 12
a n ∴=． 01a ≤<，即1012
n ≤
<， 02n ∴≤<， n 为整数，
0n ∴=、1．
当0n =时，1002
a =⨯=，此时0x =， x 为非零实数，
0x ∴=舍去；
当1n =时，110.52
a =⨯=此时 1.5x =． 故答案为：1.1．
【点睛】
本题考查了新定义运算，以及解一元一次不等式，读懂题意熟练掌握新定义是解题的关键．
13．如图，已知直线y=3x+b 与y=ax ﹣2的交点的横坐标为﹣2，则关于x 的方程3x+b=ax ﹣2的解为x=_____．。