高中数学选修2-3课件1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件

2.在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数 相同的项是 A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2.在(a＋b)n展开式中，与第k项二项式系数 相同的项是
A. 第n-k项
B. 第n-k-1项
C. 第n-k+1项 C. 第n-k+2项
观察杨辉三角
(a b)1
1.增减性？
(a b)2
C
1 n
x1
C
2 n
x
2
Cnk x k
C
n n
x
n
问题1：此展开式二项式系数之和
_______________________________.
问题2：此展开式系数之和 赋值法求 _____________________________系__数. 和
（a+x)n的二项式展开各项的系数和求 法：只要令自变量为1即可。
C0n
C1n
C
2 n
Cnn
2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C
0 n
1，上式还可以写成：
C1n
C2n
C3n
C
n n
2n
1
这是组合总数公式．
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm
C nm n
（2）
左增右减
(a b)3 (a b)4
2.在何处取得最大值？(a b)5
11 12 1 13 3 1 14 6 4 1 1 5 10 10 5 1
性质2：
当n是偶数时，展开式有n+1项（ n+1是奇数），中间项
二项式系数最大.
n
C n2
当n是奇数时，展开式有n+1项（ n+1是偶数），中间两
项二项式系数最大.
例3、求证：32n2 8n 9(n N*)能被64整除。
例4、今天是星期五，那么 一天是星期几？
810那0 么天3后100的0 天这后
8100 （7 1）100
是星期几？
C100 071 0 0
C11 0 079 9
C 7 r 100r 100
C1909071
C1 0 0 100
（7 C1000799 C19090） 1
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由于： C kn
n(n
1)(n 2)(n k (k 1)!
k
1)
Ck 1 n
n
k k
1
nk 1
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
决定．
k
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由：n k 1 1 k n 1
k
2
可知，当k n 1 时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可
1.3.2“杨辉三角” 与二项式系数的性
质
一、新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2
C
r n
a
nr
br
Cnnbn
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数 有什么特点？
即在（a + b）n的展开式中， "奇数项的二项式系数的和" = "偶数项的二项式系数的和".
Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 ？ 2n1
考点二：求二项式展开式二项式系数或系数和
例2、设（1- 2x）2010 a0 a1x a2 x2 • • • a2010 x2010.
n 1
n1
C
2 n
Cn2
练习
1)已知（a + b）n的展开式中只有第5项 的二项式系数最大，则n = ______ .
2） (a 的b)9展开式中，二项式系数的最大值 是 ；是第_______项.
3）若 (a b的)n展开式中的第十项和第十一项的
二项式系数最大，则n= ；
考点一、系数或二项式系数的最值问题
Cnm
C m1 n
Cm n1
（3）当 当
r r
n 1 n21
2
时 1 Cnr
（4） Cn0 Cn1 Cnn 2n
课堂练习：
1）已知 C155
a, C195
b
，那么
C10 16
=
；
2） (a b)9的展开式中，二项式系数的最大值 是；
3）若 (a b)n 的展开式中的第十项和第十一
Cr n1
Cnr
Cnr1
数等于它肩上 的两数的和
1.观察二项式系数表 （杨辉三角），你发现
杨辉三角中的每一行都 具有那些特征？
(a b)n Cn0,Cn1,Cn2,,Cnn
性质1：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个 二项式系数相等.
C
m n
Cnm n
练习
1.若C6x C62 ,则x ______ .
3、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是 _4_._已_知__(_1_+_x2_)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.
5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.
小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
考点二：求二项式展开式二项式系数或系数和.
1、（1+2x)3的展开式的各项二项式系数之和分别
为多少？
C
0 n
Cn1
C
2 n
C
n n
2n
2、（1+2x)3的展开式各项系数之和为多少？
令x=1,得所求展开式各项系数之和为33=27
赋值法求系数和
练习：
1、1 1 x 1 x2 .... 1 xn 展开式中 x的系数和为（ ）
A.2n 1 B.2n 1
C.2n1 1
D.2n
2、若3x 1n的展开式中，各项系数 和为256，则展开式
中含x2项的系数为 _________。
(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数和 与偶数项的二项式系数的和的关系。 (1 x)n Cn0 Cn1x Cn2x2 Cn3x3 Cnnxn
（1）求二项式系数之和；
(x R)
（2）a0 a1 a2 • • • a2010
（3）a1 a3 a5 • • • a2009
（4） a1 a3 a5 ••• a2009
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm
C nm n
二项式定理
(a b)n Cn0an C1nan1b Crna b nr r Cnnbn
(n N )
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式
，
其中 Crn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ，
Cnr anrbr 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n逐次降到0， 第二项b的次数由0逐次升到n.
一、杨辉三角的规律
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
(a+b)1
C10 C11
11
(a+b)2
C
0 2
C12
C
2 2
121
数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最
大的项。
变式引申：
1、(x y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
2、若
(x3
1 x2
)n
展开式中的第6项的系数最大，则不
含x的项等于( )
A.210 B.120 C.461 D.416
例4、若 ( x+ 1 )n 展开式中前三项系数成等差 24 x
练习：( 2 3 3)100的展开式中，无理项的个数
是（ B ）
A .83 B.84 C.85
D.86
例2、在 (
x
2 x2
)8的展开式中，
1）系数的绝对值最大的项是第几项？
2）求二项式系数最大的项；
3）求系数最大的项；
4）求系数最小的项。
练习：
(1)求（x+2y）7展开式中系数最大的项；
(2)求（x-2y）7展开式中系数最大的项。
C50C51C52C53C54C55
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1 C60C61C62C63C64C65C66
……
……
……
(a b)n
r n1Cnn
二项式系数的性质
(a b)n展开式的二项式
系数依次是：C0n
,
C1n
,
C
2 n
,
,
C
n n
（对称性）
（2）
Cnm
C m1 n
Cm n1
n
（3）当n为偶数时，C
2 n
最大
n1 n1
当n为奇数时，Cn2
=C
2 n
且最大
（4） Cn0 Cn1 Cnn 2n
例1、若( x+ 1 )n 展开式中前三项系数成等差 24 x
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项； （2）展开式中所有x 的有理项； （3）展开式中系数最大的项。
例1、(1+ 2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等， 求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
练习、在 ( x 的2展)8开式中， x2
1）求二项式系数最大的项； 2）系数的绝对值最大的项是第几项？ 3）求系数最大的项； 4）求系数最小的项。
二：求某二项式系数或系数之和
(1
x)n
C
0 n
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规 (律a b)n展开式中的二项式系数，如下表所示：
(a b)1
11
C10C11
(a b)2 (a b)3
121 13 31
C20C21C22
C30C31C32C33
(a b)4
14 6 41
C40C41C42C43C44
(a b)5
1 5 10 10 5 1
余数是1， 所以是星期六
变式引申：填空
1） 230 3 除以7的余数是
2）5555 15 除以8的余数是
； 。
例5、求 1.9975 精确到0.001的近似值。
课堂练习：
1.
C
1 n
2C
2 n
4C
3 n
2
n
1
C
n n
等于
（）
A. 3n B. 3n 1 C. 3n 1 D. 3n 1
2
2
2．在
项的二项式系数最大，则n=
；
例1 证明在 (a b)n 的展开式中，奇 数项的二项式系数的和等于偶数项的二 项式系数的和．
例2 已知 (3 x 2 )n 的展开式中，第
x
4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系 数的7倍，求展开式中x的一次项．
例3： (1 2x)n的展开式中第6项与第7项的系
(a+b)3 (a+b)4 (a+b)5
C
0 3
C13
C32
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C52
C
3 5
C
4 5
C55
1 33 1 1 46 41 1 5 10 10 5 1
(a+b)6
C06
C16
C62
C
3 6
C64 C56 C66
1
6 15 20 15 6 1
(a+b)n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cnn 表中的每一个
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项； （2）展开式中所有x 的有理项； （3）展开式中系数最大的项。
课堂练习
1、已知
a x
x 2
的9 展开式中x3的系数
为 9 ，则常数a的值是_______
4
2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（
）
A.-297 B.-252 C. 297 D. 207
表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有
_n_+__1_个项.
T C ranrbr
r 1
n
二项式定理
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
(n N )
1.项数规律： 展开式共有n+1个项
2.系数规律：
Cn0、Cn1、Cn2、 、Cnn
知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取
得最大值。
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
n
系数
C
2 n
取得最大值；
n1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数
n1
Cn2
、
Cn2 相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令a b 1，则：
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
2．二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
Cmn
Cnm n
得到．
图象的对称轴：r n 2
x2
3x
2
5
的展开式中x的系数为（
）
A．160
B．240
C．360
D．800
3.求(1 x) (1 x)2 (1 x)16
的展开式中 x3 项的系数.
4．已知(1 x) (1 x)2 (1 x)n
a0 a1x a2 x2 an xn , a1 a2 an1
29 n(n N, n 1), 那么(1 y)6的展开式中含 y n项的系数是 .