现代信号处理方法1_2

但应当指出，并不是所有的时－频分布都 满足表中的所有性质，实际中适用的时－频 分布并非一定要满足所有的性质，应该根据 具体情况进行合理取舍。
1.3.4 核函数的基本性质要求
由（1.3.5）式
( , v)




P(t , f )e j 2 ( vt f ) dtdf Az ( , v) P (t , f )e j 2 ( vt f ) dtdf
则（1.3.1)式化为
1 * 1 j 2f P(t , f ) z (t ) z (t )e d 2 2

（1.3.2）
上式就是著名的Wigner-Ville分布 .
记
上式是一个双线性变换（双时间信号）。关于 时间t作Fourier反变换
k z (t , ) z (t ) z (t ) 2 2
j 2 ( vt f )
如果时－频分布 p (t , 核函数的性质要求.
P (t , f )e z (u 2 ) z (u 2 )e
*

dtdf
（1.3.5）
j 2vu
du
f )有特定性质要求, 由上式可决定对
互时－频分布定义
两个连续信号 x(t )，y(t )的互时－频分布定义为：
P(t , ) 0
在上面的特性中，边缘特性和非负特性保 证了时－频分布准确反映信号的谱能量、瞬 时功率和总能量。边缘特性可以保证信号的 总体量（平均时间、平均频率、时宽和带宽 等）正确给定。非负性则可以进一步保证分 布的条件期望是切合实际的和物理解释。非 负性和边缘特性一起可以保证时－频分布的 强有限支撑。
2 2 * 1 2 z1 , z2 * 2 1 z2 , z1
（1.3.8）
上式右端前两项为信号项,后两项为交叉项. 可以由(自)时－频分布与互时－频分布的 定义推导出上式,请学生自己完成上式的推导.
1.3.3
时－频分布的基本性质要求
对于任何一种实际和有用的非平稳信号分析， 通常要求时－频分布具有表示信号能量分布的 特性。因此希望时－频分布能够满足下面的性 质： 1.时－频分布必须是实的（且希望是非负的）。 2.时－频分布关于时间t和频率f的积分应给出 信 号的总能量E，即
1 * 1 Pxy (t , f ) x(u ) y (u ) ( , v)e j 2 ( vt f vu) dudvd 2 2






Axy ( , v) ( , v)e j 2 (tvf ) ddv

（1.3.6）
式中
* j 2vu Axy ( , v) x(u ) y (u )e du 2 2
（1.3.7）
是x(t ) 和 y(t ) 的互模函数。
两个信号之和 z(t ) c1 z1 (t ) c2 z 2 (t ) 的时－频分布 为：
Pz (t, f ) | c1 | Pz1 (t, f ) | c2 | Pz2 (t, f ) c c P (t, f ) c c P (t, f )
*


对称的双线性变换 z (t ) z (t ) 更能表现出
*


2
2
非平稳信号的某些重要特性。
非平稳信号的局部相关函数定义如下：
R(t , ) (u t , ) z (u ) z (u )du （1.3.9） 2 2
*



式中 (t , )是起平滑作用的窗函数，它与核函数 存在如下Fourier变换关系：



( , v)e j d 0，当｜v｜ 2 | |时



( , v)e jvt dv 0，当｜｜ 2 | t |时
1.3.5 局部相关函数与特征函数
信号 z (t ) 的瞬时功率实质是一种二次型（双线性）
变换 z (t ) z (t ) 在平稳信号中就用二次型来定义相关函数和功率 谱，即
第一章 信号的时频分析
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 引言 Hilbert变换与解析信号 时频分布及其性质 二次型时频分布的交叉项 Wigner-Ville分布及其应用
1.3时频分布及其性质
1.3.1单分量信号与多分量信号
单分量信号就是在任一时间只有一个频率或一 个频率窄带的信号。
图1.2.2
dt1dt2

s(t1 , t2 )


j 2 ( f1t1 f 2t 2 ) S ( f , f ) e df1df2 1 2
Cohen类时－频分布定义
P(t , f )




1 * 1 j 2 ( vt f vu ) z ( u ) z ( u ) ( , v ) e dudvd 2 2
（1.3.4）
对上式作2维Fourier反变换有
Az ( , v) ( , v)
则有





p(t , f )e
j 2 ( vt f )
dtdf
( , v)




P(t , f )e
j 2 ( vt f )
dtdf
Az ( , v)

（1.3.10）
它的Fourier变换就是著名的Wigner-Ville分布
Wz (t , f ) z (t ) z (t )e j 2 f d 2 2
*



（1.3.11）
若信号 z (t )的时频分布为 p (t , f ) ，随机信号的 特征函数定义为 p (t , f ) 的二维Fourier逆变换
*


Az ( , v) z (t )z (t )e j 2tv dt 2 2 Az ( , v)称为模糊函数 。 则（1.3.1)式可写成
*



（1.3.3）
P(t , f )





Az ( , v) ( , v)e j 2 (vt f ) dvd
* j 2vu
z (u 2 ) z (u 2 )e


du
由时－频分布要求的性质,可得到核函数要求的 性质.
1、边缘特性：为使信号时－频分布满足时间、 频率边缘特性，核函数必须满足
时间边缘: 频率边缘:
(t ,0) 1 (0, v) 1

式中 ( , v)称为核函数。
（1.3.1）
时－频分布的作用：
将时间变元t的解析信号 z (t ) 变换成时间变元t p (t , f ) 。 和频率变元f的函数
特别，当核函数 ( , v) 1 时，注意到




e
j 2v ( t u )
dv (t u)
1 * 1 j 2f 1 * 1 j 2f z(u 2 ) z (u 2 )e (t u)du z(t 2 ) z (t 2 )e
弱有限支撑
当 t (t1 , t 2 ) 时,若 s(t ) 0 ,则有 P(t , ) 0 当 (1 , 2 ) 时,若 S ( ) 0 ,则有 P(t , ) 0
强有限支撑 若 S ( ) 0 ,则有 若 s(t ) 0 ,则有
P(t , ) 0
M ( , v)




P(t , f )e j 2 (tv f ) dtdf
（1.3.12）
于是时－频分布可以通过特征函数的二维 Fourier变换得到，即
P(t , f )




M ( , v)e
j 2 ( tv f
)dvd
（1.3.13）
(t , ) ( , v)e j 2tv dv


( , v) (t , )e


j 2tv
dt
对局部相关函数作Fourier变换，得到时变 功率谱，也就是信号能量的时－频分布， 即
P(t , f ) R(t , )e


j 2 f
( , v) (v)
6 、有限支撑性：为使时－频分布满足有限支 撑性，核函数必须满足 弱有限支撑：



( , v)e j d 0，当｜v｜ 2 | |时



( , v)e jvt dv 0，当｜｜ 2 | t |时
强有限支撑 :
2 、能量归一化：为使时－频分布在不一定满 足边缘特性情况下总能量归一，核函数必须 满足
(0,0) 1
3、实值性：为了使时－频分布是实的，核函 数必须满足
( , v) ( ,v)
*
4 、时、频移不变性：为使时－频分布具有时、 频移不变性，则核函数必须是与时间和频率 不相关的。 5 、尺度不变性：为使时－频分布具有尺度不 变性，核必须是一个乘积核，即
单分量信号时－频表示及其特征
峰值就是瞬时频率 1 d f i (t ) [arg z (t )] 2 dt
与瞬时频率对偶的物理量叫做群延迟，定义如 下：
1 d g( f ) [arg Z ( f )] 2 df
多分量信号是由两个（或多个）山峰构成, 每 一个山峰都有它自己不同的瞬时频率和瞬时 带宽。
P(t , f )df | z (t ) |
2
2


4.时－频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率和 群延迟，即
f (t )
i


fP (t , f )df P (t , f )df
g
(f)


tP(t , f )dt P(t , f )dt
5.有限支撑特性
*
ห้องสมุดไป่ตู้
R( ) z(t ) z * (t )dt


S ( f ) R( )e j 2f d


考虑到非平稳信号与平稳信号具有不同的特性， 把上面的自相关函数 R( ) 定义成如下对称形式
R( ) z (t ) z (t )dt 2 2
d
（1.3.10）
这表明，时－频分布可以局部相关函数定义，只 要取不同的局部相关函数形式，就能得到不同的 时－频分布。
若取窗函数 (u t, ) (u t ) ， 则得到瞬时相关函数
* * R(t , ) k z (t , ) (u t ) z (u ) z (u )du z (t ) z (t ) 2 2 2 2
E




P(t , f )dtdf
3.满足边缘特性。如果把某一特定时间的所有 频率的能量分布累加起来，就应该得到瞬时 功率；如果把某一特定频率的能量分布在全 部时间内累加，就应该得到能量谱密度。因 此，在理想情况下，时间和频率的联合密度 应该满足：




P(t , f )dt | Z ( f ) |
1.3.2 时－频分布定义
Fourier变换另一种形式
S ( f ) s(t )e


j 2ft
dt
s(t ) S ( f )e


j 2tf
df
2维Fourier变换

S ( f1 , f 2 )


s ( t , t ) e 1 2
j 2 ( f1t1 f 2t 2 )
这表明，选择不同的特征函数也将得到不同的时 －频分布。
1.3.6 不同变量平面的四种分布
瞬时相关函数
k z (t , ) z (t ) z (t ) 2 2
*


点谱函数
v v K z ( f , v) Z ( f ) Z ( f ) 2 2
*
Wigner-Ville分布
从能量角度对时－频分布提出的一个基本性 质。在信号处理中，往往要求信号具有有限 的时宽和有限的带宽。如果信号只在某个时 间区间取非零值，并且信号的频谱也只在某 个频率区间取非零值，则称信号及其频谱是 有限支撑的，同样，如果在信号和其频谱的 总支撑区以外，信号的时－频分布等于零， 就称时－频分布是有限支撑的.