【数学】江苏省苏锡常镇四市2020届高三第一次教学情况调研试题(解析版)
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【答案】
【解析】由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为 ；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为 ；则所求几何体的体积为
.
12.在△ABC中，( )⊥ ( ＞1)，若角A的最大值为 ，则实数 的值是_______．
【答案】3
【解析】
，解得 ＝3．
故答案为：3.
13.若函数 (a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是_______．
【答案】(1， )
【解析】由题意知： 与 的图像在(1， )上恰有两个交点
考查临界情形： 与 切于 ，
．
故答案为： .
14.如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝ OC，则△ABC面积的最大值为_______．
（1）求A；
（2）已知a＝2 ，B＝ ，求△ABC的面积．
解：（1）∵bcosA﹣ asinB＝0．
∴由正弦定理可得：sinBcosA﹣ sinAsinB＝0，
∵sinB＞0，
∴cosA＝ sinA，
∴tanA＝ ，
∵A∈（0，π），
∴A＝ ；
（2）∵a＝2 ，B＝ ，A＝ ，
∴C＝ ，根据正弦定理得到
【解析】由题意A B中有且只有一个元素，所以 ，即 .
故答案为： .
3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．
【答案】0.08
【解析】首先求得 ，
．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
故答案为：0.08.
4.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 (a＞0)的一条渐近线方程为 ，则a＝_______．
∴b＝6，
∴S△ABC＝ ab＝ ＝6 ．
16.如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．
（1）证明：AP∥平面EBD；
（2）证明：BE⊥PC．
证明：（1）连结AC交BD于点O，连结OE
因为四边形ABCD为平行四边形
故“直线l1： 与直线l2： 平行”是“a＝2”的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分.
8.已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，则 ＝_______．
【答案】
【解析】设公差为 ，因为 ，所以 ，即 .
所以 .
故答案为：
9.已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_______．
（2）设P( ， )，t [0， ]，作PQ⊥l3于Q，记∠EPQ＝ ，∠FPQ＝
， ，
令 ， ，则：
，
当且仅当 即 ，即 ，即 时取等号；
故P( ， )时视角∠EPF最大，
答：P( ， )时，视角∠EPF最大．
（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；
（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．
解：（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系
由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为
代入点B得：p＝1，故方程为 ，x [0，1]；
【答案】3
【解析】因为双曲线 (a＞0)的渐近线为 ，且一条渐近线方程为 ，
所以 .
故答案为： .
5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，乙获胜的概率是 ，则乙不输的概率是_____．
【答案】
【解析】乙不输的概率为 ，填 .
6.下图是一个算法的流程图，则输出的x的值为_______．
【答案】6
【解析】第一次：x＝4，y＝16，
【答案】
【解析】 ，
， ＝1时有最小值1，此时M(1，﹣2)，
故切线方程为： ，即 ．
故答案为： .
10.已知 ， ( ， )，则 ＝_______．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
则 ，平方可得 ．
故答案为： .
11.如图，在矩形 中， 为边 中点， ， ，分别以 、 为圆心， 为半径作圆弧 、 （ 在线段 上）.由两圆弧 、 及边 所围成的平面图形绕直线 旋转一周，则所形成的几何体的体积为.
第二次：x＝5，y＝32，
第三次：x＝6，y＝64，此时64＞10×6＋3，输出x，故输出x的值为6．
故答案为： .
7.“直线l1： 与直线l2： 平行”是“a＝2”的_______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．
【答案】必要不充分
【解析】“直线l1： 与直线l2： 平行”等价于a＝±2，
又BD DE＝D，BD 平面BDE，DE 平面BDE
故PC⊥平面BDE
又BE 平面BDE，
所以BE⊥PC．
17.某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1（百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．
∴O为AC中点，
又E为PC中点，
故AP∥OE，
又AP 平面EBD，OE 平面EBD
所以AP∥平面EBD；
（2）∵△PCD为正三角形，E为PC中点
所以PC⊥DE
因为平面PCD⊥平面ABCD，
平面PCD 平面ABCD＝CD，
又BD 平面ABCD，BD⊥CD
∴BD⊥平面PCD
又PC 平面PCD，故PC⊥BD
江苏省苏锡常镇四市2020届高三第一次教学情况调研
数学试题
数学I
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1.已知i为虚数单位，复数 ，则 ＝_______．
【答案】
【解析】 ．
故答案为： .
2.已知集合A＝ ，B＝ ，若A B中有且只有一个元素，则实数a的值为_______．
【答案】2
【答案】
【解析】设
B，O，E共线，则 ，解得 ，从而O为CD中点，故 .
在△BOD中，BD＝2， ，易知O的轨迹为阿氏圆，其半径 ，
故 ．
故答案为： .
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA﹣ asinB＝0．
【解析】由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为 ；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为 ；则所求几何体的体积为
.
12.在△ABC中，( )⊥ ( ＞1)，若角A的最大值为 ，则实数 的值是_______．
【答案】3
【解析】
，解得 ＝3．
故答案为：3.
13.若函数 (a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是_______．
【答案】(1， )
【解析】由题意知： 与 的图像在(1， )上恰有两个交点
考查临界情形： 与 切于 ，
．
故答案为： .
14.如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝ OC，则△ABC面积的最大值为_______．
（1）求A；
（2）已知a＝2 ，B＝ ，求△ABC的面积．
解：（1）∵bcosA﹣ asinB＝0．
∴由正弦定理可得：sinBcosA﹣ sinAsinB＝0，
∵sinB＞0，
∴cosA＝ sinA，
∴tanA＝ ，
∵A∈（0，π），
∴A＝ ；
（2）∵a＝2 ，B＝ ，A＝ ，
∴C＝ ，根据正弦定理得到
【解析】由题意A B中有且只有一个元素，所以 ，即 .
故答案为： .
3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．
【答案】0.08
【解析】首先求得 ，
．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
故答案为：0.08.
4.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 (a＞0)的一条渐近线方程为 ，则a＝_______．
∴b＝6，
∴S△ABC＝ ab＝ ＝6 ．
16.如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．
（1）证明：AP∥平面EBD；
（2）证明：BE⊥PC．
证明：（1）连结AC交BD于点O，连结OE
因为四边形ABCD为平行四边形
故“直线l1： 与直线l2： 平行”是“a＝2”的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分.
8.已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，则 ＝_______．
【答案】
【解析】设公差为 ，因为 ，所以 ，即 .
所以 .
故答案为：
9.已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_______．
（2）设P( ， )，t [0， ]，作PQ⊥l3于Q，记∠EPQ＝ ，∠FPQ＝
， ，
令 ， ，则：
，
当且仅当 即 ，即 ，即 时取等号；
故P( ， )时视角∠EPF最大，
答：P( ， )时，视角∠EPF最大．
（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；
（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．
解：（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系
由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为
代入点B得：p＝1，故方程为 ，x [0，1]；
【答案】3
【解析】因为双曲线 (a＞0)的渐近线为 ，且一条渐近线方程为 ，
所以 .
故答案为： .
5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，乙获胜的概率是 ，则乙不输的概率是_____．
【答案】
【解析】乙不输的概率为 ，填 .
6.下图是一个算法的流程图，则输出的x的值为_______．
【答案】6
【解析】第一次：x＝4，y＝16，
【答案】
【解析】 ，
， ＝1时有最小值1，此时M(1，﹣2)，
故切线方程为： ，即 ．
故答案为： .
10.已知 ， ( ， )，则 ＝_______．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
则 ，平方可得 ．
故答案为： .
11.如图，在矩形 中， 为边 中点， ， ，分别以 、 为圆心， 为半径作圆弧 、 （ 在线段 上）.由两圆弧 、 及边 所围成的平面图形绕直线 旋转一周，则所形成的几何体的体积为.
第二次：x＝5，y＝32，
第三次：x＝6，y＝64，此时64＞10×6＋3，输出x，故输出x的值为6．
故答案为： .
7.“直线l1： 与直线l2： 平行”是“a＝2”的_______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．
【答案】必要不充分
【解析】“直线l1： 与直线l2： 平行”等价于a＝±2，
又BD DE＝D，BD 平面BDE，DE 平面BDE
故PC⊥平面BDE
又BE 平面BDE，
所以BE⊥PC．
17.某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1（百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．
∴O为AC中点，
又E为PC中点，
故AP∥OE，
又AP 平面EBD，OE 平面EBD
所以AP∥平面EBD；
（2）∵△PCD为正三角形，E为PC中点
所以PC⊥DE
因为平面PCD⊥平面ABCD，
平面PCD 平面ABCD＝CD，
又BD 平面ABCD，BD⊥CD
∴BD⊥平面PCD
又PC 平面PCD，故PC⊥BD
江苏省苏锡常镇四市2020届高三第一次教学情况调研
数学试题
数学I
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1.已知i为虚数单位，复数 ，则 ＝_______．
【答案】
【解析】 ．
故答案为： .
2.已知集合A＝ ，B＝ ，若A B中有且只有一个元素，则实数a的值为_______．
【答案】2
【答案】
【解析】设
B，O，E共线，则 ，解得 ，从而O为CD中点，故 .
在△BOD中，BD＝2， ，易知O的轨迹为阿氏圆，其半径 ，
故 ．
故答案为： .
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA﹣ asinB＝0．