宁夏石嘴山市2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理

高二第一学期期中考试数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.有关命题的说法错误的是 （ ）
A ．命题“若x 2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2
-3x+2≠0” B ．“x=1”是“x 2
-3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题
D ．对于命题p: ∃ x ∈R ，使得x 2
+x+1＜0，则:p x ⌝∀∈R ，均有x 2
+x+1≥0
2．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 3.已知命题:,p x R ∃∈使得1
2,x x
+
<命题2:,10q x R x x ∀∈++>，下列命题为真的是 A ．（)p q ⌝∧ B ．p ∧q C ．
()p q ∧⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝
4.已知点(3,2)在椭圆22
221x y a b
+=上，则( )
A ．点(3,2)--不在椭圆上
B ．点(3,2)-不在椭圆上
C ．点(3,2)-在椭圆上
D ．无法判断点(3,2)--，(3,2)-，(3,2)-是否在椭圆上
5.已知实数y x ,满足()10<<<a a a y
x
，则下列关系式恒成立的是（ ）
33.y x A > y x B sin sin .> ()()
1ln 1ln .22+>+y x C 1
1
11.
2
2+>+y x D 6.在等比数列{}n a 中，若4a ，8a 是方程2
430x x -+=的两根，则6a 的值是
A.
3±
A. 7.抛物线2x y =上到直线042=--y x 距离最近的点的坐标是（ ） A ．(1,1) B ．⎪⎭⎫
⎝⎛41,21 C.⎪⎭
⎫ ⎝⎛91,31 D ．（2,4）
8.变量x ，y 满足约束条件3602030x y x y y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-≤⎩
，则目标函数z=y-2x 的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．-4
D ．-7
9.如图所示，空间四边形OABC 中， ===,,，点M 在OA 上，且
2OM MA =， N 为BC 中点，则MN 等于（ ）
A.
c b a 213221+- B. c b a 212132-++ C. c b a 322121-+ D. c b a 2
1
3232-+
10.已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线过点，
且双曲线的一个焦点在抛物线2
y =的准线上，则双曲线的方程为
A.22134x y -=
B.22143x y -=
C.2212128x y -=
D.22
12821
x y -= （第9题图） 11.下列命题正确的个数是（ ）
（1）已知(2,0)M -、(2,0)N ，||||3PM PN -=，则动点P 的轨迹是双曲线左边一支； （2）在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3的距离相等的点的轨迹是抛物线； （3）设定点1(0,2)F ，2(0,2)F -，动点P 满足条件124
(0)PF PF a a a
+=+>，则点P 的轨迹是椭圆。

A.0 个
B.1个
C.2个
D.3个
12. 已知椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>），F （c ，0）为椭圆右焦点，A )0,c (2a 为x 轴上一点，若椭圆上存在点P 满足线段 AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是
A ．)1,12[-
B ．
]22,0，（ C ．]210，（ D ．)1,2
1
[ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知方程221x y m +=表示的曲线是焦点在x 轴上且离心率为1
2
的椭圆，则m =
14.已知向量(1,1,)a x =，(1,2,1)b =，(1,2,3)c =满足()1c a b -⋅=-，则x = . 15.设经过点()2,1M 的等轴双曲线的焦点为12,F F ，此双曲线上一点N 满足12NF NF ⊥，则
12NF F ∆的面积___________
16.下列命题中:
①ABC ∆中，B A B A sin sin >⇔>
②数列{}n a 的前n 项和221n S n n =-+，则数列{}n a 是等差数列． ③锐角三角形的三边长分别为3，4，a ，则a 的取值范围是57<<a ． ④若22n n S a =-，则{}n a 是等比数列 真命题的序号是 ．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a
A b a sin 2=
（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求C A sin cos +的取值范围。

18.设命题p ：命题q ：斜率为k 的直线l 过定点()2,1,P -且与抛物线2
4y x =有两个不同的公共点．若p q ∧是真命题，求k 的取值范围．
19、(本题满分12分）已知双曲线方程为2
2
169144x y -=. （1）求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；
（2）若抛物线C 的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其左顶点，求抛物线C 的方程. 20.（本小题满分12分）
已知{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，且111a b ==，2332a a b +=，
5237b a -=.
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设n n n c a b =⋅，*
n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和n S .
21.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥. （Ⅰ）求证：AC PB ⊥；
（Ⅱ）若2AB AC AP ===，设D ，E 分别为棱AC ，AP 的中点，F 为ABD ∆内一点，
且满足1
()3
DF DA DB =+，求直线BD 与EF 所成角的余弦值.
22. （本小题满分12分）
已知椭圆C ：，动直线l ：
m kx y +=交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）
（1）求椭圆C 的方程.
（2）是讨论2232m k -是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，说明理由。

高二年级数学（理科）答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.
13.
4
3
14. 6 14. 15 16. ①③④ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） 解：（1）由，根据正弦定理得
，所以
，
由
为锐角三角形得
．……4分
（2）
．……8分
由
为锐角三角形知，,32A ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭ 故25,336A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
…………9分 所以．
由此，所以的取值范围为． (12)
分
18. （本小题满分12分）
解：命题真，则，解得或
，……4分
命题为真，由题意，设直线的方程为
，即
，
联立方程组，整理得，
要使得直线与抛物线有两个公共点，需满足，
解得且…………………………9分
若是真命题，则
所以的取值范围为……………………12分
19. （本小题满分12分）
解：（1）双曲线方程为16x 2-9y 2
=144， 可得a=3，b=4，c=
=5，………………3分
则双曲线的实轴长为2a=6、虚轴长2b=8、离心率e==；…………6分
（2）抛物线C 的顶点是该双曲线的中心（0，0），而焦点是其左顶点（-3，0）， 设抛物线C 的方程为y 2
=-2px （p ＞0），- = -3，解得p=6.…………10分 则抛物线C 的方程为y 2=-12x ．…………12分
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ,{}n b 的公比为q ,由题意0q > ,
由已知，有24232,310,
q d q d ⎧-=⎨-=⎩ 消去d 得42
280,q q --=
解得2,2q d == ,所以21,n a n n *=-∈N ，12,n n b n -*
=∈N …………5分
（Ⅱ）由（I ）有()1
212
n n c n -=- ,设{}n c 的前n 项和为n S ,则
()0121123252212,n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ()1232123252212,n n S n =⨯+⨯+⨯+
+-⨯
两式相减得()()23
12222122323,n n n n S n n -=+++
+--⨯=--⨯-
所以()2323n
n S n =-+ .…………………………12分 21.（本小题满分12分）(1)略 （2）70703（写-70
70
3 的不扣分）
22.（本小题满分12分）
解：（1，所以()
222222a c a b ==-，即222a b =，①
由①②联立，解得21b =，22a =，
………………5分 （2）设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=， 可知12120x x y y
+=.
消去y 化简整理得()
222124220k x kmx m +++-=，
由()()
22221681120k m m k ∆=--+>，得22
12k m +>，所以
又由题知12120x x y y +=， 即()()12120x x kx m kx m +++=，
整理为()
()22121210k x x km x x m ++++=.……………………9分
，从而得到22322m k -=.………………12分。