磁学 3-4 磁场对载流导线、运动电荷的作用

麦克斯韦以及其他人重新推导了
安培力公式的近现代形式。
Wikipedia: Ampère's force law
http://www.ifi.unicamp.br/~assis/Amperes-Electrodynamics.pdf
载流导线上任一电流元 Idl 在外磁场 B (不包括电流
元自身磁场)中所受的磁场力为
2）考虑圆环上很小一段圆弧 ds， 它对圆心的张角为 dθ，所受张力 为 T，张力沿圆弧切线方向 此圆弧所受张力在水平方向的分 量抵消为零，在竖直方向的分量 dF′ = 2T sin(dθ/2) = Tdθ 而另一方面，载流导线 ds 在均匀 磁场中受力 dF = IBds = IBRdθ 受力平衡 dF = dF′ 故张力 T = IBR
× × × × × qv
×××××
带电粒子受洛伦兹力 F = qvB 方向始终垂直于粒子的
速度，只改变粒子的速度方向，不改变速度的大小。
因此粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛
伦兹力提供向心力
F qvB mv2 / R 故 R mv
qB
回旋半径 正比于 v
回旋 周期
T 2R 2m
量子霍尔效应：霍尔电阻 与磁场之间的台阶关系
整数量子霍尔效应 1985 年诺贝尔奖；分数量子霍 尔效应 1998 年诺贝尔奖； 量子反常霍尔效应亦有望
故而每个运动电荷所受洛伦兹力为
的 方向相同 F qv B
反推 亦可
三、带电粒子在磁场中的运动
a）质量为 m 电量为 q 的 粒子以 速度 v 进入均匀磁场 B 中 1）v // B
带电粒子不受磁场力的作用，沿
磁场方向做匀速直线运动 2）v ⊥ B
× × × × × B
R × × × × ×
× × O× × × F
q
F
磁镜
F
BI
磁瓶 磁约束
磁约束
受控核聚变 托马克装置
地磁南极 电子
S Earth 质子
N
地理南极
地理轴和地磁轴夹角 11°
地磁场内的范艾仑辐射带（Van Allen belts）
极光（Aurora）
四、应用实例
1）回旋加速器 原理：粒子在均匀磁场 中所做圆周运动的周期 频率与其速度大小无关
§3.5 磁场对载流导线的作用
一、安培力 载流导线可以产生磁场；载流导线在磁场中也会受力
1820 年，奥斯特发现电可生磁。
同一年，在奥斯特的发现启发下
安培通过实验研究了两条平行载
流导线之间的相互作用力，发现
了安培力的原始形式 (参后例)。
1823 年，安培导出了两个电流元
之间的相互作用力公式。后来，
对于闭合载流回路，F = 0 整体不受磁力。
例 3 圆柱形磁铁 N 极正上方放置一半径为 R 的导线环，
其中通有顺时针方向(俯视)电流 I，导线所在处磁感应
强度的方向均与竖直方向成 角，求导线环所受磁力
解：在导线环上取电流元 Idl
其方向垂直于纸面向内，它
dFz
dF
z
dF dFz
所受安培力为 dF Idl B
Fcd
ab 与 cd 两条边所受安培力大小 相等，方向相反但不共线，如右 俯视图。故而对线圈而言，它们 的合力为零，但合力矩不为零。
I ⊙d
θ
B
a
en
Fab
Fab = Fcd = IBlab 对中轴线力臂均为 (lbc sinθ)/2 且 力矩方向相同，故总的力矩大小为 M = ISB sin θ
解：电荷定向运动形成电流。取半 径为 r 宽度为 dr 的细圆环，当圆盘 转动时它相当于一个载流圆环，其 电流为 dI = σ 2πrdr/(2π/ω) = ωσrdr
其磁矩大小为 dm = SdI = πr2dI
因所有细圆电流磁矩方向相同，故 整个转动带电圆盘的总磁矩为
m
dm
R
r 3dr
R4
1932 年劳 伦斯发明 1939 年诺 贝尔奖 早已普及
有医用商 业回旋加 速器销售
2）速度选择器 原理：正交电磁场 特定速度的粒子因电 场力与磁场力平衡而 直线运动被选出，与 粒子质量电量无关
3）质谱仪 原理：用速度选择器选出的 粒子在均匀磁场中做圆周运 动，不同质量的粒子落在胶 片上不同位置形成若干条纹。 可测定原子分子离子成分及 其丰度。1919 年阿斯顿发明 1922 年诺贝尔奖
0I2 2d
I1
I2
dF1
I1dl
I 2 dl
B2
由安培力公式知
dF1
B2 I1dl
0I2 2d
I1dl
d
单位长度受力
F1
dF1 dl
B2 I1
0 I 2 I1 2d
方向向左，排斥
同理 F2 = B1I2 = F1 向右 若 I1, I2 方向相同，吸引
例 2 在均匀磁场中有一段任意形状的导线 ab，载有电
若线圈有 N 匝，则所受磁力矩大小为 M = mB sinθ
其中 m = NIS 为线圈磁矩，方向即线圈法线方向
线圈磁矩
m NISen
此结果事实上对均匀
磁场中任意形状的平
线圈所受磁力矩 M m B 面载流线圈均成立
磁力矩方向沿中轴线 OO′，其效果是让线圈磁矩的
方向转向磁场 B 的方向
en
F
dF
rd r
0i2 4l
4
0i2
(2r d
l)
dl
0i2 2
ln
d
r
r
电磁炮 与电磁 弹射器
例 5 半径为 R 的导线圆环中通有电流 I， 置于磁感应 强度为 B 的均匀磁场中。若磁场方向与环面垂直，求 1）圆环所受的磁力，2）导线所受的张力的大小
解：1）因其为均匀磁场中闭合 载流回路，圆环所受的磁力为零
而方向由右手螺旋法则确定。
使用右手螺旋法则确定方向时，请注意 q 的正负
二、安培力与洛伦兹力
导线中的电流是大量电荷定向运动形成的，所以载流 导线受到的安培力是作用在导线内运动电荷上的洛伦 兹力的宏观表现。安培力与洛伦兹力可互推。
在载流导 线中任取一小段电 流元 Idl ，其电流 I = nqSv
I I = nqSv
I
⊙B
dF dθ/2 I ds dθ/2 T R dθ T
O
二、磁场对载流线圈的作用
考虑刚性矩形平面线圈在均匀磁 场中所受磁力矩，如右图。
bc 与 da 两条边所受安培力大小 相等，而且共线，沿中轴线 OO′ 方向相反。故而对线圈而言，它 们的合力与合力矩均为零。
O d
a S
I
θ
B
en c
b O′
en
en
B
en
稳定 en 趋于 B
平衡
en
Mmax
en
en 趋于 B 不稳定
平衡
Mmax
电动机基本原理：换向器、电刷，在临界位置使线圈 电流反向，从而线圈沿一个方向持续旋转
例 6 在均匀磁场中，半径为 R 的薄圆盘以角速度 ω 绕 中心轴转动，圆盘电荷面密度为 σ > 0. 求其所受磁力矩
例 1 两根平行载流长直导线之间的相互作用力。真空
中距离为 d 的两根平行长直导线通有相反方向的电流
I1 和 I2 . 求每根导线单位长度的一段受另一电流的磁
场的作用力。
解：在导线 1 任取一段电流元 I1dl
它所处位置的磁场由电流 I2 产生。 由右手螺旋法则知磁场方向垂直于
纸面向内，大小为
B2
其中 n 为运动电荷数密度，
每个电荷带电量 q 漂移速度 qv
S
为 v ，导线截面积为 S
电 流元所在处磁感应强度为
B， 则电流 元所受安培力为
dF
Idl
Байду номын сангаас
B
nqSv(dl
B)
dl
dN = nSdl
dN 为载流 子个数
nSdl(qv B) dN (qv B)
注意：无论 q 的正负，Idl 都与 qv
F
安培力 dF Idl B
大小为 dF = Idl B sinθ 方向由右手螺旋法则确定
θ B Idl
任意形状的载流导线
L
在磁场中所受的安培力
F L Idl B
矢量求和(积分)不方便，通常分解到 x, y, z 方向、 或平行与垂直方向、切线与法线方向等等，然后每 个方向的分量是标量求和(积分)较容易
v⊥= v sinθ ≈ vθ 带电粒子束各粒子沿半径稍有不同 v// = v cosθ ≈ v 的螺旋线运动，同时螺距近似相等
磁聚焦：经过一个回旋周期带电粒子重新汇聚到一点
电子显微镜 的基本原理
电子显微镜 光学显微镜 类比
磁聚焦 vs.
光聚焦
1986 年 诺贝尔奖
c）非均匀磁场情形
在非均匀磁场中，当带电粒子的速度与磁场方向不同 时仍做螺旋运动，但半径与螺距都发生变化
v qB
3）v 与 B 夹角为 θ
回旋 频率
f 1 qB
T 2m
与 v 无关 只依赖于 荷质比
带电粒子的速度分解
为沿磁场方向的分速
度 v// = v cosθ 和垂直 于磁场方向的分速度
v⊥= v sinθ
粒子平行于磁场方向的分速度不受磁场的影响，因此
具有沿磁场方向的匀速直线分运动。而垂直于磁场方
流 I，导线两端距离为 l，求其所受 的安培力。
解：在导线上任取一段电流元 Idl
它所受安培力 为
B
dF Idl B
I
整段导线所受安培力为
F
ab
Idl
B
I
b a
dl
由矢量求和法则可知
B b dl
l
a
a
lb
故 F Il B
此结论对任意形状导线均成立。 与形状无关，只与从起点到终点的 l 有关。
分解到竖直方向与水平方向，
B
dFh
Idl
dFh
I
B
⊙
Idl
由对称性知水平方向上的分量
互相抵消，只剩竖直方向分量
N
F Fz dFz dF sin
2R
0 IdlB sin 2IBRsin
方向竖 直向上
磁悬浮的 基本原理
例 4 大电流 i 沿间距为 d 的两条平行圆柱形导体轨道 (半径为 r)之一流入， 经松弛嵌在两轨道间的金属弹 沿另一根轨道流回电源。求金属弹所受的安培力。
0
4
此圆盘受到的 磁力矩大小为
M mB R4B
4
ω
dr R
r
O
B
σ
M
m⊙
B
三个矢量的 方向如图示
§3.6 磁场对运动电荷的作用
一、洛伦兹力
电量为 q 的带电粒子以速度 v 通过磁感应强度为
的某一点，它受到的洛伦兹力为
B
F qv B
F
洛伦兹力的大小 F = qvBsinθ
θ B qv
4）汤姆逊实验
原理：正交电磁场 带电粒子在正交电 磁场中运动，分别 测量有或无电场时 粒子的偏转，可定 出粒子的荷质比
汤姆逊 1897 年测定阴极 射线荷质比 发现电子； 1906 年诺贝 尔奖
5）霍尔效应 1879 年霍尔发现磁场中载流导体 出现横向电势差的现象。可用磁 场对运动电荷的作用来解释。霍 尔元件应用广泛：测量载流子极 性或数密度、测量磁感应强度、 脉冲发生器、传感器、开关 等
解：在金属 弹上任意取一段 电流元 Idl . 两轨道可视为两 个平行反向的半无限长直电 流，在电流元 Idl 处产生的
磁场方向相同，均垂直于纸
面向内，合磁感应强度大小
l
i B
F
i
r d r
B 0i
0i
4l 4 (2r d l)
此电流元所受安培力为 dF iBdl 方向向右
故整个金属弹所受安培力方向向右，大小为
向的分速度使粒子产生垂直于磁场方向的匀速圆周分
运动。合成效果是一个轴线沿磁场方向的螺旋运动
带电粒子的回旋半径 R mv mvsin
qB qB
特殊情形：
一个回旋周期内带电粒子沿 磁场方向前进距离（螺距）
d
v//T
2mv cos
qB
b）磁聚焦
在均匀磁场中引入一束 发散角 θ 很小而速率 v 大致相等的带电粒子