2020版高考数学(理)一轮总复习作业：29向量的概念及线性运算 Word版含解析.doc

题组层级快练(二十九)
1．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b ；若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．
2．设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，则下列表示形式中正确的是( ) A ．e ＝a |a |
B ．a ＝|a |e
C ．a ＝－|a |e
D ．a ＝±|a |e 答案 D
解析 对于A ，当a ＝0时，a
|a |没有意义，错误；
对于B ，C ，D 当a ＝0时，选项B ，C ，D 都对； 当a ≠0时，由a ∥e 可知，a 与e 同向或反向，选D.
3．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →
＝( )
A.OH →
B.OG →
C.EO →
D.FO →
答案 D
解析 在方格纸上作出OP →＋OQ →，如图所示，则容易看出OP →＋OQ →＝FO →
，故选D.
4．(2014·课标全国Ⅰ，文)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →
＋
FC →
＝( ) A.AD → B.12AD → C.BC → D.12
BC → 答案 A
解析 EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12
(AB →＋AC →)＝AD →
，故选A.
5．(2018·安徽示范性高中二模)△ABC 内一点O 满足OA →＋2OB →＋3OC →
＝0，直线AO 交BC 于点D ，则( ) A ．2DB →＋3DC →
＝0 B ．3DB →＋2DC →＝0 C.OA →－5OD →
＝0 D ．5OA →＋OD →＝0 答案 A
解析 ∵△ABC 内一点O 满足OA →＋2OB →＋3OC →
＝0，直线AO 交BC 于点D ，∴15OA →＋25OB
→＋35OC →＝0.令OE →＝25OB →＋35OC →
，则15OA →＋OE →＝0，∴B ，C ，E 三点共线，A ，O ，E 三点共线，∴D ，E 重合．∴OA →＋5OD →＝0，∴2DB →＋3DC →＝2OB →－2OD →＋3OC →－3OD →＝－OA →－5OD →＝0.故选A.
6．(2018·吉林大学附属中学摸底)在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，则BC →
＝( ) A ．－13AB →＋23AD →
B ．－23AB →＋43AD →
C.23AB →－AD → D ．－23AB →＋AD →
答案 D
解析 在线段AB 上取点E ，使BE ＝DC ，连接DE ，则四边形BCDE 为平行四边形，则BC →
＝ED →＝AD →－AE →＝AD →－23
AB →
.故选D.
7．(2018·江西赣吉抚七校监测)在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点(靠近点B)，那么EF →
＝( ) A.12AB →－13
AD → B.14AB →＋12
AD →
C.13AB →＋12AD →
D.12AB →－23
AD →
答案 D
解析 在△CEF 中，EF →＝EC →＋CF →.因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →
.因为点F 为BC
的一个三等分点(靠近点B)，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝EC →＋CF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →－23AD →
.故
选D.
8．(2018·安徽毛坦厂中学期中)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 的中点，则AG →
＝( )
A.23AB →＋13AD →
B.13AB →＋23AD →
C.34AB →＋34AD →
D.23AB →＋23
AD → 答案 C
解析 连接AF ，AE ，由G 为EF 的中点，得AG →＝12(AF →＋AE →
)＝12(AD →＋DF →)＋12(AB →＋BE →)＝
12(AD →＋12DC →)＋12(AB →＋12BC →)＝12(AD →＋12AB →)＋12(AB →＋12AD →)＝34AB →＋34
AD →
.故选C. 9．已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →
＝n i ＋j ，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是( ) A ．m ＋n ＝1 B ．m ＋n ＝－1 C ．mn ＝1 D ．mn ＝－1
答案 C
解析 由A ，B ，D 共线可设AB →＝λAD →
，于是有i ＋m j ＝λ(n i ＋j )＝λn i ＋λj .又i ，j 不共线，
因此⎩
⎪⎨⎪⎧λn ＝1，λ＝m ，即有mn ＝1.
10．(2018·北京西城一模)在△ABC 中，点D 满足BC →＝3BD →，则( ) A.AD →＝13AB →－23AC →
B.AD →＝13AB →＋23AC →
C.AD →＝23AB →－13AC →
D.AD →＝23AB →＋13
AC →
答案 D
解析 因为BC →＝3BD →，所以AC →－AB →＝3(AD →－AB →)，即AD →＝23AB →＋13
AC →
.故选D.
11．(2018·河北衡水中学三调)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点．若AP →＝mAB
→
＋25AC →
，则实数m 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．4
答案 B
解析 方法一：因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k(AN →－AB →)＝(1－k)AB →＋k 5AC →，且AP
→
＝mAB →＋25AC →
，所以1－k ＝m ，k 5＝25，解得k ＝2，m ＝－1.故选B.
方法二：由AN →＝14
NC →，得AC →＝5AN →
，
∴AP →＝mAB →＋25
AC →＝mAB →＋2AN →
，∴m ＋2＝1，得m ＝－1.
12.(2018·河南中原名校质检)如图，已知在△ABC 中，D 为边BC 上靠近
B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点．若CE →＝mAB →＋nA
C →，则m ＋n ＝( ) A ．－13
B ．－12
C ．－14
D.12 答案 B
解析 方法一：依题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，∴CE
→
＝CA →＋AE →＝CA →＋12AD →＝－AC →＋12(23AB →＋13AC →)＝－AC →＋13AB →＋16AC →＝13AB →－56AC →.∵CE →
＝
mAB →＋nAC →
，∴m ＝13，n ＝－56，∴m ＋n ＝13－56＝－12.故选B.
方法二：∵在△ADC 中，E 为AD 中点，
∴CE →＝12(CA →＋CD →)＝12(－AC →＋23CB →)＝12[－AC →＋23(AB →－AC →
)]＝13AB →－56AC →，
∴m ＝13，n ＝－56，m ＋n ＝－1
2
.
13．(2018·四川成都七中一诊)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →
，则( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的反向延长线上 C ．点P 在线段AB 的延长线上
D ．点P 不在直线AB 上
答案 B
解析 ∵2OP →＝2OA →＋BA →，∴2OP →－2OA →＝BA →
，
即2AP →＝BA →
，∴点P 在线段AB 的反向延长线上．故选B.
14．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13(12OA →
＋
12
OB →＋2OC →
)，则P 一定为△ABC 的( ) A ．AB 边中线的三等分点(非重心) B ．AB 边的中点 C ．AB 边中线的中点 D ．重心
答案 A
解析 如图所示，设AB 的中点是E ，则OP →＝13(12OA →＋12OB →＋2OC →)＝13(OE
→
＋2OC →)．∵O 是△ABC 的重心，∴2EO →＝OC →，∴OP →＝13(OE →＋4EO →)＝EO →
，
∴点P 在AB 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心，故选A.
15．(2018·北京东城)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →
，则μ的取值范围是( ) A ．[0，1] B ．[0，3] C ．[0，1
2]
D ．[1
2，2]
答案 C
解析 如图所示，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F.在Rt △BCF 中，∠
B ＝30°，B
C ＝2，∴CF ＝1，BF ＝ 3.∵AB ＝23，∴AF ＝ 3.由四边形AFC
D 是平行四边形，可得CD ＝AF ＝3＝12AB.∵A
E →＝AD →
＋
DE →＝AD →＋μAB →，∴DE →＝μAB →.∵DE →∥DC →，DC →＝12AB →
，∴0≤μ≤12.故选C.
16．如图所示，下列结论不正确的是________．
①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝3
2a ＋b .
答案 ②④
解析 由a ＋b ＝23PQ →，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由PT →＝32a －32
b ，从而②错误；PS →＝PT →
＋b ，
故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →
＋2b ＝32a ＋12
b ，④错误．故正确的为①③.
17．设a 和b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →
＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于________． 答案 －4
解析 ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →∥BD →.∵AB →＝2a ＋k b ，BD →＝BC →＋CD →
＝a －2b ，∴k ＝－4.故填－4.
18.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线
AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
，则m ＋n 的值为________． 答案 2
解析 AO →＝12(AB →＋AC →
)＝m 2AM →＋n 2AN →.
∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n
2＝1.
∴m ＋n ＝2，故填2.
1．(2017·唐山统考)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →
＝( ) A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD → C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34
AD → 答案 B
解析 因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB
→＋AD →＋DC →
)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12
AD →，故选B.
2．(2017·山东胶州期中)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，
对角线AC ，DB 相交于点O.若AD →＝a ，AB →＝b ，则OC →
＝( ) A ．－a 3－b 3
B.a 3＋b 6
C.2a 3＋b 3
D.2a 3－b 3 答案 B
解析 ∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∴△DOC ∽△BOA 且AO ＝2OC ，则AO →＝2OC →＝23
AC →，OC
→
＝13AC →，而AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →＝a ＋12b ，∴OC →＝13AC →＝1
3(a ＋12b )＝13a ＋16
b . 3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →
＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．以上都不对
答案 C
解析 由已知AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →
. ∴AD →∥BC →.又AB →与CD →
不平行，∴四边形ABCD 是梯形．
4．在△ABC 所在的平面内有一点P ，如果2PA →＋PC →＝AB →－PB →
，那么△PBC 的面积与△ABC 的面积之比是( ) A.34 B.12 C.13 D.23
答案 A
解析 由已知的向量关系式2PA →＋PC →＝AB →－PB →，得2PA →＋PC →＝AP →，即PC →＝3AP →
，所以点P 在AC 上，且PC ＝3AP ，由相似的性质知，△PBC 与△ABC 在边BC 上的高的比为3∶4，则△PBC 与△ABC 的面积比为3∶4，选A.
5．(2017·衡水中学调研卷)在△ABC 中，P 是BC 边的中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →
＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形但不是等边三角形
答案 A
解析 如图，由cAC →＋aPA →＋bPB →＝0知，c(PC →－PA →)＋aPA →－bPC →
＝(a －c)PA →＋(c －b)PC →＝0，而PA →与PC →
为不共线向量，∴a －c ＝c －b ＝0，∴a ＝b ＝c.故选A.
6．(2017·沧州七校联考)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半
圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →
＝( ) A ．a －1
2b
B.1
2a －b C ．a ＋1
2b
D.1
2
a ＋
b 答案 D
解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →
＝
AC →＋CD →
＝b ＋12
a .
7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________． 答案 －12
解析 因为a 与b 共线，所以a ＝x b ，⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，λx ＝－1，故λ＝－1
2.
8．(2017·山东栖霞高中)如图所示，已知△AOB ，点C 是点B 关于点A 的对
称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，若OE →＝λOA →
，则实数λ的值为________． 答案 45
解析 设OA →＝a ，OB →＝b .由题意知A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则知OB
→
＋OC →＝2OA →.∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .又∵EC →
＝
OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，EC →∥DC →
，∴2－λ2＝153，∴λ＝45
.
9.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →
＝b ，则BE →
＝________． 答案 b －1
2
a
解析 BE →＝BA →＋AD →＋12DC →
＝－a ＋b ＋12a ＝b －12
a .
10．(2015·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →
，则x ＝________；y ＝________． 答案 12 －16
解析 由题中条件得MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB
→＋yAC →
，所以x ＝12，y ＝－16
.
11．(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →
＝
λ1AB →＋λ2AC →
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
答案 12
解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →
＋
λ2AC →
，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.。