北师大版必修二 直观图 课时作业

2直观图 课时作业
一、选择题
1．利用斜二测画法得到的下列结论中，正确的是( )
①两条相交直线的直观图是平行直线 ②两条垂直直线的直观图是垂直直线 ③正方形的直观图是平行四边形
④梯形的直观图是梯形
A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
解析：两条相交直线的直观图仍然是相交直线，故①错；两条垂直直线的直观图只是相交直线，不是垂直直线，故②错；③④正确．
答案：B
2．在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是( )
①角的水平放置的直观图一定是角
②相等的角在直观图中仍然相等
③相等的线段在直观图中仍然相等
④若两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等
⑤同一个平面图形，由于在直角坐标系中的位置不同，它们直观图的形状可能不同 A ．①②③ B ．①③⑤
C ．①④⑤
D ．④⑤
解析：角在直观图中可以与原来的角不等，但仍然为角，故①正确；由正方形的直观图可排除②③；由于斜二测画法保持了平行性不变，因此④正确；而⑤显然正确．故选C . 答案：C
3．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )
A ．90°，90°
B ．45°，90°
C ．135°，90°
D ．45°或135°，90°
解析：根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.
答案：D
4．利用斜二测画法画边长为1 cm 的正方形的直观图，可能是下面的( )
解析：正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C 项．
答案：C
5．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为( ) A ．12 B ．24
C ．6 2
D ．12 2
解析：因为原矩形的面积S ＝6×4＝24，所以其直观图的面积为24×24＝6 2. 答案：C
6．一个用斜二测画法画出来的三角形是一个边长为a 的正三角形，则原三角形的面积是
( )
A .32a 2
B .34
a 2 C .62
a 2 D .6a 2 解析：因为S △A′B′C′＝12a 2sin 60°＝34
a 2， 所以S △ABC ＝22S △A′B′C′＝
62
a 2. 答案：C
7．如图，△A′O′B′为水平放置的△AOB 的直观图，且O′A′＝2，O′B′＝3，则△AOB 的周长为( )
A ．12
B ．10
C ．8
D ．7
解析：根据斜二测画法得到三角形OAB 为直角三角形，底面边长OB ＝3，高OA ＝2O′A′＝4，AB ＝5，
所以直角三角形OAB 的周长为3＋4＋5＝12.
答案：A
二、填空题
8.
如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC 的斜二测画法得到的直观图，则在△ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是________．
解析：画出原图形如图所示，△ABC 为直角三角形，显然，AC 边最长．
答案：AC
9．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．
解析：在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝32，所以原平面图形为一边长为6，高为62的平行四边形，所以其面积为6×62＝36 2.
答案：36 2
10．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是________． 解析：由题意知，直观图的下底长为2＋1，根据斜二测画法的规则，原平面图形是上底
长为1，下底长为2＋1，而高为斜二测直观图中的腰长的2倍的直角梯形，故其面积为12×2×(2＋1＋1)＝2＋2.故填2＋2. 答案：2＋2
11．如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC 的直观图△A′B′C′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为________．
解析：过C′作C′M′∥y′轴，且交x′轴于M′.
过C′作C′D′⊥x 轴，交x′轴于D′，且C′D′＝32
a. 所以∠C′M′D′＝45°，
所以C′M′＝62
a. 所以原三角形的高CM ＝6a ，底边长为a ，其面积为S ＝12×a×6a ＝62a 2，或S 直观＝24
S 原，所以S 原＝
42·34a 2＝62a 2. 答案：62
a 2 12．在△ABC 中，AC ＝10 cm ，边AC 上的高BD ＝10 cm ，则其水平放置的直观图的面积为________．
解析：S △ABC ＝12×10×10＝50(cm )2，其直观图的面积为S ＝24S △ABC ＝2522
(cm )2. 答案：2522
cm 2 三、解答题
13．如图，梯形A 1B 1C 1D 1是平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O′y′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23
C 1
D 1＝2，A 1D 1＝O′D 1＝1.请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积．
解析：如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O′D 1＝1，OC ＝O′C 1＝2. 过点D 作y 轴的平行线，并截取DA ＝2D 1A 1＝2.
再过点A 作x 轴的平行线，并截取AB ＝A 1B 1＝2.
连接BC ，即得到原图形．
方法一 由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长分别为AB ＝2，CD ＝3，高AD ＝2.
所以面积为S ＝2＋32
×2＝5. 方法二 因为A 1B 1＝23
C 1
D 1＝2，A 1D 1＝O′D 1＝1， 所以梯形A 1B 1C 1D 1的高为22
， 故S 梯形A 1B 1C 1D 1＝12×22×(2＋3)＝524
， 所以S 梯形ABCD ＝22S 梯形A 1B 1C 1D 1＝5.
14.
在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
解析：四边形ABCD 的真实图形如图所示，
因为A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
所以在原四边形ABCD 中，
DA⊥AC，AC⊥BC，
因为DA ＝2D′A′＝2，所以S 四边形ABCD ＝AC·AD＝15.
解析：由该几何体的三视图可知此几何体是一个简单组合体，下方是一个四棱柱，上方是一个四棱锥，并且下方的四棱柱与上方的四棱锥底面重合，可以先画出下方的四棱柱，再画出上方的四棱锥．
(1)画轴．如图①所示，画出x 轴，y 轴，z 轴，三轴交于点O ，使∠xOy＝45°，∠xOz ＝90°.
(2)画棱柱的下底面．以点O 为中点，在x 轴上画MN ＝2，在y 轴上画EQ ＝1，分别过点M ，N 作y 轴的平行线，过点E ，Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，则四边形ABCD 就是该棱柱的下底面．
(3)画棱柱的侧棱．分别以A ，B ，C ，D 四个顶点为起点作平行于z 轴，长度为1的线段，得四条侧棱AA′，BB′，CC′，DD′，顺次连接A′，B′，C′，D′.
(4)画四棱锥的顶点．在Oz 上截取线段OP ，使OP ＝2.
(5)成图．连接PA′，PB′，PC′，PD′，擦去辅助线，将被遮挡部分改为虚线，可得如图②所示的直观图．
16．(1)如图1是一梯形OABC 的直观图，其直观图面积为S ，求梯形OABC 的面积；
(2)如图2所示，若在O′A′上取点D′，且梯形A′B′C′D′的面积是S ，求梯形ABCD 的面积．
解析：(1)设O′C′＝h ，
则原梯形是一个直角梯形且高为2h.
C′B′＝CB ，O′A′＝OA.
过C′作C′D⊥O′A′于D ，
则C ′D＝22
h. 由题意知12
C′D(C′B′＋O′A′)＝S ， 即
24
h(C′B′＋O′A′)＝S. 所以原直角梯形面积为 S′＝12·2h(CB＋OA)＝h(C′B＋O′A′)＝4S 2＝22S. 所以梯形OABC 的面积为22S.
(2)设O′C′＝h ，
画出原图如图所示
则OC ＝2h ，
AD ＝A′D′，BC ＝B′C′.
则S 梯形ABCD ＝(BC ＋AD)·OC·12
＝h(BC ＋AD)， 而S 梯形A′B′C′D′＝12(B′C′＋A′D′)·22
h ＝24h(BC ＋AD)＝S ，所以S 梯形ABCD ＝22S.。