高一数学苏教版必修4课件2.5 向量的应用ppt版本
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已知△ABC 的三个顶点 A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点 D，E，F
分别为边 BC，CA，AB 的中点.
(1)求直线 DE，EF，FD 的方程；
(2)求 AB 边上的高线 CH 所在直线方程.
【精彩点拨】 (1)先求出 D，E，F 的坐标，再借助共线知识求方程，(2)
借助数量积求解.
上任一点(不与
A，B
重
图 2- 5- 4
2.5 向量的应用
学业分层测评（二十三）
点击图标进入
再见
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为
2，则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，A→F＝(2,1)，D→E＝(1，
－2).
因为A→F·D→E＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.
探究2 如何利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a＝(1，k)垂直的直线l 的 方程？
【解】 (1)A→B＝(－13，－15)， →
W1＝F1·AB＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W2＝F2·A→B＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J). ∴力 F1，F2 对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.
【自主解答】
(1)由已知得点
D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，
设 M(x，y)是直线 DE 上任意一点，
则D → M∥D → E.D → M＝(x＋1，y－1)，D → E＝(－2，－2)，
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即 x－y＋2＝0 为直线 DE 的方程.
同理可求，直线 EF，FD 的方程分别为
学 业 分 层 测 评
【解析】 (1)可能A→C·C→B＝0或B→A·A→C＝0，故错误. (2)A→B∥C→D，AB，CD 亦可能在一条直线上，故错误. (3)W＝F·s＝|F|·|s|cos θ，故错误.
[基础·初探] 教材整理 向量的应用 阅读教材 P91～P92 的全部内容，完成下列问题. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
【解析】 如图所示，由于O→A＝(－3,1)，O→B＝(－2，k)， 所以A→B＝O→B－O→A＝(1，k－1).在矩形中，由O→A⊥A→B得O→A·A→B ＝0，所以(－3,1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得 k＝4.
【答案】 4
4.过点 A(3，－2)且垂直于向量 n＝(5，－3)的直线方程是________.
如图 2- 5- 1 所示，在重 300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在 铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为 30° ，60° ，求当整个系统处于平衡状态 时，两根绳子拉力的大小.
图 2- 5- 1
1.解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边
形法则对力进行分解和合成.
[再练一题] 2.如图 2-5-3，已知 O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|O→A|2＋|B→C|2＝|O→B|2 ＋|C→A|2＝|O→C|2＋|A→B|2，求证：O 为△ABC 的垂心.
图 2-5-3
【证明】 设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c， 则B→C＝c－b，C→A＝a－c，A→B＝b－a， 由题设：|O→A|2＋|B→C|2＝|O→B|2＋|C→A|2＝|O→C|2＋|A→B|2， 化简：a2＋(c－b)2＝b2＋(a－c)2＝c2＋(b－a)2，得 c·b＝a·c＝b·a， 从而A→B·O→C＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝0，∴A→B⊥O→C. 同理B→C⊥O→A，C→A⊥O→B， 所以 O 为△ABC 的垂心.
[再练一题] 3.已知点 A(2，－1). (1)求过点 A 与向量 a＝(5,1)平行的直线方程； (2)求过点 A 与向量 a＝(5,1)垂直的直线方程.
【解】 (1)设所求直线上任一点 P(x，y)，则A → P＝(x－2，y＋1). 由题意知A → P∥a，即(x－2)－5(y＋1)＝0，即 x－5y－7＝0. 故过点 A 与向量 a＝(5,1)平行的直线方程为 x－5y－7＝0. (2)设所求直线上任一点 P(x，y)，则A → P＝(x－2，y＋1). 由题意知，A → P⊥a，即A → P· a＝0， 即 5(x－2)＋(y＋1)＝0，即 5x＋y－9＝0. 故过点 A 与向量 a＝(5,1)垂直的直线方程为 5x＋y－9＝0.
向X量XX在平面几何中的应用 【提示】
设直线 l 上任意一点 P(x，y)，则P→ 0P＝(x－x0，y－y0).
由题意可知P→ 0P∥a，∴y－y0＝k(x－x0).
【精彩点拨】 法一：选取基底，并证明D→E·A→F＝0.
法二：建立平面直角坐标系证明A→F·D→E＝0.
【自主解答】
法一：设A → D＝a，A → B＝b，则|a|＝|b|，a· b＝0，
【解析】
设 P(x，y)为直线上的任意一点，
∴A → P＝(x－3，y＋2)，A → P⊥n，
∴5(x－3)－3(y＋2)＝0，
即 5x－3y－21＝0.
【答案】 5x－3y－21＝0
5.如图 2- 5- 4，已知 AB 是⊙O 的直径，点 合)，求证：∠APB＝90° .(用向量方法证明)
P
是⊙O
【答案】 (1,2)
2.飞机以 300 km/h 的速度向上飞行，方向与水平面成 30°角，则飞机在水平 方向的分速度大小是______km/h.
【解析】 由速度的分解可知水平方向的分速度大小为 300×cos 30°＝ 150 3(km/h).
【答案】 150 3
3.在 OA 为边，OB 为对角线的矩形中，O → A＝(－3,1)，O → B＝(－2，k)，则实 数 k＝________. 【导学号：48582117】
【提示】 设直线l上任意一点P(x，y)，则P→0P＝(x－x0，y－y0). 由题意可知P→0P⊥a，∴(x－x0)＋k(y－y0)＝0.
1.会用向量平方面法向解量决简 在单 解的 析物 几理何问中题的及应其用他的一些实际问题.
2.会用向量方法解决某些简单的几何问题.(重点、难点)
如图 2- 5- 2 点，求证：AF⊥DE.
2.解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图
形，将物理量之间的关系抽象为数学模型.
[再练一题] 1.已知两恒力 F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点 A(20,15) 移动到点 B(7,0). (1)求 F1，F2 分别对质点所做的功； (2)求 F1，F2 的合力 F 对质点所做的功.
(2)W＝F·A→B＝(F1＋F2)·A→B ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J). ∴合力 F 对质点所做的功为－102 J.
探究1 如何利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a＝(1，k)平行的直线l的 方程？
所示，在正方形
ABCD
中，E，F 分别是 AB，BC 的中 【导学号：48582116】
图 2- 5- 2
用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常见思路： (1)向量的线性运算法：
选取基底 → 把待证问题用基底线性表示 → 利用向量的线性运算或数量积找相应关系 → 把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法： 建立适当的坐标系 → 把相关量坐标向量化 → 利用向量的坐标运算找相应关系 → 把向量问题几何化 但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用.
【答案】 (1)× (2)× (3)×
【精彩点拨】 解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意 力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则.
向量在物理中的[应探用 究共研型]
【自主解答】 如图，作平行四边形 OACB，使∠AOC＝30°， ∠BOC＝60°.
在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°. |O→A|＝|O→C|cos 30°＝300× 23＝150 3(N)，|O→B|＝|O→C|sin 30°＝12×300＝150(N). 故与铅垂线成 30°角的绳子的拉力是 150 3 N，与铅垂线成 60°角的绳子的 拉力是 150 N.
x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(一点，则C→N⊥A→B，∴C→N·A→B＝0. 又C→N＝(x＋6，y－2)，A→B＝(4,4)， ∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0， 即 x＋y＋4＝0 为所求直线 CH 的方程.
利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等 问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则 进行坐标运算，使问题得以解决.
又D → E＝D → A＋A → E＝－a＋b 2，A → F＝A → B＋B → F＝b＋a 2，
所以A → F· D → E＝ b＋a 2 · －a＋b 2 ＝－1 2a2－3 4a· b＋b22＝－1 2|a|2＋1 2|b|2＝0，
故A → F⊥D → E，即 AF⊥DE.
1.已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体 上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4＝________.
【解析】 由题意知 f4＝－(f1＋f2＋f3) ＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)] ＝－(－1，－2)＝(1,2).
分别为边 BC，CA，AB 的中点.
(1)求直线 DE，EF，FD 的方程；
(2)求 AB 边上的高线 CH 所在直线方程.
【精彩点拨】 (1)先求出 D，E，F 的坐标，再借助共线知识求方程，(2)
借助数量积求解.
上任一点(不与
A，B
重
图 2- 5- 4
2.5 向量的应用
学业分层测评（二十三）
点击图标进入
再见
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为
2，则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，A→F＝(2,1)，D→E＝(1，
－2).
因为A→F·D→E＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.
探究2 如何利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a＝(1，k)垂直的直线l 的 方程？
【解】 (1)A→B＝(－13，－15)， →
W1＝F1·AB＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W2＝F2·A→B＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J). ∴力 F1，F2 对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.
【自主解答】
(1)由已知得点
D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，
设 M(x，y)是直线 DE 上任意一点，
则D → M∥D → E.D → M＝(x＋1，y－1)，D → E＝(－2，－2)，
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即 x－y＋2＝0 为直线 DE 的方程.
同理可求，直线 EF，FD 的方程分别为
学 业 分 层 测 评
【解析】 (1)可能A→C·C→B＝0或B→A·A→C＝0，故错误. (2)A→B∥C→D，AB，CD 亦可能在一条直线上，故错误. (3)W＝F·s＝|F|·|s|cos θ，故错误.
[基础·初探] 教材整理 向量的应用 阅读教材 P91～P92 的全部内容，完成下列问题. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
【解析】 如图所示，由于O→A＝(－3,1)，O→B＝(－2，k)， 所以A→B＝O→B－O→A＝(1，k－1).在矩形中，由O→A⊥A→B得O→A·A→B ＝0，所以(－3,1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得 k＝4.
【答案】 4
4.过点 A(3，－2)且垂直于向量 n＝(5，－3)的直线方程是________.
如图 2- 5- 1 所示，在重 300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在 铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为 30° ，60° ，求当整个系统处于平衡状态 时，两根绳子拉力的大小.
图 2- 5- 1
1.解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边
形法则对力进行分解和合成.
[再练一题] 2.如图 2-5-3，已知 O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|O→A|2＋|B→C|2＝|O→B|2 ＋|C→A|2＝|O→C|2＋|A→B|2，求证：O 为△ABC 的垂心.
图 2-5-3
【证明】 设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c， 则B→C＝c－b，C→A＝a－c，A→B＝b－a， 由题设：|O→A|2＋|B→C|2＝|O→B|2＋|C→A|2＝|O→C|2＋|A→B|2， 化简：a2＋(c－b)2＝b2＋(a－c)2＝c2＋(b－a)2，得 c·b＝a·c＝b·a， 从而A→B·O→C＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝0，∴A→B⊥O→C. 同理B→C⊥O→A，C→A⊥O→B， 所以 O 为△ABC 的垂心.
[再练一题] 3.已知点 A(2，－1). (1)求过点 A 与向量 a＝(5,1)平行的直线方程； (2)求过点 A 与向量 a＝(5,1)垂直的直线方程.
【解】 (1)设所求直线上任一点 P(x，y)，则A → P＝(x－2，y＋1). 由题意知A → P∥a，即(x－2)－5(y＋1)＝0，即 x－5y－7＝0. 故过点 A 与向量 a＝(5,1)平行的直线方程为 x－5y－7＝0. (2)设所求直线上任一点 P(x，y)，则A → P＝(x－2，y＋1). 由题意知，A → P⊥a，即A → P· a＝0， 即 5(x－2)＋(y＋1)＝0，即 5x＋y－9＝0. 故过点 A 与向量 a＝(5,1)垂直的直线方程为 5x＋y－9＝0.
向X量XX在平面几何中的应用 【提示】
设直线 l 上任意一点 P(x，y)，则P→ 0P＝(x－x0，y－y0).
由题意可知P→ 0P∥a，∴y－y0＝k(x－x0).
【精彩点拨】 法一：选取基底，并证明D→E·A→F＝0.
法二：建立平面直角坐标系证明A→F·D→E＝0.
【自主解答】
法一：设A → D＝a，A → B＝b，则|a|＝|b|，a· b＝0，
【解析】
设 P(x，y)为直线上的任意一点，
∴A → P＝(x－3，y＋2)，A → P⊥n，
∴5(x－3)－3(y＋2)＝0，
即 5x－3y－21＝0.
【答案】 5x－3y－21＝0
5.如图 2- 5- 4，已知 AB 是⊙O 的直径，点 合)，求证：∠APB＝90° .(用向量方法证明)
P
是⊙O
【答案】 (1,2)
2.飞机以 300 km/h 的速度向上飞行，方向与水平面成 30°角，则飞机在水平 方向的分速度大小是______km/h.
【解析】 由速度的分解可知水平方向的分速度大小为 300×cos 30°＝ 150 3(km/h).
【答案】 150 3
3.在 OA 为边，OB 为对角线的矩形中，O → A＝(－3,1)，O → B＝(－2，k)，则实 数 k＝________. 【导学号：48582117】
【提示】 设直线l上任意一点P(x，y)，则P→0P＝(x－x0，y－y0). 由题意可知P→0P⊥a，∴(x－x0)＋k(y－y0)＝0.
1.会用向量平方面法向解量决简 在单 解的 析物 几理何问中题的及应其用他的一些实际问题.
2.会用向量方法解决某些简单的几何问题.(重点、难点)
如图 2- 5- 2 点，求证：AF⊥DE.
2.解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图
形，将物理量之间的关系抽象为数学模型.
[再练一题] 1.已知两恒力 F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点 A(20,15) 移动到点 B(7,0). (1)求 F1，F2 分别对质点所做的功； (2)求 F1，F2 的合力 F 对质点所做的功.
(2)W＝F·A→B＝(F1＋F2)·A→B ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J). ∴合力 F 对质点所做的功为－102 J.
探究1 如何利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a＝(1，k)平行的直线l的 方程？
所示，在正方形
ABCD
中，E，F 分别是 AB，BC 的中 【导学号：48582116】
图 2- 5- 2
用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常见思路： (1)向量的线性运算法：
选取基底 → 把待证问题用基底线性表示 → 利用向量的线性运算或数量积找相应关系 → 把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法： 建立适当的坐标系 → 把相关量坐标向量化 → 利用向量的坐标运算找相应关系 → 把向量问题几何化 但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用.
【答案】 (1)× (2)× (3)×
【精彩点拨】 解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意 力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则.
向量在物理中的[应探用 究共研型]
【自主解答】 如图，作平行四边形 OACB，使∠AOC＝30°， ∠BOC＝60°.
在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°. |O→A|＝|O→C|cos 30°＝300× 23＝150 3(N)，|O→B|＝|O→C|sin 30°＝12×300＝150(N). 故与铅垂线成 30°角的绳子的拉力是 150 3 N，与铅垂线成 60°角的绳子的 拉力是 150 N.
x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(一点，则C→N⊥A→B，∴C→N·A→B＝0. 又C→N＝(x＋6，y－2)，A→B＝(4,4)， ∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0， 即 x＋y＋4＝0 为所求直线 CH 的方程.
利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等 问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则 进行坐标运算，使问题得以解决.
又D → E＝D → A＋A → E＝－a＋b 2，A → F＝A → B＋B → F＝b＋a 2，
所以A → F· D → E＝ b＋a 2 · －a＋b 2 ＝－1 2a2－3 4a· b＋b22＝－1 2|a|2＋1 2|b|2＝0，
故A → F⊥D → E，即 AF⊥DE.
1.已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体 上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4＝________.
【解析】 由题意知 f4＝－(f1＋f2＋f3) ＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)] ＝－(－1，－2)＝(1,2).