高中数学立体几何真题试题大全

立体几何高考试题汇总
(01春)假设有平面α与β，且l P P l ∉α∈β⊥α=βα,,, ，那么以下命题中的假命题为〔 〕
〔A 〕过点P 且垂直于α的直线平行于β．〔B 〕过点P 且垂直于l 的平面垂直于β． 〔C 〕过点P 且垂直于β的直线在α． 〔D 〕过点P 且垂直于l 的直线在α．
〔01〕a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，那么以下命题中的假命题是〔 〕D
A. 假设a ∥b ，那么α∥β
B.假设α⊥β，那么a ⊥b
C.假设a 、b 相交，那么α、β相交
D.假设α、β相交，那么a 、b 相交
(02春)以以下图表示一个正方体外表的一种展开图，图中四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在
原正方体中相互异面的有对。

3
(02)假设正四棱锥的底面边长为cm 32,体积为34cm ，那么它的侧面与底面所成的二面角的大小是 30
(03春)关于直线l b a ,,以及平面N M ,，以下命题中正确的选项是( ).
(A) 假设M b M a //,//,那么b a // (B) 假设a b M a ⊥,//,那么M b ⊥
(C) 假设M b M a ⊂⊂,,且b l a l ⊥⊥,,那么M l ⊥
(D) 假设N a M a //,⊥,那么N M ⊥ D
(03) 在正四棱锥P —ABCD 中，假设侧面与底面所成二面角的大小为60°，那么异面直线PA 与BC 所成角的大小等于.〔结果用反三角函数值表示〕arctg2 (03)在以下条件中，可判断平面α与β平行的是 〔 〕 A ．α、β都垂直于平面r .
B ．α存在不共线的三点到β的距离相等.
C ．l ，m 是α两条直线，且l ∥β，m ∥β.
D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β. D (04春)如图,在底面边长为2的正三棱锥V-ABC 中,
E 是BC 的中点,假设△VAE 的面积是4
1
,那么侧棱VA 与底面所成角的大小为(结果用反三角函数表示)
arctg
4
1 (04) 在以下关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是( ) (A)假设l ⊂β且α⊥β,那么l⊥α. (B) 假设l⊥β且α∥β,那么l⊥α. (C) 假设l⊥β且α⊥β,那么l∥α. (D) 假设α∩β=m 且l∥m,那么l∥α. B
(05春)直线n m l 、、及平面α，以下命题中的假命题是
〔A 〕假设//l m ，//m n ，那么//l n .〔B 〕假设l α⊥，//n α，那么l n ⊥.
〔C 〕假设l m ⊥，//m n ，那么l n ⊥. 〔D 〕假设//l α，//n α，那么//l n .D
(05)有两个一样的直三棱柱,高为a
2
,底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,那么a 的取值围
是．0<a<
3
15 (06春)正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，那么其体积为.
3
16 (06文)假设空间中有两条直线，那么“这两条直线为异面直线〞是“这两条直线没有公共点〞的〔 〕
〔A 〕充分非必要条件 〔B 〕必要非充分条件
〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既非充分又非必要条件 A
(06理)假设空间中有四个点，那么“这四个点中有三点在同一直线上〞是“这四个点在同一平面上〞的 [答]〔 〕A
〔A 〕充分非必要条件；〔B 〕必要非充分条件；〔C 〕充要条件；〔D 〕非充分非必要条件．
1C
C
B
1B
1A
A
(07文) 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，
90=∠ACB ，
21=AA ，1==BC AC ，那么异面直线B A 1与AC 所成角的
大小是〔结果用反三角函数值表示〕．
6
6
arccos
(07理)在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． αβ，是两个 相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是
直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件：
．21//s s ，并且1t 与2t 相交〔//1t 2t ，并且1s 与2s 相交〕
(01春) 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器〔如图〕，设容器的高为h 米，盖子边长为a 米．
〔1〕求a 关于h 的函数解析式； 〔2〕设容器的容积为V 立方米，那么当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值．
〔求解此题时，不计容器的厚度〕 解〔1〕设'h 为正四棱锥的斜高
由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=⋅+,'h a 41h ,2a 'h 2
14a 2222
解得)0(1
12
>+=
h h a
〔2〕)0()
1(33122>+==h h h
ha V
易得)
h
1h (31V +=
因为2121=⋅≥+
h h h h ，所以6
1≤V 等式当且仅当h
h 1
=
，即1=h 时取得。

故当1=h 米时，V 有最大值，V 的最大值为
6
1
立方米． (01春) 在长方体1111D C B A ABCD -中，点E 、F 分别1BB 、1DD 上，且B A AE 1⊥，D A AF 1⊥。

〔1〕求证：AEF C A 平面⊥1；
〔2〕假设规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角〔或直角〕，那么在空间中有定理：假设两条直线分别垂直于两个平面，那么这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等。

试根据上述定理，在4=AB ，3=AD ，51=AA 时，求平面AEF 与平面BD B D 11所成的角的大小。

〔用反三角函数值表示〕
证〔1〕因为B A CB 1平面⊥，所C A 1在平面B A 1上的射影为B A 1
由B A AE AE B A 11,平面⊂⊥，得AE C A ⊥1， 同理可证AF C A ⊥1 因为AE C A AF C A ⊥⊥11, 所以AEF C A 平面⊥1
解〔2〕过A 作BD 的垂线交CD 于G ， 因为AG D D ⊥1，所以BD B D AG 11平面⊥
设AG 与C A 1所成的角为α，那么α即为平面AEF 与平面BD B D 11所成的角． 由，计算得4
9=
DG ． 如图建立直角坐标系，那么得点(0,0,0)A ，
)0,3,4(),5,0,0(),0,3,49
(1C A G ， }5,3,4{},0,3,49
{1-==C A AG ，
因为AG 与C A 1所成的角为α 所以25
2
12||||cos 11=⋅⋅=
αC A AG C A AG
25
2
12arccos
=α 由定理知，平面AEF 与平面CEF 所成角的大小为25
2
12arccos
(01) 在棱长为a 的正方体OABC －O'A'B'C'中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE=BF.
〔1〕求证：A'F ⊥C'E ；
〔2〕当三棱锥B'－BEF 的体积取得最大值时，求二面角B'－EF －B 的大小.〔结果用反三角函数表示〕 〔1〕利用空间直角坐标系证明；
〔2〕arctan2
(02春) 如图，三棱柱OAB-O 1A 1B 1，平面OBB 1O 1
⊥平面OAB ，O 1OB=60°，∠AOB=90°，且OB= OO 1=2，
OA=√3。

求：〔１〕二面角Ｏ１－ＡＢ－Ｏ大小；
〔２〕异面直线Ａ１Ｂ与ＡＯ１所成角的大小。

〔上述结果用反三角函数值表示〕
[解] 〔1〕取OB 的中点D ，连结O 1D ，那么O 1D⊥OB。

∵平面OBB 1O 1⊥平面OAB ， ∴O 1D⊥平面OAB
过D 作AB 的垂线，垂足为E ，连结O 1E ，那么O 1E⊥AB。

∴∠DEO 1为二面角O 1-AB-O 的平面角。

由题设得O 1D=√3， ∴DE=DBsin∠OBA=√21/7. ∵在Rt△O 1DE 中，tg∠DEO 1=√7,
∴∠DEO 1=arctg√7.即二面角O 1-AB-O 的大小为arctg√7.
(2)以O 点为原点，分别以OA 、OB 所在直线为x 、y 轴、过O 点且与平面AOB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，那么
O 〔0，0，0〕，O1〔0，1，√3〕，A 〔√3，0，0〕，A1〔√3，1，√3〕，B 〔0，2，0〕。

设异面直线A 1B 与AO 1所成角为α，
(02)如图，在直三棱柱'''O B A ABO -中，4'=OO ，
90,3,4=∠==AOB OB OA ，D 是线段''B A 的
中点，P 是侧棱'BB 上的一点，假设BD OP ⊥，求AOB 所成角的大小。

〔结果用反三角函数值表示〕
[解法一]
如图,以O 点为原点建立空间直角坐标系
由题意，有)4,2,2
3
(),0,0,3(D B 设),0,3(z P ，那么
}
,0,3{},4,2,2
3
{z OP BD =-= 因为OP
BD ⊥ 0
42
9
=+-=⋅z OP BD 89=z
因为⊥'BB 平面AOB
POB
∴是OP 与底面AOB 所成的角 8
38
3
arctg
POB POB tg =∠∴=
∠
[解法二]取''B O 中点E ，连结DE 、BE ，那么
⊥
DE 平面''O OBB BE
∴是BD 在平面''O OBB 的射影。

又因为BD
OP ⊥ 由三垂线定理的逆定理，得BE OP ⊥ 在矩形''O OBB 中，易得E BB Rt OBP Rt
'~∆∆ ,''BB OB E B BP =∴得8
9=BP 〔以下同解法一〕
(03春)三棱柱111C B A ABC -，在某个空间直角坐标系中，1A 1B
}.,0,0{},0,0,{},0,2
3,2{1n AA m AC m m AB ==-=其中0,>n m C
(1) 证明：三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱；A B (2) 假设n m 2=，求直线1CA 与平面11ABB A 所成角的大小.
〔2〕
4
π (03)平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AB=4，AD=2.假设B 1D ⊥BC ，直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，求平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积. [解]连结BD ，因为B 1B ⊥平面ABCD ，B 1D ⊥BC ，所以BC ⊥BD.
在△BCD 中，BC=2，CD=4，所以BD=32.
又因为直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，所以 ∠B 1DB=30°，于是BB 1=
3
1BD=2.
O’ A’
E D B’
P O A
故平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为S ABCD ·BB 1=38. (04春)如图,点P 为斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点,PM⊥BB 1交AA 1于点M,PN⊥BB 1交CC 1于点N. (1) 求证：CC 1⊥MN;(6分)
(2) 在任意△DEF 中有余弦定理：
DE 2=DF 2+EF 2－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间,类比三角形的余弦
定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之
间的关系式,并予以证明.(8分)
证明：(1) ∵CC 1∥BB 1, ∴CC 1⊥PM, CC 1⊥PN,且PM 、PN 相交于点P,
∴CC 1⊥平面PMN. ∵MN ⊂平面PMN, ∴CC 1⊥MN. 解：(2)在钭三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,有 S 211A ABB =S 211B BCC +S 2
11A ACC －2S 11B BCC S 11A ACC cosα
其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所组成的二面角
∵ CC 1⊥平面PMN,
∴平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所组成的二面角为∠MNP …
在△PMN 中,PM 2=PN 2+MN 2－2PN·MNcos∠MNP, PM 2·CC 2
1= PN 2·CC 2
1+ MN 2·CC 2
1－2(PN·CC 1)(MN·CC 1) cos∠MNP 由于S 11B BCC = PN·CC 1, S 11A ACC = MN·CC 1, S 11A ABB =PM·BB 1及CC 1=BB 1, 那么S 2
11A ABB =S 2
11B BCC +S 2
11A ACC －2S 11B BCC S 11A ACC cosα (04)某单位用木料制作如以下图的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y
分别为多少(准确到0.001m) 时用料最省? 【解】由题意得
xy+41x 2=8,∴y=
x x 482-
=4
8x x -(0<x<42). 于定, 框架用料长度为 l=2x+2y+2(x 22)=(23+2)x+x
16
≥4246+. 当(
23+2)x=x
16,即x=8－42时等号成立. 此时, x≈2.343,y=22≈2.828.
故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省.
(05春)正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60.
〔1〕证明：BC PA ⊥；
〔2〕求底面中心O 到侧面的距离
[证明]〔1〕取BC 边的中点D ，连接AD 、PD ，
那么BC AD ⊥，BC PD ⊥，故⊥BC 平面APD . …… 4分
∴
BC PA ⊥. …… 6分
[解]〔2〕如图， 由〔1〕可知平面⊥PBC 平面APD ，那么PDA ∠是侧面与底面所成二面角的
平面角.
过点O 作E PD OE ,
⊥为垂足，
那么OE 就是点O 到侧面
的距离. …… 9分
设OE 为h ，由题意可知点O 在AD 上，
∴ 60=∠PDO ，h OP 2=.
h BC h OD 4,3
2=∴=
, …… 11分
∴2234)4(43
h h S ABC ==
∆， ∵3
23
3823431372h h h =⋅⋅=，∴3=h .
即底面中心O 到侧面的距离为3.
(05文)长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是BB 1和BC 的中点,AB=4,AD=2.B 1D 与平面ABCD 所成角的大小为60°,求异面直线B 1D 与MN 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) [解]联结B 1C,由M 、N 分别是BB 1和BC 的中点,得B 1C∥MN, ∴∠DB 1C 就是异面直线B 1D 与MN 所成的角.
联结BD,在Rt△ABD 中,可得BD=25,又BB 1⊥平面ABCD, ∠B 1DB 是B 1D 与平面ABCD 所成的角, ∴∠B 1DB=60°.
在Rt△B 1BD 中, B 1B=BDtan60°=215, 又DC⊥平面BB 1C 1C, ∴DC⊥B 1C, 在Rt△DB 1C 中, tan∠DB 1C=
2
12
121=
+=BB BC DC C
B DC
, ∴∠DB 1C=arctan
2
1. 即异面直线B 1D 与MN 所成角的大小为arctan
2
1. (05理)直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中, AA 1=2底面ABCD 是直角梯形,∠A为直角,AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,.求异面直线BC 1与DC 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)
P
B
C
A O
[解]由题意AB∥CD,∴∠C 1BA 是异面直线BC 1与DC 所成
的角.连结AC 1与AC,在Rt△ADC 中,可得AC=5. 又在Rt△ACC 1中,可得AC 1=3.
在梯形ABCD 中,过C 作CH∥AD 交AB 于H, 得∠CHB=90°,CH=2,HB=3, ∴CB=13. 又在Rt△CBC 1中,可得BC 1=17, 在△ABC 1中,cos∠C 1BA=
17173,∴∠C 1BA=arccos 17
17
3 异面直线BC 1与DC 所成角的大小为arccos
17
17
3 另解:如图,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在 直线为x 、y 、z 轴建立直角坐标系. 那么C 1(0,1,2),B(2,4,0), ∴1BC =(-2,-3,2),
CD =(0,-1,0),设1BC 与CD 所成的角为θ,
那么CD
BC ⋅11=
17173,θ= arccos 17
17
3. 异面直线BC 1与DC 所成角的大小为arccos
17
17
3 (06春)在长方体1111D C B A ABCD -中，DA=DC=4,DD 1=3,求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小(结果用反三角函数表示). [解法一]连接A 1D
∵A 1D∥B 1C, ∴∠BA 1D 是异面直线A 1B 与B 1C 所成的角 ……4分 连接BD,在△A 1DB 中,AB=A 1D=5,BD=42 ……6分
cos∠BA 1D=D
A B A BD D A B A 112
21212⋅⋅-+
=
5
52322525⋅⋅-+=259
……10分 ∴异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小为arccos
25
9
……12分 [解法二]以D 为坐标原点,DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z
轴,建立空间直角坐标
系. ……2分 那么A 1(4,0,3) 、B(4,4,0) 、B 1(4,4,3) 、C(0,4,0), 得B A 1=(0,4,-3),C B 1=( -4,0,-3) ……6分 设B A 1与C B 1的夹角为θ, cosθ=
C
B B A
C B B A 1111⋅⋅=
25
9
……10分 ∴异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小为arccos
25
9 (06文)在直三棱柱ABC ABC -中，90,1ABC AB BC ∠===. 〔1〕求异面直线11B C 与AC 所成的角的大小；
〔2〕假设1A C 与平面ABC S 所成角为45，求三棱锥1A ABC -的体积
解：(1) ∵BC ∥B 1C 1, ∴∠ACB 为异面直线B 1C 1与AC 所成角(或它的补角) ∵∠AB C=90°, A B=BC=1, ∴∠ACB=45°, ∴异面直线B 1C 1与AC 所成角为45°. (2) ∵AA 1⊥平面ABC,
∠ACA 1是A 1C 与平面ABC 所成的角, ∠ACA =45°.
∵∠AB C=90°, A B=BC=1,AC=2, ∴AA 1=2.
∴三棱锥A 1-ABC 的体积V=
3
1
S △ABC ×AA 1=26.
(06理)在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60
，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60
．
〔1〕求四棱锥P －ABCD 的体积；
〔2〕假设E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕
[解]〔1〕在四棱锥P-ABCD 中,由PO⊥平面ABCD,
得
∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角, ∠PBO=60°. 在Rt△AOB
中
BO=ABsin30°=1, 由
PO⊥BO, 于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23.
∴四棱锥P-ABCD 的体积
V=3
1
×23×3=2.
〔2〕解法一：以O 为坐标原点,射线OB 、OC 、
P
A
B
C
D
O E
OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系.
在Rt△AOB 中OA=3,于是,点A 、B 、 D 、P 的坐标分别是A(0,－3,0), B(1,0,0),D(－1,0,0), P(0,0, 3).
E 是PB 的中点,那么E(
21,0,23) 于是DE =(2
3,0, 23),AP =(0, 3,3).
设AP 与DE 的夹角为θ,有cosθ=42334
3
4923
=+⋅+,θ=arccos 42, ∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos 4
2； 解法二：取AB 的中点F,连接EF 、DF.
由E 是PB 的中点,得EF∥PA， ∴∠FED 是异面直线DE 与PA 所成 角(或它的补角)，
在Rt△AOB 中AO=ABcos30°=3=OP ， 于是, 在等腰Rt△POA 中， PA=6，那么EF=
2
6. 在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF=3，
cos∠FED=3
4621=DE EF
=42
∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos
4
2
. (07春)如图，在棱长为2的正方体D C B A ABCD ''''-中，F E 、分别是B A ''和AB 的中点，求异面直线F A '与CE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示〕
[解法一] 如图建立空间直角坐标系. ……2分 由题意可知)0,1,2(),2,1,2(),0,2,0(),2,0,2(F E C A '.
)2,1,2(),2,1,0(-=-='∴CE F A . ……6分
设直线F A '与CE 所成角为θ，那么
3
5
3
55cos =
⋅=
⋅'⋅'=
CE
F A CE F A θ. ……10分
3
5arccos
=∴θ， 即异面直线F A '与CE 所成角的大小为3
5
arccos
. ……12分 [解法二] 连接EB ， ……2分
BF E A //' ，且BF E A ='，FBE A '∴是平行四边形，那么EB F A //'， ∴ 异面直线F A '与CE 所成的角就是CE 与EB 所成的角. ……6分
由⊥CB 平面A B AB ''，得BE CB ⊥. 在Rt △CEB 中，5,
2==BE CB ，那么
5
5
2tan =
∠CEB ， ……10分 ∴5
5
2arctan
=∠CEB . ∴ 异面直线F A '与CE 所成角的大小为5
5
2arctan
. (07文)在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为
60，求 正四棱锥ABCD P -的体积V ．
解：作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O ．连接AO ，O 是 正方形ABCD 的中心，PAO ∠是直线PA 与平面
ABCD 所成的角．
PAO ∠＝
60，2=PA ．∴3=PO ． 1=AO ，2=AB ，
1123
3233ABCD V PO S ∴===
17．解： 由题意，得3
cos 5B B =，为锐角，5
4sin =B ，
102
74π3sin )πsin(sin =
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得7
10
=
c ， ∴111048sin 22
2
757
S ac B ==⨯⨯
⨯=． (07理) 如图，在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中，1,90===∠BC AC ACB
．求直线B A 1与
平面C C BB 11所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕．
P
B
C
A D
解法一： 由题意，可得体积
11
111
122
ABC V CC S CC AC BC CC ====△， ∴211==CC AA ．
连接1BC ．
1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，
⊥∴11C A 平面C C BB 11，
11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角．
522
11=+=BC CC BC ，
5
1tan 11111==
∠∴BC C A BC A ，那么 11BC A ∠＝55arctan ． 即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为5
5
arctan
． 解法二： 由题意，可得 体积11
111
122
ABC V CC S CC AC BC CC ∆====， 21=∴CC ，
如图，建立空间直角坐标系． 得点(010)B ，，， 1(002)C ，，，1(102)A ，，． 那么1(112)A B =--，
，， 平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，
． 设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，B A 1与n 的夹角为ϕ， 那么116
cos 6A B n A B
n ϕ=
=-
，6
6arcsin ,66|cos |sin ===∴θϕθ，
即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为6
6
arcsin
． 17．解： 由题意，得3
cos 5B B =，为锐角，5
4sin =B ，
102
74π3sin )πsin(sin =
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ，
由正弦定理得7
10=
c ， ∴111048
sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=．。