2020-2021中考数学初中数学 旋转综合题及详细答案

2020-2021中考数学初中数学 旋转综合题及详细答案
一、旋转
1．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。

（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值。

【答案】（1）1
302α︒-（2）见解析（3）30α=︒
【解析】解：（1）1
302
α︒-。

（2）△ABE 为等边三角形。

证明如下：
连接AD ，CD ，ED ，
∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ， ∴BC=BD ，∠DBC=60°。

又∵∠ABE=60°，
∴1
ABD 60DBE EBC 302
α∠=︒-∠=∠=︒-且△BCD 为等边三角形。

在△ABD 与△ACD 中，∵AB=AC ，AD=AD ，BD=CD ，
∴△ABD ≌△ACD （SSS ）。

∴1
1BAD CAD BAC 22
α∠=∠=∠=。

∵∠BCE=150°，∴11
BEC 180(30)15022
αα∠=︒-︒--︒=。

∴BEC BAD ∠=∠。

在△ABD 和△EBC 中，∵BEC BAD ∠=∠，EBC ABD ∠=∠，BC=BD ， ∴△ABD ≌△EBC （AAS ）。

∴AB=BE 。

∴△ABE 为等边三角形。

（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴DCE 1506090∠=︒-︒=︒。

又∵∠DEC=45°，∴△DCE 为等腰直角三角形。

∴DC=CE=BC 。

∵∠BCE=150°，∴(180150)
EBC 152
︒-︒∠=
=︒。

而1
EBC 30152
α∠=︒-=︒。

∴30α=︒。

（1）∵AB=AC ，∠BAC=α，∴180ABC 2
α
︒-∠=。

∵将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ，∴DBC 60∠=︒。

∴180ABD ABC DBC 603022
αα
︒-∠=∠-∠=
-︒=︒-。

（2）由SSS 证明△ABD ≌△ACD ，由AAS 证明△ABD ≌△EBC ，即可根据有一个角等于60︒的等腰三角
形是等边三角形的判定得出结论。

（3）通过证明△DCE 为等腰直角三角形得出(180150)
EBC 152
︒-︒∠==︒，由（1）
1
EBC 302α∠=︒-，从
而1
30152
α︒-=︒，解之即可。

2．（探索发现）
如图，ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，将ACD ∆绕点A 逆时针旋转
60︒得到AEF ∆，连接CE .小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形. 小明是这样想的：
（1）请参考小明的思路写出证明过程；
（2）直接写出线段CD ，CF ，AC 之间的数量关系：______________； （理解运用）
如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D .将ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，延
长FE 与BC ，交于点G .
（3）判断四边形ADGF 的形状，并说明理由； （拓展迁移）
（4）在（3）的前提下，如图，将AFE ∆沿AE 折叠得到AME ∆，连接MB ，若
6AD =，2BD =，求MB 的长.
【答案】（1）详见解析；（2）CD CF AC +=；（3）四边形ADGF 是正方形；（4）
13【解析】 【分析】
（1）根据旋转得：△ACE 是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE ，则四边形ABCE 是菱形； （2）先证明C 、F 、E 在同一直线上，再证明△BAD ≌△CAF （SAS ），则∠ADB=∠AFC ，BD=CF ，可得AC=CF+CD ；
（3）先根据∠ADC=∠DAF=∠F=90°，证明得四边形ADGF 是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF 是正方形；
（4）证明△BAM ≌△EAD （SAS ），根据BM=DE 及勾股定理可得结论． 【详解】
（1）证明：∵ABC ∆是等边三角形， ∴AB BC AC ==.
∵ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆， ∴60CAE =︒，AC AE =. ∴ACE ∆是等边三角形. ∴AC AE CE ==. ∴AB BC CE AE ===. ∴四边形ABCE 是菱形.
（2）线段DC ，CF ，AC 之间的数量关系：CD CF AC +=. （3）四边形ADGF 是正方形.理由如下： ∵Rt ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆， ∴AF AD =，90DAF ∠=︒. ∵AD BC ⊥，
∴90ADC DAF F ∠=∠=∠=︒. ∴四边形ADGF 是矩形.
∵AF AD =，
∴四边形ADGF 是正方形. （4）如图，连接DE .
∵四边形ADGF 是正方形， ∴6DG FG AD AF ====.
∵ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，
∴BAD EAF ∠=∠，2BD EF ==，∴624EG FG EF =-=-=. ∵将AFE ∆沿AE 折叠得到AME ∆， ∴MAE FAE ∠=∠，AF AM =. ∴BAD EAM ∠=∠.
∴BAD DAM EAM DAM ∠+∠=∠+∠，即BAM DAE ∠=∠. ∵AF AD =， ∴AM AD =.
在BAM ∆和EAD ∆中，AM AD BAM DAE AB AE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()BAM EAD SAS ∆≅∆. ∴222246213BM DE EG DG ==+=+=
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．
3．如图，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ，连接EF ，交对角线BD 于点G ，连接AG ． （1）根据题意补全图形；
（2）判定AG 与EF 的位置关系并证明； （3）当AB=3，BE=2时，求线段BG 的长．
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)25
.
【解析】
【分析】
（1）根据题意补全图形即可；
（2）先判断出△ADF≌△ABE，进而判断出点C，D，F共线，即可判断出△DFG≌△HEG，得出FG=EG，即可得出结论；
（3）先求出正方形的对角线BD，再求出BH，进而求出DH，即可得出HG，求和即可得出结论．
【详解】
（1）补全图形如图所示，
（2）连接DF，
由旋转知，AE=AF，∠EAF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD=AB，∠ABC=∠ADC=BAD=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
∴△ADF≌△ABE（SAS），
∴DF=BE，∠ADF=∠ABC=90°，
∴∠ADF+∠ADC=180°，
∴点C，D，F共线，
∴CF∥AB，
过点E作EH∥BC交BD于H，
∴∠BEH=∠BCD=90°，DF∥EH，
∴∠DFG=∠HEG，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠CBD=45°，
∴BE=EH，
∵∠DGF=∠HGE，
∴△DFG≌△HEG（AAS），
∴FG=EG
∵AE=AF，
∴AG⊥EF；
（3）∵BD是正方形的对角线，
∴BD=2AB=32，
由（2）知，在Rt△BEH中，BH=2BE=22，∴DG=BD-BH=2
由（2）知，△DFG≌△HEG，
∴DG=HG，
∴HG=1
2
DH=
2
2
，
∴BG=BH+HG=22+2
2=
52
2
．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，作出辅助线是解本题的关键．
4．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD 中点．
（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；
（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；
（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）△FGH是等边三角形；（2）61
2
；（3）△FGH的周长最大值为
3
2
（a+b），最小值为3
2
（a﹣b）．
【解析】
试题分析：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；、
（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；
（3）首先证明△GFH的周长=3GF=3
2
BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；
试题解析：解：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：
如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=1
2
BD，GF∥BD，
∵DF=EF，DH=HC，∴FH=1
2
EC，FH∥EC，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，
∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DMC+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°
∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△GHF是等边三角形，故答案为：等边三角形．（2）如图2中，连接AF、EC．
易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF22
21
-3，在Rt△ABF中，
BF22
AB AF
-6，∴BD=CE=BF﹣DF61，∴FH=1
2
EC
61
-
．
（3）存在．理由如下．
由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=1
2
BD，∴△GFH的周长=3GF=
3
2
BD，在△ABD
中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，∴△FGH的周长最大值为3 2
（a+b），最小值为3
2
（a﹣b）．
点睛：本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的
三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．
5．如图1．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 为△ABC 内一点．
（1）连接PB 、PC ，将△BCP 沿射线CA 方向平移，得到△DAE ，点B 、C 、P 的对应点分别为点D 、A 、E ，连接CE ． ①依题意，请在图2中补全图形；
②如果BP ⊥CE ，AB ＋BP ＝9，CE ＝33，求AB 的长．
（2）如图3，以点A 为旋转中心，将△ABP 顺时针旋转60°得到△AMN ，连接PA 、PB 、PC ，当AC ＝4，AB ＝8时，根据此图求PA ＋PB ＋PC 的最小值．
【答案】⑴①见解析，②AB ＝6；⑵47. 【解析】
分析：（1）①根据题意补全图形即可；
②连接BD 、CD ．根据平移的性质和∠ACB ＝90°，得到四边形BCAD 是矩形，从而有CD ＝AB ，设CD ＝AB ＝x ，则PB ＝DE ＝9x -， 由勾股定理求解即可；
（2）当C 、P 、M 、N 四点共线时，PA ＋PB ＋PC 最小．由旋转的性质和勾股定理求解即可．
详解：（1）①补全图形如图所示；
②如图：连接BD 、CD ．
∵△BCP 沿射线CA 方向平移，得到△DAE ， ∴BC ∥AD 且BC ＝AD ，PB ＝DE ． ∵∠ACB ＝90°，
∴四边形BCAD 是矩形，∴CD ＝AB ，设CD ＝AB ＝x ，则PB ＝9x -， DE ＝BP ＝9x -，
∵BP ⊥CE ，BP ∥DE ，∴DE ⊥CE ， ∴2
2
2
CE DE CD +=，∴(()2
2
233
9x x +-=，
∴6x =，即AB ＝6；
（2）如图，当C、P、M、N四点共线时，PA＋PB＋PC最小．
由旋转可得：△AMN≌△APB，∴PB＝MN．
易得△APM、△ABN都是等边三角形，∴PA＝PM，
∴PA＋PB＋PC＝PM＋MN＋PC＝CN，
∴BN＝AB＝8，∠BNA＝60°，∠PAM＝60°，
∴∠CAN＝∠CAB＋∠BAN＝60°＋60°＝120°，
∴∠CBN＝90°．
在Rt△ABC中，易得：2222
-=-=，
=8443
BC AB AC
∴在Rt△BCN中，22486447
=+=+=．
CN BC BN
点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解．
6．如图1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，直线l经过点C，AF⊥l于点F，BE⊥l于点E．（1）求证：△ACF≌△CBE；
（2）将直线旋转到如图2所示位置，点D是AB的中点，连接DE．若AB=42，
∠CBE=30°，求DE的长．
+
【答案】（1）答案见解析；（226
【解析】
试题分析：（1）根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACB=90°，根据全等三角形的性质得到
∠EBC=∠CAF，即可得到结论；
（2）连接CD，DF，证得△BCE≌△ACF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，CE=AF，证得△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF2DE，EF=CE+BE，进而得
到DE的长．
试题解析：解：（1）∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．
在△BCE与△ACF中，∵
90
AFC BEC
EBC ACF
BC AC
∠=∠=︒
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△ACF≌△CBE（AAS）；
（2）如图2，连接CD，DF．∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．
在△BCE与△CAF中，∵
90
AFC BEC
EBC ACF
BC AC
∠=∠=︒
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△BCE≌△CAF（AAS）；
∴BE=CF．∵点D是AB的中点，∴CD=BD，∠CDB=90°，∴∠CBD=∠ACD=45°，而
∠EBC=∠CAF，∴∠EBD=∠DCF．在△BDE与△CDF中，∵
BE CF
EBD FCD
BD CF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠EDB=∠FDC，DE=DF．∵∠BDE+∠CDE=90°，
∴∠FDC+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴EF=2DE，
∴EF=CE+CF
=CE+BE．∵CA=CB，∠ACB=90°，AB=42，∴BC=4．又∵∠CBE=30°，
∴CE=1
2BC=2，BE=3CE=23，∴EF=CE+BE=2+23，∴DE=
2
=
223
2
+
=2+6．
点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，证得△BCE≌△ACF是解题的关键．
7．已知：如图1，将两块全等的含30º角的直角三角板按图所示的方式放置，
∠BAC=∠B1A1C=30°，点B，C，B1在同一条直线上．
（1）求证：AB=2BC
（2）如图２，将△ABC绕点Ｃ顺时针旋转α°（0＜α＜180），在旋转过程中，设AB与
A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．当α等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．
（3）如图3，当△ABC绕点C顺时针方向旋转至如图所示的位置，使AB∥CB1，AB与A1C
交于点D ，试说明A 1D=CD ．
【答案】（1）证明见解析
（2）当旋转角等于30°时，AB 与A 1B 1垂直.
（3）理由见解析
【解析】
试题分析：(1)由等边三角形的性质得AB =BB 1，又因为BB 1=2BC ，得出AB =2BC ;
(2) 利用AB 与A 1B 1垂直得∠A 1ED=90°，则∠A 1DE=90°-∠A 1=60°，根据对顶角相等得∠BDC=60°，由于∠B=60°，利用三角形内角和定理得∠A 1CB=180°-∠BDC-∠B=60°，所以∠ACA 1=90°-∠A 1CB=30°，然后根据旋转的定义得到旋转角等于30°时，AB 与A 1B 1垂直；
(3)由于AB ∥CB 1，∠ACB 1=90°，根据平行线的性质得∠ADC=90°，在Rt △ADC 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=12
AC ，再根据旋转的性质得AC=A 1C ，所以CD=
12
A 1C ，则A 1D=CD ． 试题解析： （1）∵△AB
B 1是等边三角形；
∴ AB =BB 1
∵ BB 1=2BC
∴AB =2BC
（2）解：当AB 与A 1B 1垂直时，∠A 1ED=90°，
∴∠A 1DE=90°-∠A 1=90°-30°=60°，
∵∠B=60°，∴∠BCD=60°，
∴∠ACA 1=90°-60°=30°，
即当旋转角等于30°时，AB 与A 1B 1垂直.
（3）∵AB ∥CB 1，∠ACB 1=90°，
∴∠CDB=90°，即CD 是△ABC 的高，
设BC=a ，AC=b ，则由（1）得AB=2a ，A 1C=b ， ∵1122ABC S BC AC AB CD ∆=
⨯=⨯， 即11222
ab a CD =⨯⨯
∴12CD b
，即CD=12
A 1C ， ∴A 1D=CD. 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
8．已知Rt △DAB 中，∠ADB=90°，扇形DEF 中，∠EDF=30°，且DA=DB=DE ，将Rt △ADB 的边与扇形DEF 的半径DE 重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形DEF 绕点D 按顺时针方向旋转，得到扇形DE′F′，设旋转角为α（0°＜α＜180°）
（1）如图2，当0°＜α＜90°，且DF′∥AB 时，求α；
（2）如图3，当α=120°，求证：AF′=BE′．
【答案】（1）15°；（2）见解析．
【解析】
试题分析：（1）∵∠ADB=90°，DA=DB ，∴∠BAD=45°，∵DF′∥AB ，
∴∠ADF ′=∠BAD=45°，∴α=45°﹣30°=15°；
（2）∵α=120°，∴∠ADE′=120°，∴∠ADF′=120°+30°=150°，∠BDE′=360°﹣90°﹣120°=150°，∴∠ADF′=∠BDE′，在△ADF′和△BDE′中，
，
∴△ADF′≌△BDE′，∴AF′=BE′．
考点：①旋转性质；②全等三角形的判定和性质．
9．如图1，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，D 是△ABC 内部一点，∠ADC=135°，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ．
（1）①依题意补全图形；
②请判断∠ADC 和∠CDE 之间的数量关系，并直接写出答案．
（2）在（1）的条件下，连接BE ，过点C 作CM ⊥DE ，请判断线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，在正方形ABCD 中，AB=
，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出点A 到BP
的距离．
【答案】（1）①作图见解析；②∠ADC+∠CDE=180°；（2）AE=BE+2CM，理由解析；
（3）．
【解析】
试题分析：（1）①作CE⊥CD，并且线段CE是将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到的，再连接DE即可；②根据∠ADC和∠CDE是邻补角，所以∠ADC+∠CDE=180°．
（2）由（1）的条件可得A、D、E三点在同一条直线上，再通过证明△ACD≌△BCE，易得AE=BE+2CM．
（3）运用勾股定理，可得出点A到BP的距离．
试题解析：解：（1）①依题意补全图形（如图）；
②∠ADC+∠CDE=180°．
（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：
∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°．
∴∠CDE=∠CED=45°．
又∵∠ADC=135°，
∴∠ADC+∠CDE=180°，
∴A、D、E三点在同一条直线上．
∴AE=AD+DE．
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，
即∠ACD=∠BCE．
又∵AC=BC，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE．
∴AD=BE．
∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．
∴DE=2CM．
∴AE=BE+2CM．
（3）点A到BP的距离为．
考点：作图—旋转变换．
10．（1）发现
如图，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =.
填空：当点A 位于____________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a ，b 的式子表示）
（2）应用
点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE .
①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE 长的最大值.
（3）拓展
如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM ∠=︒，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.
【答案】（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是2，点P 的坐标为（22）
【解析】
【分析】
（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出
△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；
（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM ，根据当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为
22+3；如图2，过P 作PE ⊥x 轴于E ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵点A 为线段BC 外一动点，且BC=a ，AB=b ，
∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b ， 故答案为CB 的延长线上，a+b ；
（2）①CD=BE ，
理由：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形，
∴AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC ，
即∠CAD=∠EAB ，
在△CAD 与△EAB 中，
AD AB CAD EAB AC AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△CAD ≌△EAB ，
∴CD=BE ；
②∵线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，
由（1）知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上，
∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；
（3）∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，
则△APN 是等腰直角三角形，
∴PN=PA=2，BN=AM ，
∵A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（5，0），
∴OA=2，OB=5，
∴AB=3，
∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
最大值=AB+AN，
∵AN=2AP=22，
∴最大值为22+3；
如图2，过P作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE=AE=2，
∴OE=BO-AB-AE=5-3-2=2-2，
∴P（2-2，2）．
【点睛】
考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE＝140°，将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t 秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，求此时∠BOC的度数；（2）若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；
（3）若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒15°的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线OC平分∠BOD．直接写出t的值．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
【答案】（1）∠BOC＝70°；（2）存在，t＝2，t＝8或32；（3）1
2
或
37
2
.
【解析】
【分析】
（1）由图可知∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC，∠AOC可利用角平分线及平角的定义求出.
（2）分OA平分∠COD，OC平分∠AOD，OD平分∠AOC三种情况分别进行讨论，建立关于t的方程，解方程即可.
（3）分别用含t的代数式表示出∠COD和∠BOD，再根据OC平分∠BOD建立方程解方程即可，注意分情况讨论.
【详解】
（1）解：∵∠COE＝140°，
∴∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，
又∵OA平分∠COD，
∴∠AOC＝1
2
∠COD＝20°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝70°；
（2）存在
①当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC，即10°t＝20°，解得：t＝2；
②当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠DOC，即10°t﹣40°＝40°，解得：t＝8；
③当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360°﹣10°t＝40°，解得：t＝32；
综上所述：t＝2，t＝8或32；
（3）1
2
或
37
2
，理由如下：
设运动时间为t，则有
①当90+10t＝2（40+15t）时，t＝1 2
②当270﹣10t＝2（320﹣15t）时，t＝37 2
所以t 的值为12或372
． 【点睛】 本题主要考查角平分线的定义以及图形的旋转，根据题意，找到两个角之间的等量关系建立方程并分情况讨论是解题的关键.
12．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 是线段AB 上的一点（不与A 、B 重合）．过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ．将线段CE 绕点C 顺时针旋转90︒，得到线段CF ，连结EF ．设∠BCE 度数为α.
（1）①补全图形；
②试用含α的代数式表示∠CDA ．
（2）若32
EF AB = ，求α的大小． （3）直接写出线段AB 、BE 、CF 之间的数量关系．
【答案】（1）①答案见解析；②45α︒+；（2）30α=︒；（3）
22222AB CF BE =+．
【解析】
试题分析：（1）①按要求作图即可；
②由∠ACB=90°，AC=BC ，得∠ABC=45°,故可得出结论；
（2）易证FCE ∆∽ ACB ∆，得
3CF AC =；连结FA ，得△AFC 是直角三角形，求出∠ACF=30°，从而得出结论；
（3）222A 22B CF BE =+.
试题解析：（1）①补全图形．
②∵∠ACB=90°，AC=BC ，
∴∠ABC=45°
∵∠BCE=
α ∴∠CDA=45α︒+
（2）在FCE ∆和ACB ∆中，45CFE CAB ∠=∠=︒ ，90FCE ACB ∠=∠=︒ ∴ FCE ∆∽ ACB ∆ ∴ CF EF AC AB = Q 3EF AB = ∴ 32
CF AC = 连结FA ．
Q 90,90FCA ACE ECB ACE ∠=︒-∠∠=︒-∠
∴ FCA ECB ∠=∠=α
在Rt CFA ∆中，90CFA ∠=︒，3cos FCA ∠= ∴ 30FCA ∠=︒即30α=︒.
（3）22222AB CF BE =+
13．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA ＝6，点D 是射线OM 上的动点，当点D 不与点A 重合时，将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，连接DE ．
（1）如图1，求证：△CDE 是等边三角形．
（2）设OD ＝t ，
①当6＜t ＜10时，△BDE 的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE 周长的最小值；若不存在，请说明理由．
②求t 为何值时，△DEB 是直角三角形（直接写出结果即可）．
【答案】(1)见解析;(2) ①见解析; ②t ＝2或14.
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；
（2）①当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到
C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；
②存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2=t；当6＜t＜10时，此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14．
【详解】
（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形；
（2）①存在，当6＜t＜10时，
由旋转的性质得，BE＝AD，
∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，
由（1）知，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，
∴C△DBE＝CD+4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
此时，CD＝，
∴△BDE的最小周长＝CD+4＝
；
②存在，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意；
当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，
∴∠BED＝90°，
由（1）可知，△CDE是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠CEB＝30°，
∵∠CEB＝∠CDA，
∴∠CDA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ACD＝∠ADC＝30°，
∴DA＝CA＝4，
∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，
∴t＝2；
当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，
∴此时不存在；
当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，
又由（1）知∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，
而∠BDC＞0°，
∴∠BDE＞60°，
∴只能∠BDE＝90°，
从而∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝4，
∴OD＝14，
∴t＝14，
综上所述：当t＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
∠=o，将一直角三角板14．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，AOC30
()
∠=o的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线M30
AB的上方．
()1将图1中的三角板绕点O以每秒5o的速度沿逆时针方向旋转一周.如图2，经过t秒后，ON落在OC边上，则t=______秒(直接写结果)．
()2如图2，三角板继续绕点O以每秒5o的速度沿逆时针方向旋转到起点OA上.同时射线OC也绕O点以每秒10o的速度沿逆时针方向旋转一周，
∠的度数．
①当OC转动9秒时，求MOC
②运动多少秒时，MOC35
∠=o？请说明理由．
【答案】（1）6；（2）①45o；②11秒或25秒，理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)因为∠AOC=30°，所以ON落在OC边上时，三角板旋转了30°，即可求出旋转时间；
(2)在整个旋转过程中，可以看做这样一个追及问题更容易理解，即：ON绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转，同时射线OC也绕O点以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转；
①9秒时，∠NOC=45°，而OC旋转了90°，所以∠MOC的度数就是45°；
②∠MOC=35°时，应分OC与OM重合前35°与重合后35°两种情况考虑，分别进行求解即
可.
【详解】
()1AOC 30∠=o Q ，
而三角板每秒旋转5o ，
∴当ON 落在OC 边上时，有5t 30o =，
得t 6=，
故答案为6；
()2①当OC 转动9秒时，COA 30109120∠=+⨯=o o o ，
而MOA 309059165∠=++⨯=o o o o ，
又MOC MOA COA Q ∠∠∠=-，
即：MOC 16512045∠=-=o o o ，
答：当OC 转动9秒时，MOC ∠的度数为45o ；
②设OC 运动起始位置为射线OP(如图1)，运动t 秒时，MOC 35∠=o ，
则MOP 905t o ∠=+，COP 10t ∠=，
当MOC 35∠=o 时，有()905t 10t 35+-=o o 或()10t 905t 35o o
-+=，
得t 11=或t 25=，
因为三角板与射线OC 都只旋转一周，所以不考虑再次追及的情况，
故当运动11秒或25秒时，MOC 35∠=o ．
【点睛】
本题考查的是用方程的思想解决角的旋转的问题，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
15．已知∠AOB ＝90°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角板的直角顶点与C 重合，它的两条直角边分别与OA ，OB(或它们的反向延长线)相交于点D ，E.
当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时(如图①)，易证：OD ＋OE ＝2OC ； 当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD ，OE ，OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
①②③
【答案】图②中OD＋OE＝2OC成立．证明见解析;图③不成立，有数量关系：OE－OD ＝2OC
【解析】
试题分析：当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得△CKD≌△CHE，进而可得出证明；判断出结果．解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC 与OD、OE的关系；最后转化得到结论．
试题解析：图②中OD＋OE＝2OC成立．
证明：过点C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为P，Q.
有△CPD≌△CQE，
∴DP＝EQ，
∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ，
又∵OP＋OQ＝2OC，
即OD＋DP＋OE－EQ＝2OC，
∴OD＋OE＝2OC.
图③不成立，
有数量关系：OE－OD2OC
过点C分别作CK⊥OA，
CH⊥OB，
∵OC为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠KCD与∠HCE都为旋转角，
∴∠KCD=∠HCE，
∴△CKD≌△CHE，
∴DK=EH，
∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK，
由（1）知：2OC，
∴OD，OE，OC满足2OC．
点睛：本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．。