古代人的计数和运算方法

古代⼈的计数和运算⽅法
5⽉16⽇下午我听了汇师⼩学张圆⽼师的⼀节数学课《从算筹到计算器》（沪教版），本教学内容属于数学史知识，在⼈教版数学教材⾥不是教学任务，只出现在“你知道吗？”等阅读环节供学⽣有⼤致的了解。

⼤概因为授课教师从教时间短（才⼯作两年）⼜承担着区级研究课的压⼒（此次是磨课），所以课上得有点散。

本节课的教学线索记录如下：
⽤计数器、⼩棒数数（引⼊）→⼿指计数→⽯⼦计数→结绳计数→算筹计数（展开）→筹算（简单加法）→算盘计数→珠算→计算器计算→总结
我是第⼀次听这样的数学课，相对于教学⽅法⽽⾔我对本课的知识内容更感兴趣。

听完课的最⼤感受是：数学是中华古学的⼀⽀，与今天我们称⽽赞之的唐诗宋词、儒道法禅、书画琴棋、兵法武术等⼀样博⼤精深！认识到这⼀点后随之⽽来的是我⽆可躲闪的羞愧：对于如此丰厚的祖宗遗产我究竟了解多少？更不论继承和弘扬了！我们总习惯于被告知西⽅数学的发达，我们总习惯于欧⽒⼏何、⾮欧⼏何、代数、微积分的伟⼤——当然它们的确了不起；但我们在努⼒学习这些的同时，要不要也努⼒温习⼀下我们⾃⼰的数学遗产？那么就让我从本节课中
的“算筹”起开始⼀番“亡⽺补牢”的学习和思考吧！
第⼀、什么是算筹？
⽹上有这样的描述：算筹是中国古代⽤来记数、列式和进⾏各种数与式演算的⼀种⼯具。

⼜称为筹、策、算⼦等。

它最初是⼩⽵棍⼀类的⾃然物，以后逐渐发展成为专门的计算⼯具，质地与制作也愈加精致。

算筹在中国的起源很早，春秋战国时期的《⽼⼦》中就有“善数者不⽤筹策”的记述。

中国古代的算筹不仅是正、负整数与分数的四则运算和开⽅的运算的⼯具，⽽且还包含着各种特定的演算。

算筹是在珠算发明以前中国独创并且是最有效的计算⼯具。

中国古代数学的早期发达与持续发展是受惠于算筹的。

算筹的计数法则是：凡算之法，先识其位，⼀纵⼗横，百⽴千僵，千⼗相望，万百相当（《孙⼦算经》）；满六以上，五在上⽅.六不积算，五不单张（《夏阳侯算经》），如下图所⽰：
可以看出这是⼀种⼗进制计数法，采⽤纵横交错的摆法区分不同数位上的数字，遇零则空位。

第⼆、如何筹算？
算筹不仅可以计数，还能进⾏计算，称为筹算。

下⾯是正整数四则运算的筹算过程：
加法：23+73=96
减法：247－128=119（分四步）
乘法：49×36=1764（分四步，积在中间）
除法：309÷7=44⼜1/7（分五步）
如果再学下去，明显感觉吃⼒，只好作罢。

稍稍⼀瞥中已是姿容万千，其实后⾯的内容相当丰富，我们会感叹于⾃⾝的孤陋和愚钝，正如⼀位⽹友在学习筹算除法时所说：这个是我绞尽脑汁的,⾄今⽆法参透筹算的除法⽅法(能理解微积分,居然被除法玩死了)。

第三、算筹的意义何在？
算筹作为中国独创的在古代相当长时间⾥⼗分先进和成熟的计算⼯具曾发挥过⼗分强⼤的作⽤：其⼀、⽀撑起古代发达的计算及数学体系。

我国古代数学的突出特点是以计算为中⼼。

经⼏代⼈整理、修订⽽成的数学经典——《九章算术》，形成的我国古代数学体系的中⼼就是筹算计算。

在有史料可查的记载中，从春秋时期的“运筹”到筹算达到极盛的宋元，起码在长达⼆千年的时间⾥，我国与计算有关的数学成就，⼏乎都是应⽤算筹来进⾏计算的。

可以说，没有算
其⼆、⽀撑起发达的古代⾃然科学及社会经筹，也就不可能有我国古代辉煌的数学成就。

其⼆、⽀撑起发达的古代⾃然科学及社会经济。

中国古代依赖于计算的实⽤⾃然科学如天⽂学、地理学、农学（⽥亩、⽔利等）、⼟⽊⼯济。

程学等曾取得过⾄今令世⼈惊叹的杰出成就，这些均受益于算筹的运⽤。

在此基础上，才会出现我国古代那繁荣的社会经济、强⼤的国⼒及灿烂的⽂明。

其三、催⽣算盘的产⽣。

筹算在具有简便实⽤、形象具体、容易操作的优点的同时，也存在着纵横记数和置筹不便、占⽤地⽅⾯积⼤、运筹的数字较⼤和计算速度加快时摆放容易出现失误等缺点。

唐宋以来筹算已经简化，并且形成了⼀套运算⼝诀，这些⼝诀⽤字极少⽽意义完整。

到了元代，这种简化筹算乘除法的歌诀更加简练和完备。

⽐较重要的歌诀有“化零歌”、“归除歌诀”、“撞归诀”、“起⼀诀”等，如朱世杰《算学启蒙》记载有“化零歌”：“⼀退六⼆五，⼆留⼀⼆五，三留⼀⼋七五……”。

筹算的的简
化，使计算过程中，⽤⼿摆放算筹的速度已不能适应计算的速度，这就产⽣了计算时得⼼不能
应⼿的⽭盾。

于是，“青出于蓝⽽胜于蓝”的算盘应运⽽⽣，这是古代中国⼈民长期使⽤算筹进⾏
不断优化的结果。

到了明代，由于商品经济繁荣、使⽤数学和商业数学的发展，要求计算更简
洁、更迅速。

筹算的弊端暴露的也⽇益明显。

珠算因“随⼿拨珠便成答案”的优点，⽽备受青睐。

加之珠算吸收了筹算的运算技巧，很快筹算被珠算取代。

明代的后期，算筹最终被送进了历史
其四、沉淀成宝贵的数学遗产。

现在虽然进⼊信息时代，电⼦计算机以其超强的计的博物馆。

其四、沉淀成宝贵的数学遗产。

算能⼒将算筹和算盘远远地抛进历史尘埃⾥。

但是，算筹算盘附带着筹算与珠算那精深的数学
思想与⽅法却仍然具有重要的研究与应⽤价值，不会随时间的流逝⽽泯灭。

当下不是流⾏对古
代经典的重读吗？央视《百家讲坛》⼀类节⽬已对《论语》、《三字经》、《道德经》、《诫
⼦书》、《易经》、《⼭海经》等古学进⾏解读，并掀起过⼀波波的争论。

什么时候也有⼈来
解读解读《周髀算经》、《九章算术》？到时候我⼀定做⼀名最忠实的听众！我想其意义绝不
⽐前者差。

这不仅仅是对古代数学经典的了解及对我国灿烂⽂化的感受问题，更重要的是正视
我们祖先⼏千年积累的传统数学成就、领悟数学经典中包含的深刻⽽独特的数学思想与⽅法。

我相信从中我们不仅仅能收获古⼈的知识，更能传承古⼈的智慧，获得创造的灵感与启⽰。

我
也相信其中隐藏着通向数学创新的密码，关键是我们要具有识别他的意识与智慧。

写到这⾥我
越发觉出⾃⾝的局限，⾯对如此美妙的数学遗产我却是个⼗⾜的盲⼈！深呼吸——夜，已很
深……。