陕西省咸阳市2020-2021学年高二上学期期末考试数学(文)试题

陕西省咸阳市2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设01,a b c R <<<∈，则下列不等式成立的是（ ）
A ．22a b >
B ．11a b <
C ．1b a >
D ．b c a c ->- 2．下列求导数运算正确的是（ ）
A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
B ．()21log ln 2
x x '= C ．()333log x x x '= D ．()2cos 2sin x x x x '
= 3．命题“若a ＞2，则a ＞1”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．在等比数列{}n a 中，若12a =，416a =，则数列{}n a 的前5项和5S 等于 A ．30
B ．31
C ．62
D ．64
5．如果a R ∈，且20a a +<，那么2,,a a a -的大小关系为（ ）
A ．2a a a >>-
B ．2a a a ->>
C ．2a a a ->>
D ．2a a a >-> 6．“1a <”是“ln 0a <”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不是充分条件也不是必要条件 7．若不等式组0422x a x x +≥⎧⎨
->-⎩有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≥- B ．2a <-
C ．2a ≤-
D ．2a >- 8．已知3x >，则函数()43f x x x =+
-的最小值为（ ） A ．1 B ．4 C ．7 D ．5
9．方程2210x ax -+=的两根分别在()0,1与()1,2内，则实数a 的取值范围为（ ） A ．514a << B ．1a <-或1a > C ．11a -<< D ．514
a -<<-
10．《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”.意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等”，则其中分得的钱数最多的是（ ）
A ．56钱
B ．1钱
C ．76钱
D ．43
钱 11． 函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图像如图所示，则函数y ()f x =的图
像可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
12．设函数()y f x =的0x x =处可导，且()()0003lim
1x f x x f x x
∆→+∆-=∆，则()0f x '等于__________． 13．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>，点()4,2在它的一条渐近线上，则其离心率等于__________．
14．命题“0x R ∃∈，使()2
00110x a x +++<”是假命题，则实数a 的取值范围为___________.
15．设,x y 满足的约束条件是222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最大值是__________．
三、解答题
16．已知动圆在运动过程中，其圆心M 到点（0，1）与到直线y =-1的距离始终保持相等．
（1）求圆心M 的轨迹方程；
（2）若直线(:2l y kx k =->
与点M 的轨迹交于A 、B 两点，且8AB =，求k 的值．
17．已知{}n a 是等比数列，12a =，且1a ，31a +，4a 成等差数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2log n n b a =，求数列{}n b 前n 项的和.
18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1cos 2
b c a C -
= （1）求角A .
（2）若4()3b c bc +=，a =ABC ∆的面积. 19．已知椭圆()22
2:103
x y M a a +=>的一个焦点为()1,0F -，左、右顶点分别为A B 、，经过点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于()()1122,,,C x y D x y 两点．
（1）求椭圆M 的方程；
（2）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S -关于k 的表达式． 20．已知()()32
ln ,2f x x x g x x ax x ==+-+． （1）若函数()g x 的单调递减区间为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
，求函数()y g x =的图像在点()1,1P -处的切线方程；
（2）若不等式()()22f x g x '≤+恒成立，求实数a 的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】
∵01a b <<<， ∴2211,,01,b a b a b c a c a b
<--，故选项A,B,C 不正确，D 正确．选D ． 2．B
【解析】 因为'
2111x x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 不正确；因为()'33ln x x x =，所以C 不正确；又因为()'
22cos 2sin x x xcosx x x =-，所以D 也不正确，应选答案B ． 3．B
【解析】
试题分析：根据四种命题真假之间的关系进行判断即可．
解：若a ＞2，则a ＞1，成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题，
逆命题为：若a ＞1，则a ＞2，为假命题．，当a=1.5时，满足a ＞1，但a ＞2不成立， 则否命题为假命题，
故真命题的个数为2个，
故选B ．
考点：四种命题的真假关系．
4．C
【分析】
先求出等比数列的公比q=2,再求数列{}n a 的前5项和5S .
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得3418a q a ==，即2q ，所以
552(12)6212
S ⨯-==-，故选C ． 【点睛】
(1)本题主要考查等比数列的基本量的计算和等比数列的前n 项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列的前n 项和公式：
111111(1)1111n n n n na q na q S S a a q a q q q q q ==⎧⎧⎪⎪==--⎨⎨≠≠⎪⎪--⎩⎩
或. 5．B
【解析】
∵20a a +<，
∴2a a <-，且10a -<<．
又2a a >，
∴2a a a ->>．选B ．
6．B
【解析】
由ln 0a <可得01a <<，所以当01a <<成立时可得到1a <成立，反之不成立，所以1a <是ln 0a <的必要不充分条件，选B.
7．D
【解析】
原不等式组即为2x a x ≥-⎧⎨<⎩
，若使得不等式组有解，结合数轴可得2a -<，解得2a >-．选D ．
8．C
【解析】
∵3x >，
∴30x ->．
∴(
)44(3)33733f x x x x x =+=-++≥=--，当且仅当433
x x -=-，即5x =时等号成立．选C ． 点睛：利用基本不等式求最值的类型及方法
(1)若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．
(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．
(3)多次使用基本不等式求最值，此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号，若等号不成立，一般利用函数单调性求解．
9．A
【解析】
设2
()21f x x ax =-+，
∵方程2210x ax -+=的两根分别在()0,1与()1,2内， ∴(0)10(1)220(2)540f f a f a =>⎧⎪=-<⎨⎪=->⎩，解得514a <<．选A ． 10．D
【解析】
设5人所得钱数分别为12345,,,,a a a a a ，则12345,,,,a a a a a 成等差数列，令其公差为d ，
由题意得12345123455a a a a a a a a a a +=++⎧⎨++++=⎩，即118021a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得14316a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
． 所以数列12345,,,,a a a a a 为递减数列，143a =
最大． 即分得的钱数最多的是
43钱．选D ． 11．D
【解析】
原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．
12．13
【解析】
()y f x =的0x x =处可导
()()
()()()0000000333lim 313x x f x x f x f x x f x lim f x x
x ∆→∆→+∆-+∆-∴=='=∆∆ 则()013f x '=
13
【解析】 渐近线方程为a y x b =，()42，满足方程：24a b =⨯，12
a b =
又c e a ====14．[3,1]-
【分析】
根据特称命题为假命题，则对应的全称命题为真命题，利用不等式恒成立即可求解a 的取值范围．
【详解】
∵命题“∃x 0∈R ，()2
00110x a x +++<”是假命题， ∴命题“∀x ∈R ，x 2+（a+1）x +1≥0”是真命题，
即对应的判别式△=（a+1）2﹣4≤0，
即（a+1）2≤4，
∴﹣2≤a+1≤2，
即﹣3≤a ≤1，
故答案为[]
3,1-．
【点睛】
本题主要考查含有量词的命题的应用，以及不等式恒成立问题，属于基础题．
15．6
【解析】
画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．
由2z x y =+，得22x z y =-+．平移直线22
x z y =-+，结合图形可得，当直线（图中的虚线）经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值． 由题意可得点A 的坐标为（2,2）．
∴max 2226z =+⨯=，即目标函数2z x y =+的最大值为6．
答案：6
点睛：利用线性规划求目标函数最值的步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l ；
(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数l 和可行域边界的斜率的大小比较；
(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
16．(1) 圆心M 的轨迹方程为24x y =;(2) k =
【解析】
试题分析：
（1）根据题意及抛物线的定义可得圆心M 的轨迹方程为24x y =．（2）将直线方程与抛物
线方程联立消元后得到一二次方程，根据二次方程根据系数的关系和弦长公式可得k = 试题解析：
（1）∵圆心M 到点()0,1与到直线1y =-的距离相等，
∴圆心M 的轨迹是以点()0,1为焦点，以1y =-为准线的抛物线，
设其方程为22(0)x py p =>，
则12
p =，解得2p =． ∴圆心M 的轨迹方程为24x y =．
（2）由224y kx x y
=-⎧⎨=⎩消去y 整理得2480x kx -+=， ∵直线与抛物线交于两点，
∴216320k ∆=->，解得22k >． 设()()1122,,A x y B x y 、， 则12124,8x x k x x +==， 由题意得
8AB ===， 解得23k =，
又k >
∴k =
17．（Ⅰ）1222()n n n a n N -*=⨯=∈.
（Ⅱ）n S (1)()2
n n n N *+=
∈. 【解析】
【详解】 试题分析：（Ⅰ）设数列{}n a 公比为q ，根据题设条件，求得2q ，即可可得数列的通项
公式； （Ⅱ）由（1）得22log log 2n n n b a n ===，利用等差数列的求和公式，即可求解数列{}
n b 的前n 项和.
试题解析：
（Ⅰ）设数列{}n a 公比为q ，则2231·
2a a q q ==，3341·2a a q q ==，因为134,1,a a a +成等差数列，所以，()14321a a a +=+即()3222221q q +=+，
整理得()220q q -=，
因为0q ≠，所以2q
， 所以，()1*222n n n a n -=⨯=∈N
（Ⅱ）因为22l 2log og n n n b a n ===，
所以12n n S b b b =+++
12n =+++ ()
()*
12n n n N +=∈
18．(1) 060A =;(2) ABC ∆的面积S =【解析】
（1）由正弦定理得：1sin sin sin cos 2
B C A C -
= 又∵()sin sin B A C =+ ∴()1sin sin sin cos 2
A C C A C +-= 即1cos sin sin 2
A C C = 又∵sin 0C ≠ ∴1cos 2A =，又A 是内角 ∴60A = （2）由余弦定理得：()2
222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-
∴()()2412b c b c +-+= 得：6b c += ∴8bc =
∴11sin 822S bc A ==⨯= 19．（1）22
143x y +=；（2）122
1234k S S k -=+． 【解析】
试题分析：⑴由焦点F 坐标可求出c 的值，根据a ，b ，c 的平方关系可求得a 的值，由此得到椭圆M 的方程；
⑵依题意，知0k ≠，设直线方程为()1y k x =+，与椭圆方程联立消掉y 可得x 的方程，根据韦达定理可用k 表示12x x +，12x x ，12S S -可转化为关于12x x ，的式子，进而变为关
于k 的表达式
解析：（1）∵()1,0F -为椭圆M 的焦点，∴1c =，
又b =2a =，
∴椭圆M 的方程为22
143
x y +=； （2）依题意，知0k ≠，设直线方程为()1y k x =+，
和椭圆方程联立消掉y ，得()22223484120k x k x k +++-=，
计算知0∆>，∴方程有两实根，且221212228412,3434k k x x x x k k
-+=-=++， 此时
()()()12121212212
121·4221122234k S S y y y y k x k x k x x k k -=-=+=+++=++=+．
20．（1）450x y -+=；（2）[)2,-+∞．
【解析】
试题分析：⑴求出()g x 的导函数，令导函数小于0得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入求出a 的值，得到函数()g x 的解析式，求出()g x 的导数在1x =-的值即曲线的切线斜率，利用点斜式求出切线的方程
⑵求出不等式，分离出参数A ，构造函数()h x ，利用导数求出()h x 的最大值，令a 大于等于最大值，求出a 的范围；
解析：（1）()2321g x x ax =+-'，由题意，知23210x ax +-<的解集是1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 即方程23210x ax +-=的两根分别是1,13-．
将1x =或13
-代入方程23210x ax +-=，得1a =-，
∴()322g x x x x =--+，()2321g x x x '=--，∴()14g '-=， ∴()g x 的图像在点()1,1P -处的切线斜率()14k g ='-=，
∴函数()y g x =的图像在点()1,1P -处的切线方程为：()141y x -=+，即450x y -+=；
（2）∵()()22f x g x '≤+恒成立，
即22ln 321x x x ax ≤++对一切()0,x ∈+∞恒成立， 整理可得31ln 22a x x x
≥-
-对一切()0,x ∈+∞恒成立， 设()31ln 22h x x x x =--，则()2
13122h x x x =-+'， 令()0h x '=，得11,3x x ==-（舍）， 当01x <<时，()()0,h x h x '>单调递增；当1x >时，()()0,h x h x '<单调递减， ∴当1x =时，()h x 取得最大值()12h =-，∴2a ≥-．
故实数a 的取值范围是[)2,-+∞．
点睛：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程及函数恒成立的问题，考查了函数的单调性与导数的关系以及函数解析式的求解及常用方法。

解决不等式恒成立问题，常用的方法是分离出参数，构造新函数，求出新函数的最值，得到参数的范围。