2018-2019学年湘教版数学九年级1.5 二次函数的应用

1．5 二次函数的应用
第1课时 二次函数的应用(一)
【教学目标】
知识与技能
能利用二次函数解决实际问题和对变量的变化趋势进行预测．
过程与方法
经历运用二次函数解决实际问题的过程：问题情境—建模—解释．
情感态度价值观
让学生认识到数学是解决问题和进行交流的工具．
【教学重难点】
教学重点：会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题．
教学难点：建立二次函数模型，渗透数形结合的思想．
【导学过程】
【知识回顾】
复习二次函数的表达式、图象及性质．
【情景导入】
一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽4米时，拱顶离水面2米．若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化？
设问：
①这是什么样的函数？
②怎样建立直角坐标系比较简便？
③如何设函数的表达式？如何确定系数？
④自变量的取值范围是什么？
⑤当水面宽4.6米时，
⑥你是否体会到：从实际问题建立起函数模型，对于解决问题是有效的？
【新知探究】
探究一、
建立函数模型
这是什么样的函数呢？拱桥的纵截面是抛物线，应当是某个二次函数的图象．以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，由于顶点坐标是(0，0)，因此这个二次函数的表达式为y ＝ax 2
已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A (2，－2)在抛物线上．由此得出－2
＝4a ，解得a ＝－12
. 因此，这个函数表达式是y ＝－12
x 2，其中|x |是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：－2.45≤x≤2.45.现在你能求出水面宽4.6米时，拱顶离水面多少米吗？
探究二、
引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决．
步骤：
第一步设自变量；
第二步建立函数的表达式；
第三步确定自变量的取值范围；
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值(在自变量的取值范围内)．【随堂练习】
完成课本P31练习1.
1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？
会．
2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2.5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？
解：建立平面直角坐标系．球出手点，最高点，篮圈坐标分别为(0，5
2)，(4，4)，(7，
3)，设这条抛物线为y＝a(x－4)2＋4，把点(0，5
2)代入函数关系式中，求出y＝－
3
32(x－4)
2
＋4，看点(7，3)是否在抛物线上，当x＝7时，代入函数关系式计算y＝35
32，所以此球不能投中．
【课后作业】
完成该书本课时的对应练习．
第2课时二次函数的应用(二)
【教学目标】
知识与技能
1．会用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c 变形为y ＝a (x ＋d )2＋h 的形式．
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，使实际问题获得最优决策．
过程与方法
通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．
情感态度与价值观
能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．
教学重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思． 教学难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策．
【导学过程】
【知识回顾】
用配方法把下列二次函数化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式．
①y ＝－2x 2＋8x －12；②y ＝－2x 2＋100x ；③y ＝－12x 2＋x －52
. 【情景导入】
二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一
个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1 000元，设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．
【新知探究】
探究一、
用8 m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？
分析：从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际问题． 板书解题过程，详见教材P 30.
探究二、
某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件．当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？让一学生在黑板上板书其解答过程
解：设每件商品的销售单价上涨x 元，一个月内获取的商品总利润为y 元；每月减少的销售量为10x 件，实际销售量为(180－10x )件，单价利润为(30＋x －20)元，则：y ＝(10＋x )(180－10x )，即y ＝－10x 2＋80x ＋1 800(x ≤18)．
将上式进行配方，得：y ＝－10(x －4)2＋1 960
当x ＝4时，即销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润为1 960元．
【随堂练习】
完成课本P 31练习2.
1．龙泉休闲山庄现有116米长篱笆材料，山庄计划利用这些材料和已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，让游客能自己进菜地采摘新鲜蔬菜，菜地当然是越大越好，若你是庄主，你将如何使得这块菜地的面积达到最大？
设矩形菜地与墙相对的一边长为x 米，则另一组对边的长为116－x 2
米，从而矩形菜地的面积为S ＝x ·116－x 2＝－12
(x －58)2＋1682. 当x ＝58时，S 最大且为1682.
即矩形菜地与墙相对的一边长为58米时，这块菜地的面积达到最大．
2．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价( A )
A ．5元
B ．10元
C ．15元
D ．20元
【课堂小结】
本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？
如何将实际问题转化为二次函数问题，从而利用二次函数的性质解决最大利润问题、最大面积问题等．
【课后作业】
完成该书本课时的对应练习．。