大学附属中学高三数学上学期期中试题文

哈师大附中2021级高三上学期期中考试
文科数学试题
第一卷〔选择题共60分〕
一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出四个选项中, 只有一项为哪一项符合题目要求〕 虚部是〔 〕
A. i
B. i -
C. 1 1 2.集合{}20,,31,1x A x
x R B y y x x R x ⎧⎫
=≥∈==+∈⎨⎬-⎩⎭
，那么A B =〔 〕
A.()1+∞，
B.[)1+∞，
C.(]()-01+∞∞，，
D.[]0,1 3．函数()f x 是奇函数，且0x >时，，那么(1)f -=〔 〕 A.
2- B.0 C. 1 D. 2
4．在区间[]0,π上随机取一个数x ，使概率为 〔 〕
A. 1
3 B.23 C. 3
8 D. 58
5. 假设||2||||a b a b a =-=+，那么向量b a +与b 夹角为〔 〕 A.
3
π B. 3
2π C. 6
5π D.
6
π 6．等比数列 {}n a 中，12451,8a a a a +=+=-，那么( )
A. 8-
B.4-
C.2
D. 4 7．如果对于任意实数x ，[x]表示不超过x 最大整数．例如[]=3，[-]=-1．那么“[x]=[y]〞是“|x ﹣y|＜1〞〔 〕
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.
既不充分也不必要条件
8．假设实数,x y 满足时，z x y =+最小值为〔 〕
A ．4
B ．3
C ．2
D ．无法确定
9．把函数图象上各点横坐标缩小到原来12
〔纵坐标不变〕，再将图象向右平移3
π个单位，那么所得图象一条对称轴为〔 〕 A. B. C. D. 10．根据如下图程序框图，假设输入m=42，n=30，那么输出m 值为〔 〕
A ．0
B ．3
C ．6
D ．12
11. 假设，且，那么sin 2α值为〔 〕
A ．
7
9 B ．﹣79 C ．1
9
D ．﹣1
9
12. 函数()f x 导函数()2sin f x x '=+，且(0)1f =-，数列{}n a 是以4
π为公差等差
数列，假设234()()()3f a f a f a π++=，那么〔 〕 A ．2016
B ．2015
C ．2014
D ．2013
二、填空题 〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕
13. 为贯彻落实教育部等6部门?关于加快开展青少年校园足球实施意见?,全面提高我市中学生体质安康水平,普及足球知识与技能,市教体局决定举行秋季校园足球联赛,为迎接此次联赛,甲中学选拔了20名学生组成集训队,现统计了这20名学生身高, 得到茎叶图如下：
这20名学生身高中位数、众数分别为________.
14函数()cos()sin()2
3
f x x x ππ
=-++单调递增区间为________.
15.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化繁殖情况，得到如下实验数据：
天数t 〔天〕 3 4 5 6
7 繁殖个数y 〔千个〕
m 4
6
及y 关于t 线性回归方程ˆ0.850.25y
t =-，那么实验数据中m 值为________. 16. R y x ∈,，满足64222=++y xy x ，那么224y x z +=最小值是________.
第二卷〔非选择题共90分〕
三、解答题〔本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕
17.〔本小题总分值12分〕ABC 内角A B C ，，所对边分别为,,a b c ，向量
(,)a a c =
(12cos ,2cos 1)b A C =--且//a b .
〔Ⅰ〕假设5b =，求a c +值； 〔Ⅱ〕假设1
tan 2
2
B =，且A 为AB
C 最大内角，求A 大小.
18. 〔本小题总分值12分〕各项为正数数列{}n a 前{}n S ,满足 〔Ⅰ〕求证：{}n a 为等差数列，并求n a ； 〔Ⅱ〕设，求数列{}n b 前n 项与为n T .
19. 〔本小题总分值12分〕11月11日在某购物网站消费不超过10000元2000名网购者中有女士1100名，男士900名.该网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样方法从这2000名网购者中抽取200名进展分析得到下表〔消费金额：元〕
女士消费情况：
消费金额()
0,2000[)
2000,4000[)
4000,6000[)
6000,8000[]
8000,10000
人数10253535x 男士消费情况：
消费金额()
0,2000[)
2000,4000[)
4000,6000[)
6000,8000[]
8000,10000
人数153025y3〔Ⅰ〕计算,x y值，在抽出200名且消费金额在[]
8000,10000〔单位：元〕网购者中随机选出2名发放网购红包，求选出两名网购者都是男士概率；〔Ⅱ〕假设消费金额不低于6000元网购者为“网购达人〞，低于6000元网购者为“非网购达人〞，根据以上数据填写下面22⨯列连表，并答复能否在犯错误率不超过0.05前提下，认为“是否为网购达人与性别有关〞？
女士男士总计
网购达
人
非网购
达人 总计
附：
20()P K k ≥
0.01
0k
20. 〔本小题总分值12分〕函数，其中,,a b c R ∈. 〔Ⅰ〕假设1a b ==，求函数()f x 单调区间；
〔Ⅱ〕假设0a =，且当1x ≥时，()1f x ≥总成立，求实数b 取值范围 . 21. 〔本小题总分值12分〕函数()2sin f x x x =- 〔Ⅰ〕求函数()f x 在[]0,π最值；
〔Ⅱ〕假设存在，不等式()f x ax <成立，求实数a 取值范围.
选作题：考生在〔22〕〔23〕中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题计分.做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号涂黑. 22. 〔本小题总分值10分〕函数()2f x x a =--. 〔Ⅰ〕假设1a =，求不等式()230f x x +->解集；
〔Ⅱ〕假设关于x 不等式()3f x x <-恒成立，求实数a 取值范围 . 23. 〔本小题总分值10分〕〔Ⅰ〕221x y +=，求23x y +取值范围； 〔Ⅱ〕2222220a b c a b c ++---=，求证：232a b c --≤
哈师大附中2021级高三上学期期中考试
文科数学答案
一、DAABD DACAC DB
二、13. 177,178 14. 2(2,2)33
k k k Z ππ
ππ-+∈ 15. 3 16. 4 三、
17、〔1〕由(,)a a c =(12cos ,2cos 1)b A C =--且//a b
得(2cos 1)(12cos )a C c A -=-
由正弦定理得sin (2cos 1)sin (12cos )A C C A -=-
化简为2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C +=+，即2sin()sin sin A C A C +=+
ABC 中A B C π++=，所以2sin sin sin B A C =+
由正弦定理得2b a c =+， 由5b =，得10a c +=； 〔2〕1
tan 2
2
B =得4tan 3
B =
，ABC 中，
所以43sin(),cos()5
5
A C A C +=+=-
又2sin sin sin B A C =+，[]843sin sin ()sin cos sin 5
5
5
A A C A A A A =++-=++ 化简为22sin cos A A =+，所以，带入22sin cos 1A A += 得cos 0A =或
又A 为ABC 最大内角，所以cos cos A B <，所以cos 0A =，所以.
18、〔1〕又，得2844,n n n S a a =++
所以2n ≥时，11()(4)0n n n n a a a a --+--=
数列{}n a 各项为正数，所以140n n a a ---=， 又1n =时218448n n n S a a a =++=，所以12a =， 所以通项公式为42n a n =-.
〔2〕 1111111
()(42)(42)4(21)(21)82121
n n n b a a n n n n n n +=
===--+-+-+ 19、〔1〕〕5,17x y == 〔2〕
女士 男士 总计
网购达人
40 20
60
非网购达人 70 70 140
总计
110 90 200
可以在犯错误率不超过0.05前提下，认为“是否为网购达人与性别有关〞.
20、〔1〕222(1)
(),()1(1)x x e e x x f x f x x x x x -'==++++
()00f x x '>⇒<或1x >； ()001f x x '<⇒<<
函数()f x 在(,0),(1,)-∞+∞单调递增，在(0,1)单调递减. 〔2〕当1x ≥时，()1f x ≥总成立， 即当1x ≥时恒成立，
因为0x e >，所以10bx +>在1x ≥恒成立，所以0b ≥ 所以只需1x ≥时1x e bx ≥+恒成立，需在1x ≥时恒成立， 设那么，
1x ≥时，2
(1)1
()0x e x g x x -+'=
>， 所以在[)1,+∞单调递增，
1x ≥时，()(1)1g x g e ≥=-，所以1b e ≤-，
综上01b e ≤≤-
21、〔1〕()1cos 2,f x x '=-[]0,π时；
函数()f x 在单调递减，在单调递减增.
[]0,π时，min ()()333f x f ππ
==-
〔2〕存在，不等式()f x ax <成立
存在，2sin x x ax -<成立
设()()2sin ,(0)0()12cos g x f x ax x x ax g g x a x '=-=--==--则且. 时，12cos (1,1)x -∈-
所以()()12cos 1,1g x a x a a '=--∈--- 假设10,a --<即1a >-时，(0)10g a '=--<
因为()12cos g x a x '=--在单调递增，所以存在区间， 使()0,x t ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,t 单调递减，
()0,x t ∈时()0g x <即()f x ax <
所以1a >-
22、〔1〕假设1a =，()230+232f x x x a x +->-->即
解集为；
〔2〕恒成立()3f x x <-，即32x a x ---<恒成立， 所以只需32a -<，需15a <<
23、〔1〕由柯西公式222()(49)(23)x y x y ++≥+， 那么 2313,-132313x y x y +≤≤+≤所以
〔2〕由2222220a b c a b c ++---=，得
222
-11-1-3a b c ++=（）（）（）， 有柯西公式[]2222
-11-1-(411)2(1)(1)(1)a b c a b c ⎡⎤++++≥++-+-⎣⎦
（）（）（）
得求证：
2
--≤.
≥--，所以2a b c
18(2)
a b c。