赤壁市X中学七年级数学下册 第1章 二元一次方程组巧用方程、方程组，妙解拼图和密铺 湘教版

巧用方程、方程组，妙解拼图和密铺
拼图、密铺问题是中考的热点。

要解答这类问题，同学们不仅要有很强的图形观察能力，还要借助一种强有利的工具……方程或方程组。

这样问题就会获得完美的解答。

下面就试举几例，供学习时参考。

一 、用长方形、正方形密铺成正方形
例1、如图1，是用四个完全相同的小长方形和一个小的正方形镶嵌而成的正方形图案。

已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，如果用x 、y 表示小长方形的长和宽，（x ＞y ），请你仔细观察图案，指出下列关系式中不正确的一个是：（ ）。

A ） x+y=7
B ）x-y=2
C ）4xy+4=49
D ）x 2
+y 2
=25
分析：通过仔细观察图案，我们不难发现这个图案中，大正方形的边长
是小长方形的长与宽的和，也就是x+y ；小正方形的边长是小长方形的长与宽的差，也就是x-y ，由于大正方形的面积为49 ，小正方形的面积为4，所以，（x+y ）2
=49，（x-y ）
2
=4，即x+y=7（另一个舍去了，你知道是为什么吗）；
x-y=2，（另一个舍去了，你知道是为什么吗）；再回头审视一下题目的选择支，就知道选项A 、B 都是正确的；把x+y=7 、x-y=2，联立成方程组⎩⎨⎧=-=+2
7
y x y x ，解这个方程组，得
x=
29，y=25，所以xy=29×25=445，所以4xy=4
45×4=45，所以4xy+4=49，所以选项C 也是正确的，分析到这里，答案就已经凸现出来了，对，就是选项D 。

解：选D 。

二、用直角三角形、正方形拼成正方形
例2、如图2，是用四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成的正方形图案。

已知该图案的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形较短的直角边长为a ，较长的直角边长为b ，那么（a+b ）2
的值是（ ）。

A ） 13 B ）19 C ）25 D ）169
分析：通过仔细观察图案，我们不难发现这个图案中，大正方形的边长是直角三角形的斜边，也就是22b a +；小正方形的边长是直角
三角形较长的直角边长与较短的直角边长的差，也就是b-a ，由于大正方形的面积为13 ，
小正方形的面积为1，所以2
2b a +=13，（b-a ）2
=1，我们联想到两个数的差的完全平方公式（b-a ）2
=2
2b a +-2ab ，所以2ab=12，所以（a+b ）2
=2
2b a ++2ab=13+12=25， 所以，选项C 是正确的，分析到这里，答案就已经凸现出来了，对，就是选项C 。

解：选C 。

三、用长方形、正方形拼成长方形
例3、如图3，是用两个完全相同长方形和一个小的正方形和一个较大的正方形拼成的图案。

小正方形面积为2，较大的正方形面积为4，那么阴影部分的面积为 。

分析：我们不妨采用迁移法，把分散的阴影部分的面积拼成一个整体来处理， 如图4，我们不难发现，整体长方形的长是较大正方形的边长与小正方形的边长的差，整体长方形的宽是小正方形的边长，我们不妨设大正方形的边长为x ， 小正方形的边长为y ，
则2
x =4，2
y =2，所以，x=2，y=2，
所以，阴影整体长方形的长为：2-2，宽为2，所以，整个阴影部分的面积为：（2-
2）×2=22-2，所以，本题的答案是22-2。

解：本题应填22-2。

四、用长方形密铺成长方形
例4、如图4，是用8个完全相同的小长方形镶嵌而成的长方形图案。

已知该图案的宽为40cm ，其中一个小长方形的面积为 。

A ）200 cm 2
B ）300 cm 2
C ）600 cm 2
D ）2400 cm 2
分析：为了能更好的解决问题，我们不妨设小长方形的长为x ，宽为y ，现在，我们来一起仔细观察这个图形的特点：
①大长方形的长有两种表示法，从上边看，长方形的长可以表示为2x ，从下边看，长方形的长可以表示为x+3y ，所以，可以得到：2x= x+3y ，即x=3y ；②大长方形的宽可以表示为x+y ；已知该图案的宽为40cm ，所以，x+y=40，这样，我们来解有x=3y 和x+y=40组成的方程组， 就求出x 、y 的值，解得：x=30，y=10，也就求出了小长方形的长与宽，当然也
就求出小长方形的面积了。

即为30×10=300 cm2，因此，我们应该选B。

解：选B。

例5、如图5，是用7个完全相同的小长方形镶嵌而成的长方形图案。

已知该图案的周长为68，则长方形ABCD的面积为。

A）98 B）196 C）280 D）284
分析：为了能更好的解决问题，我们不妨设小长方形的长为
x，宽为y，现在，我们来一起仔细观察这个图形的特点：
①大长方形的长有两种表示法，从上边看，长方形的长可以表
示为5y，从下边看，长方形的长可以表示为2x，所以，可以得到：2x=5y；
②大长方形的宽可以表示为x+y；已知该图案的周长为68，所以，5y+x+y=34，即x+6y=34，
这样，我们来解有2x=5y和x+6y=34组成的方程组，就求出x、y的值，解得：x=10，y=4，也就求出了大长方形的长：2x=20；宽为x+y=14，当然也就求出大长方形的面积了。

即为20×14=280，因此，我们应该选C。

解：选C。

五、用等腰梯形密铺成平行四边形
例6、如图6，是用大小、形状完全相同的等腰梯形密铺成的平行四边形ABCD的图案，已知AB=24，则，等腰梯形的下底边长为（）
A） 15 B）16 C） 17 D）18
分析：为了问题解决的方便，我们不妨设等腰梯形的下底长为x，腰长为y，上底的长为m，
1）平行四边形ABCD的边AB是有等腰梯形的下底和腰组成的，即AB=x+y=24，
2）再仔细观察∠1，∠2，∠3这三个角，不难发现它们都是等腰梯形的底角，所以它们应该是相等的，即∠1=∠2=∠3，再细心观察，我们又发现∠1，∠2，∠3恰好构成一个平角，即∠1+∠2+∠3=180°，所以，∠1=∠2=∠3=60°，
3）这样问题还是不能解决，不要着急，我们再来分析三角形EFG，我们结合2）的结论，就很容易判断出它是一个等边三角形，所以，EF就等于等腰梯形的腰长，即EF=y，
4）问题越来越清楚了，仔细观察四边形AMGE，不难发现这是一个平行四边形，因此，AE 就等于等腰梯形的上底长m，即AE=m；我们还发现MG恰好是等腰梯形MBNG的腰，所以，AE=m=y，分析到这里，我们有了这样的一个结论，等腰梯形的下底长等于AE+EF，即为x=2y，我们再解由x+y=24，x=2y，组成的方程组，求得x=16，即等腰梯形的下底长为16。

解：选B。

例7、如图7，四边形ABCD 是等腰梯形，AB∥CD，用四个这样完全相同的等腰梯形可以密铺成如下图所示的平行四边形。

1）求四边形ABCD的四个内角的度数；
2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由。

分析：为了问题解决的方便，我们不妨设等腰梯形的下底长为x，腰长为y，上底的长为m，
1）平行四边形的一组同旁内角，恰好是有等腰梯形的三个底角来组成，根据两直线平行，同旁内角互补的原理，就求得原四边形的四个内角的度数；
2、我们再来分析三角形EOM，我们结合1）的结论，就很容易判断出它是一个等边三角形，所以，EM、OM就等于等腰梯形的腰长，即EM=OM=y，
3、问题越来越清楚了，仔细观察四边形OPNM，不难发现这是一个平行四边形，因此，OM=OP=PN=NM=y；
解：
2）设等腰梯形的下底角为m度，根据题意，得：3m=180，所以m=60，即等腰梯形的所有下底角都是60°，上底角都是120° ；
2）结合上面的分析，我们不难得如下结论：等腰梯形的上底等于下底的一半，并且上底的长等于等腰梯形的腰长。

11.1同底数幂的乘法
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.下列四个算式：①a 6
·a 6
=2a 6
；②m 3
+m 2
=m 5
；③x 2
·x·x 8
=x 10
；④y 2
+y 2
=y 4
．其中计算正确的有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个 2.m 16
可以写成（ ）
A.m 8
+m 8
B.m 8
·m 8
C.m 2
·m 8
D.m 4
·m 4
3.若x m
=3，x n
=5，则x m+n
的值为（ ）
A.8
B.15
C.53
D.35
4.如果a
2m-1
·a m+2=a 7
，则m 的值是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5 二、计算（每小题4分，共24分） (1)x 3·x 2·x (2)y 5·y 4·y 3
(3)10·102·105 （4)()()5433-⋅-
(5)()()2
5
a b b a -⋅- （6)()()9
3
55-⨯-
【巩固提升】
一、判断下列各式是否正确，不正确的加以改正：
(1)x2·x4=x8 ( ) (2)x2+x2=x4 ( ) (3)m5·m6=m30 ( ) (4)m5+m6=m11 ( ) (5)a·a2·a4=a6 ( ) (6)a5·b6=(ab)11 ( )
(7)3x+x3=4x3 ( ) (8)x3·x3·x3=3x3 ( )
二、计算：
3
10×2
103a•7a x•5x•7x
x3·x2·x y5·y4·y3 10·102·105
-22×（-2）2 a m·a n·a p 10m·1000
(x-y)(x-y)2(x-y)3； (a+b)3(a+b)2(-a-b) (m-n)3(n-m)；
三、拓展延伸：
1.如果x2m+1·x7-m =x12，求m的值.
2.若10m=16，10n=20，求10m+n的值.
3.已知a m＝3，a m＝8，求a m+n的值。

3 数据的表示
第1课时扇形统计图
1．会依据已知数据绘制扇形统计图，理解扇形统计图的含义和特点．
2．能从扇形统计图中获取正确的信息，并能作出合理的解释、推断．
重点
会依据已知数据绘制扇形统计图，理解扇形统计图的含义和特点．
难点
能从扇形统计图中获取正确的信息，并能作出合理的解释推断．
一、情境导入
教师：如果你是体育委员，准备组织全班同学去观看一场球类比赛，为了吸引尽可能多的同学参与，你会组织观看什么比赛？
学生思考后回答问题，教师点评．
教师：要想回答上面的问题，我们需要收集数据，利用统计图形象地表示收集到的数据，今天我们将学习用扇形统计图表示收集到的数据．
二、探究新知
教师：大家在小学已经学过扇形统计图，有印象吗？是怎样的一个图？
学生发表看法，教师点评．
课件出示一个扇形统计图(如下图)，提出问题：
(1)你能从图中得到哪些信息？
(2)哪种球类运动最受欢迎？哪两种球类运动受欢迎的程度差不多？
(3)图中的各个扇形分别代表了什么？你认为图中的各个百分比是如何得到的？所有的百分比之和是多少？
学生举手回答，教师点评，并进一步讲解：
用圆和扇形分别代表关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图(或称饼形图)，特点是能直观地、生动地反映各部分在总体中所占的比例．
教师：你能总结出扇形统计图的特点吗？
引导学生得出扇形统计图的特点：
(1)圆代表总体．
(2)扇形代表总体中的不同部分．
(3)扇形的大小反映部分占总体的百分比．
课件出示下表，提出问题：
某市2014年3月天气状况的统计表
(1)计算晴天、阴天、雨天的天数和它们各自占总天数的百分比(精确到0.1%)；
(2)绘制扇形统计图；
(3)你还可以用其他统计图来表示这个月的天气情况吗？各有什么优缺点？
学生独立完成后汇报答案，教师点评，并引导学生总结出制作扇形统计图的步骤：
①根据所给的各部分量和总量，求出各部分量占总量的百分比．
②用360°乘相应百分比，得出扇形统计图中各部分所对扇形的圆心角度数．
③画一个半径适当的圆，根据圆心角度数画出对应扇形(注意各部分扇形加起来必须是整个圆)；
④分别在各个扇形中标出对应部分的名称和百分比．
三、练习巩固
教材第167页“随堂练习”．
四、小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．什么是扇形统计图？它有什么特点？
五、课外作业
教材第167～168页习题6.3第1～3题．
学生在小学里重点学习过条形统计图和折线统计图，对条形统计图、折线统计图的特点有所了解．在本节课中，明确学习了扇形统计图的概念，知道是用圆和扇形分别代表关于总体和各个组成部分数据的统计图．通过实际问题，能说出扇形统计图的特点，探索扇形统计图中圆心角的求法，了解绘制扇形统计图的步骤；并从中获取正确的信息，作出合理的解释和决策．在统计过程中体会数据的客观真实性，感受数学与现实生活的密切联系，增强数学应用意识，养成以科学数据为依据分析问题、解决问题的良好习惯．。