高2020届理科数学一轮复习课件金太阳新考案第十三单元单元总结

单元总结十三
微专题一圆锥曲线的定义与标准方程
圆锥曲线的定义与标准方程是高考中的一个高频命题点,主要考查根据定义求圆锥曲线的标准方程,或利用定义求弦长,距离等.该命题点有如下一些热点问题.
1.圆锥曲线定义的理解
【例1】已知点A(－5,0),B(5,0),动点P满足||,||,8成等差数列,则点P的轨迹方程为.
【分析】双曲线的定义是动点到两个定点的距离差的绝对值是一个常数(小于两个定点的距离)的轨迹,所以在具体的题目中要分清情况.
【试题解析】由已知得||－||=8＜10=|AB|,所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,且a=4,b=3,c=5,
所以点P的轨迹方程为－=1(x≥4).
【参考答案】－=1(x≥4)
【拓展训练1】已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的焦点分别为F1,F2,b=4,离心率为.过F1的直线交椭圆于
A,B两点,则△ABF2的周长为().
A.10
B.12
C.16
D.20
【试题解析】由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a,
又e==,即c=a,
∴a2－c2=a2=b2=16,∴a=5,
∴△ABF2的周长为20.
【参考答案】D
2.求圆锥曲线的标准方程
【例2】已知点A(－2,0),B(0,1)在椭圆C:＋=1(a＞b＞0)上,求椭圆C的标准方程.
【分析】求圆锥曲线的标准方程,应弄清楚方程中每个参数的几何意义以及各个参数之间的关系.
【试题解析】因为点A(－2,0),B(0,1)在椭圆＋=1上,
所以a=2,b=1,
故椭圆C的方程为＋y2=1.
【拓展训练2】(1)(2017年天津卷)已知双曲线－=1(a＞0,b＞0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为().
A.－=1
B.－=1
C.－y2=1
D.x2－=1
(2)已知抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点F与椭圆C':＋=1的一个焦点重合,求抛物线C的方程.
【试题解析】(1)由△OAF是边长为2的等边三角形可知,c=2,=tan 60°=.又c2=a2＋b2,联立可得a=1,b=,
∴双曲线的方程为x2－=1.
(2)由题意知,在椭圆C':＋=1中,a2=6,b2=5,
∴c2=a2－b2=1,∴F(1,0),∴=1,则2p=4,
故抛物线C的方程为y2=4x.
【参考答案】(1)D
微专题二圆锥曲线的几何性质
椭圆的离心率,双曲线的离心率、渐近线,椭圆与双曲线中a,b,c以及抛物线中的p都有各自的几何意义,这也是近几年高考的重点.
【例3】已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若S△ABC=3S△BCF2,则椭圆的离心率为().
A.B.C.D.
【分析】求椭圆的离心率是近几年高考的重点,求出a,c,即可求出离心率.
【试题解析】设椭圆的左,右焦点分别为F1(－c,0),F2(c,0),将x=－c代入椭圆方程得y=±.设
A－,C(x,y),由S△ABC=3S△BCF2,可得A=2F2,即－=2(x－c,y),所以2c=2x－2c,－=2y,解得x=2c,y=－,代入椭圆方程可得＋=1.由e=,b2=a2－c2,得4e2＋－e2=1,解得e=或e=－(舍去),故选A.
【参考答案】A
－=1,若其过焦点的最短弦长为2,则该双曲线的离心率的取【拓展训练3】已知双曲线方程为
＋
值范围是().
A.B.＋
C.D.＋
【试题解析】由题意知,=2,a≥2,
∴b=,
∴e=＋=＋≤.
∵e＞1,
∴1＜e≤.
【参考答案】A
1.(2018年全国Ⅱ卷)双曲线－=1(a＞0,b＞0)的离心率为,则其渐近线方程为().
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±x
【试题解析】双曲线－=1的渐近线方程为bx±ay=0.
又∵离心率=＋=,
∴a2＋b2=3a2.∴b=a(a＞0,b＞0).
∴渐近线方程为ax±ay=0,即y=±x.
故选A.
【参考答案】A
2.(2018年全国Ⅰ卷)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则
·=().
A.5
B.6
C.7
D.8
【试题解析】由题意知,直线MN的方程为y=(x＋2),
联立直线与抛物线的方程,得＋
解得或
不妨设点M的坐标为(1,2),点N的坐标为(4,4),
又∵抛物线焦点为F(1,0),∴=(0,2),=(3,4).
∴·=0×3＋2×4=8.
故选D.
【参考答案】D
3.(2018年全国Ⅲ卷)设F1,F2是双曲线C:－=1(a＞0,b＞0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为().
A. B.2
C. D.
【试题解析】如图,过点F1向OP的反向延长线作垂线,垂足为P',连接P'F2,由题意可知,四边形PF1P'F2为平行四边形,且△PP'F2是直角三角形.
因为|F2P|=b,|F2O|=c,所以|OP|=a.
又|PF1|=a=|F2P'|,|PP'|=2a,所以|F2P|=a=b,
所以c=＋=a,所以e==.
故选C.
【参考答案】C
4.(2018年全国Ⅱ卷)已知F1,F2是椭圆C:＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A 且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为().
A. B.
C. D.
【试题解析】如图,作PB⊥x轴于点B.
由题意可设|F1F2|=|PF2|=2,则c=1,
由∠F1F2P=120°,
可得|PB|=,|BF2|=1,
故|AB|=a＋1＋1=a＋2,
=,解得a=4,
tan∠PAB==
＋
所以e==.
故选D.
【参考答案】D
5.(2017年全国Ⅲ卷)已知椭圆C:＋=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab=0相切,则C的离心率为().
A.B.
C.D.
【试题解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为a.
又直线bx－ay＋2ab=0与圆相切,
=a,解得a=b,
∴圆心到直线的距离d=
＋
∴=,
∴e==－=－= －=.
故选A.
【参考答案】A
6.(2017年全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .
【试题解析】如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.
由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.
∵点M为FN的中点,PM∥OF,
∴|MP|=|FO|=1.
又|BP|=|AO|=2,
∴|MB|=|MP|＋|BP|=3.
由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.
【参考答案】6
单元检测十三
一、选择题
1.(2018张掖调研)过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若A,B两点的横坐标之和为,则|AB|=().
A.B.C.5 D.
【试题解析】∵p=2,∴|AB|=2＋=.
【参考答案】D
2.(2018广东三市联考)若抛物线y2=2px(p＞0)上的点A(x0,)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍,则p等于().
A.B.1 C.D.2
【试题解析】由题意3x0=x0＋,即x0=,
将代入y2=2px(p＞0),得=2,
∵p＞0,∴p=2.
【参考答案】D
3.(2018抚州模拟)设e是椭圆＋=1的离心率,且e∈,则实数k的取值范围是().
A.(0,3)
B.
C.(0,3)∪＋
D.(0,2)
【试题解析】当k＞4时,c=－,由条件知＜－＜1,解得k＞;当0＜k＜4时,c=－,由条件知＜－＜1,解得0＜k＜3.综上可知,选C.
【参考答案】C
4.(2018河南省洛阳市联考)已知双曲线－=1(b＞0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于().
A.B.3 C.5 D.4
【试题解析】因为抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0),依题意,4＋b2=9,所以b2=5,
所以双曲线的方程为－=1,所以其渐近线方程为y=±x,
所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为,故选A.
【参考答案】A
5.(2018洛阳模拟)已知点M是抛物线C:y2=2px(p＞0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p 的值为().
A.1
B.2
C.3
D.4
【试题解析】由题意知,焦点为F,那么点M－在抛物线上,即16=2p－,所以p2－8p＋
16=0,解得p=4.
【参考答案】D
6.(2018江西省南昌市二模)已知双曲线C1:x2－=1的两焦点分别是F1,F2,双曲线C1在第一象限部分有一点P,满足＋=14,若圆C2为△PF1F2的内切圆,则圆C2的标准方程为().
A.(x－1)2＋(y－2)2=4
B.(x－1)2＋(y－3)2=9
C.(x－2)2＋(y－2)2=4
D.(x－1)2＋(y－3)2=4
【试题解析】设=m,=n,则m＋n=14,根据双曲线的定义得到m－n=2,∴m=8,n=6.根据双曲线的方程得到c=5,可以得到△PF1F2是P为顶点的直角三角形,圆C2是其内切圆,设其半径为r,根据切线长定理得8－r=10－(6－r),解得r=2,故圆心坐标为(1,2),所以圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2=4.
【参考答案】A
7.(2018石家庄模拟)已知双曲线C1:－=1(a＞0,b＞0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为().
A.x2=y
B.x2=y
C.x2=8y
D.x2=16y
【试题解析】因为双曲线C1:－=1(a＞0,b＞0)的离心率为2,所以e=2,即e2=1＋=4,所以=.
又x2=2py(p＞0)的焦点坐标为,－=1(a＞0,b＞0)的渐近线方程为y=±x,即y=±x,由题意=2,所以p=8.故抛物线C2的方程为x2=16y.
得
＋
【参考答案】D
8.(2018湖南省长郡中学一模)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,与C交于A,B两
点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为().
A.24
B.36
C.48
D.72
【试题解析】不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p＞0),则=2p=12,p=6,∴抛物线C的准线方程为x=－3,点P到直线AB的距离为6,∴S△ABP=36.
【参考答案】B
9.(2018武昌调研)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF1|＞|PF2|,线段PF1的垂直平分线过点F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则＋的最小值为().
A.6
B.3
C.
D.
【试题解析】设椭圆的长半轴长为a,双曲线的半实轴长为a',半焦距为c,依题意知
＋
∴2a=2a'＋4c,
－
∴＋=＋=＋＋=＋＋4≥2＋4=6,
当且仅当c=2a'时取等号,故选A.
【参考答案】A
10.(2018山西省大同市与阳泉市第二次检测)已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－2,0),过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2＋y2=b2相交的弦长为b,则椭圆的标准方程为().
A.＋=1
B.＋=1
C.＋=1
D.＋=1
【试题解析】由左焦点F1(－2,0)知,c=2,即a2－b2=4,所以过F1的直线方程为y=(x＋2),圆心到直线的距离d=1,由直线与圆x2＋y2=b2相交的弦长为b,可得2－=b,解得b=2,a=2,则椭圆的标准方程为＋=1,故选B.
【参考答案】B
二、填空题
11.(2018菏泽摸底)已知双曲线－=1(a＞0,b＞0)的一条渐近线与直线x＋3y＋1=0垂直,则双曲线的离心率等于.
【试题解析】由于双曲线的一条渐近线与直线x＋3y＋1=0垂直,则双曲线的渐近线方程为y=±3x,可得=3,则b2=9a2,即c2－a2=9a2,解得c2=10a2,故离心率为e==.
【参考答案】
12.(2018武汉调研)已知抛物线Γ:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点P在Γ上且|PK|=|PF|,则△PKF的面积为.
【试题解析】由已知得,F(2,0),K(－2,0),过P作PM垂直于准线于点M,则|PM|=|PF|.又|PK|=|PF|, ∴|PM|=|MK|=|PF|,∴PF⊥x轴.
∵|FK|=p=4,∴|PF|=|FK|=4,
故△PKF的面积S=×4×4=8.
【参考答案】8
13.(2018重庆调研)已知F1(－1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为.
【试题解析】依题意,设椭圆C:＋=1(a＞b＞0).
过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|=3,
∴点A必在椭圆上,
∴＋=1. ①
又由c=1,得1＋b2=a2. ②
由①②联立,得b2=3,a2=4.
故所求椭圆C的方程为＋=1.
【参考答案】＋=1
14.(2018西安八校联考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=(x－1)与C交于点A,B(点A在x轴上方)两点.若=,则m的值为.
【试题解析】由题意知F(1,0),由－
解得
－
或
由点A在x轴的上方知,A(3,2),B－,
则=(－2,－2),=－－,
因为=,所以m=3.
【参考答案】3
三、解答题
15.(2018湘中名校联考)已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,△ABC的顶点都在抛物线上,且满足
＋＋=0,则＋＋的值为多少?
【试题解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F,由＋＋=0,得y1＋y2＋y3=0.因为
k A B=－
－=
＋
,所以k A C=
＋
,k B C=
＋
,所以＋＋=＋＋＋＋＋=0.。