专题07 三角化简的技巧与方法-名师揭秘2020年高考数学(文)一轮总复习之三角函数、三角形、平面向量

专题07 三角化简的技巧与方法
一、本专题要特别小心：
1.角的范围问题
2. 角的一致性问题
3. 三角化简形式、名称、角的一致原则
4.角成倍角的余弦之积问题
5.“1”的妙用
6.辅助角的替换作用
7. 角的范围对函数性质的影响
8. 用已知角表示未知角问题
二．方法总结：
1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.
2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作.
3.证明三角函数式恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通过变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等.
三【题型方法】
（一）用已知角表示未知角
1．（2018年全国卷II文）已知，则__________．
【答案】.
【解析】：，
解方程得.
练习1．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
【解析】（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
点睛：三角函数求值的两种类型：
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
练习2．已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代。