各向异性阻抗面电磁散射快速数值算法研究

各向异性阻抗面电磁散射快速数值算法研究
余定峰;何思远;张凡;朱国强;殷红成;邓方顺
【摘要】A MoM-UV fast numerical algorithm based on multilevel UV matrix de- composition is presented to analyze the electromagnetic scattering from three-di- mensional anisotropic impedance surface. The surface equivalence principle is a- dopted with electromagnetic current expanded by three-dimensional Rao-Wilton- Glisson（RWG） vector basis functions. The electromagnetic simulation of aniso- tropic impedance surface is performed using impedance boundary condition （IBC）, with the electromagnetic parameters characterized by surface impedance dyadic. As the current is solved by BICGSTAB iterative method, so compressions to the low~ rank sub matrices are performed using multilevel UV technology to reduce the oper- ation of matrix-vector product and memory requirement. Several typical examples are presented with numerical results compared to the Mie series or pure MoM solu- tion to verify the accuracy and efficiency of the proposed algorithm.%基于多层uV矩阵分解技术，提出用矩量法（MoM）求解三维各向异性阻抗面电磁散射的MoM—UV快速数值算法。

根据等效原理，将表面电磁流以RWG（rao—
wilton-glisson）矢量基函数展开。

引入阻抗边界条件（IBC），以表面阻抗并矢
表征电磁参数，实现各向异性阻抗面的电磁仿真。

通过多层UV进行低秩矩阵压缩，减少矩阵一向量积运算和内存需求，利用稳定的双共轭梯度（BICGSTAB）迭代方法求解。

给出典型算例，并与Mie级数解等精确结果比较，验证该算法的精度和
效率。

【期刊名称】《电波科学学报》
【年(卷),期】2012(027)004
【总页数】6页(P791-796)
【关键词】电磁散射;各向异性;阻抗边界条件;UV分解;RWG
【作者】余定峰;何思远;张凡;朱国强;殷红成;邓方顺
【作者单位】武汉大学电子信息学院,湖北武汉430072;武汉大学电子信息学院,湖北武汉430072;武汉大学电子信息学院,湖北武汉430072;武汉大学电子信息学院,湖北武汉430072;中国航天科工集团公司二院207所,北京100854;中船重工集团722研究所,湖北武汉430079
【正文语种】中文
【中图分类】TM15
引言
采用吸波材料实现目标雷达散射截面(RCS)的缩减在军事领域具有重要的意义，在雷达电子对抗中有着广阔的应用前景。

三维各向异性材料涂覆目标的电磁散射有两种建模方法，一种仍然以介质涂覆目标为建模对象，应用非常广泛，但在处理高频绕射等问题时碰到困难。

耿友林等[1]采用解析法研究了各向异性铁氧体介质涂覆导体球的电磁散射，陈博韬等人[2]采用物理光学法与有限元法混合方法研究了各向异性材料部分涂覆导体的散射特性，毛仕春等人[3]研究了二维各向异性椭圆柱的电磁散射，但都采用张量磁导率或介电常数模拟各向异性材料。

另一种则将材料涂覆目标等效为阻抗表面来建模，用阻
抗边界条件分析其电磁散射特性，灵活性更强。

Senior等[4]在阻抗面电磁散射方面做了大量前瞻性工作，是我们研究工作的基石。

Pelosi等[5]提出一种物理光学方法，用于分析各向异性阻抗平面目标的散射，但高频方法适用于电大尺寸问题，且未作非平面结构目标表面各向异性方面的研究。

文献[6]提出了各向异性阻抗面电磁散射问题的矩量法(MoM)解决方案，但随着目标电尺寸的增大，极大的计算量和内存需求往往超出计算机的承受能力。

多层UV方法[7-9]直接针对MoM的相互作用矩阵进行快速多层分解，其基于电磁相互作用的排序抽样算法有效解决了因积分核震荡导致UV分解失效的问题，且采用了相互作用矩阵快速填充技术，使内存和时间复杂度均达到O(NlogN).本文基于多层UV矩阵分解技术，应用MoM结合阻抗边界条件(IBC)研究了各向异性阻抗面的电磁散射。

根据表面等效原理，采用感应电磁流以RWG矢量基函数展开的伽略金矩量法[10]，得到矩阵方程以后，对相互作用矩阵进行多层分层，得到大量的低秩矩阵块，采用UV分解技术进行处理，再利用稳定的双共轭梯度(BICGSTAB)迭代求解电流，即可解决该各向异性阻抗面电磁散射问题。

1 各向异性MoM原理
如图1所示，在目标表面的小面元上建立局部参考坐标系(x,y,z)，其中：x,y为目标表面的两个切向单位矢量；z为外法线方向单位矢量。

目标表面的各向异性光轴方向矢量设为u和v，其中u轴与x轴夹角为光轴偏角ξ.
图1 平面波照射各向异性目标表面
任意形状的三维目标表面阻抗的表达式为写成矩阵形式为[11]
(1)
式中：η11=Zucos 2ξ+Zvsin 2ξ；η22=Zusin 2ξ+
Zvcos 2ξ；η12=η21=(Zu-Zv)sin ξcos ξ；Z0为自由空间波阻抗。

Leontovich阻抗边界条件可表示为
(2)
根据等效原理，薄层介质涂覆导电目标可等效为分布于目标表面的电流源J和磁流源M散射电磁场的问题。

该等效源满足
J=n×H，M=E×n
(3)
依据散射叠加定理得
E=Ei+Es
(4)
联立式(2) ～(4)得
(5)
(6)
表面电场积分公式为(略去时谐因子ejωt)
Es=-jkZ0A-φe-×F
(7)
式中：为磁矢位；和r′)ds′分别为电标位和电矢位，为三维格林函数，r′和r分别代表源点和场点位置。

采用RWG矢量基函数将电流展开为
(8)
式中N为MoM基函数数目。

则磁流可表示为
(9)
采用伽略金匹配，选用与基函数相同形式的试函数fm作用于式(6)，并将式(7)代入其中得
φe+×F,fm〉=〈Ei,fm〉
(10)
式中：表示对两个矢量函数的内积的积分。

将式(8)、(9)代入式(10)得
(11)
式中：为电流；为电压矩阵，元素Vm=〈Ei,fm〉，Ei为入射电场，根据激励源可取不同的形式，平面波则为为自作用矩阵，元素Zmn=〈jkZ0A(fn)+和φe(fn)分别表示表面电流fn产生的磁矢位和电标位，表示表面磁流产生的电矢位。

需要注意的是，当源点与场点重合时，格林函数及其梯度的积分和Gds被积函数出现奇异性，文献[12]、[13]对奇异积分的处理作了详细的推导为一阶奇异，奇异点残留项为零，只需求解主值积分项为奇异点附近非常小的区域)。

将格林函数拆成两项，即
(12)
将式(12)第一项按泰勒级数展开为
(13)
此项无奇异点，可按常规高斯方法得到数值积分结果。

第二项的积分可解析计算得
(14)
式中：为场点到源三角形各边两端点的距离，为场点到源三角形各边的距离，以及的含义见文献[12]。

文献[13]指出当时，f2i的计算式奇异。

而此时也为零，则表达式中f2i与相乘仍可算，值为零。

而Gds的被积函数为高阶奇异，奇异点残留项不为零。

文献[13]指出，对于常见光滑曲面有奇异点残留项只需计算主值积分Gds.格林函数梯度可表示为
(15)
式中，第一项无奇异点。

第二项的积分可解析计算得
(16)
式中，mi，f3i的表达式见文献[12]。

若忽略次要贡献简化后即与文献[13]中的表达式一致。

2 采用多层UV加速MoM
随着目标电尺寸的增大，直接迭代求解MoM矩阵方程带来的N2～3量级的计算量和N2量级的内存需求往往超出计算机的承受能力。

为提高各向异性MoM算法的效率，更好地应用于工程实际问题，采用多层UV方法将满秩相互作用矩阵根据电磁相互作用强弱分组，并进行低秩矩阵压缩，加速矩阵元素填充，从而降低内存和计算时间需求。

为了有效甄别出低秩矩阵块，采用类似于快速多级子分层思想，对相互作用矩阵进行分层，以寻求最大化的远区矩阵块。

首先用一个几何尺寸略大于目标的立方体(设其边长为l)完全包围目标，作为多层划分的第0层。

然后将第0层的立方体等分成8份，得到第1层的8个子立方体。

依次递归，直到第L层的子立方体的边
长约为0.5 λ，将分层后面片索引存入八叉树数据结构。

自下而上遍历该八叉树，遍历方法为：直接计算第L层非空结点中基函数的相互作用，得到自作用子块矩阵组及其数目Nself；考察第L层非空结点间的两两相互关系，若结点对应的子立方体相邻(共点、共边或共线)，则计算两结点中基函数的相互作用，得到邻相互作用子块矩阵及其数目Nnear，由于邻相互作用子块矩阵具有一定的低秩性，采用奇异值分解方法处理；考虑第L到第2层各层中非空结点间的两两相互关系，若两结点对应的子立方体在当前层不相邻，而对应的父层结点相邻，则该两结点间为远相互作用，统计远作用组的数目Nfar，远相互作用子块矩阵低秩性十分明显，采用UV分解方法处理。

通过分层，将满秩相互作用矩阵根据电磁相互作用强弱分解成自作用组(强相互作用组)、邻作用组和远作用组(弱相互作用组)三类稀疏子块
(17)
直接计算自作用组矩阵元素，而对邻作用组和远作用组进行低秩矩阵压缩，从而减小内存需求和加快矩阵-向量积运算。

矢量UV分解的具体过程为[9]：粗-粗取样探寻相互作用矩阵的秩，从而确定取样数s；计算矩阵的行和列对应的二阶范数向量和分别对其作降序排列得到和并记录相应的排序向量和则排序后的矩阵元素为相当于对矩阵完成置换运算其中和为排序向量和对应的置换矩阵，维度分别为M×M 和N×N；用Chebyshev曲线拟合方法将行数据(i=1,2,…,M)拟合成一条曲线，等弧长取样抽取s行，记录相应的行索引用Chebyshev曲线拟合方法将列数据
(i=1,2,…,M)拟合成一条曲线，等弧长取样抽取s列，记录相应的列索引根据列索引从中抽取对应列，并计算其矩阵元素得到列矩阵用揭示秩的QR分解，得到待分解矩阵的秩r和低秩矩阵则根据行索引在中抽取对应的行，并计算其矩阵元素得到行矩阵根据行索引在中抽取s行得再由求解出至此，完成排序后相互作用矩阵的低
秩分解，即再通过置换还原完成UV分解，得到其中
需要注意的是，RWG矢量基函数的方向性导致三维矢量问题的相互作用矩阵元素不仅与场点和源点的距离有关，还与基函数的取向有关，呈现出强烈的震荡性。

文献[8]将相互作用矩阵元素表达式中仅与距离有关的部分分离出来，采用标量UV 方法处理并进行矩阵元素快速填充。

文献[9]提出一种新的矢量UV方法，通过电磁相互作用强度排序和等弧长粗取样，实现震荡核矩阵的UV分解。

这里融合矢量UV方法和矩阵元素快速填充技术，加速各向异性MoM算法。

将相互作用矩阵行和列的二阶范数值按电磁相互作用强弱分别作降序排列，使其重新表现出分段线性变化的特点。

为了兼顾排序后电磁相互作用变化的局部非线性和传统标量UV方法中均匀抽样的特性，可先把排序后的离散二阶范数值拟合成一条曲线，然后根据需要粗取样的点数在该拟合曲线上等弧长采样，保证在电磁相互作用强度变化剧烈区域抽取更多的取样点，在变化平滑区域取更少的点，便于对震荡核矩阵进行准确高效的UV分解。

当相互作用矩阵的秩满足r≪min (M,N)时，用计算矩阵和来代替矩阵仅需要计算少量采样点上的值便可构造出整个矩阵块，且大大减少BICGSTAB迭代求解电流时的矩阵-向量积，从而显著提高计算效率和降低内存需求。

文献[7]、[9]的研究表明，邻作用组和大量的远作用组矩阵块的数值秩都远小于其维数，通过对各向异性相互作用矩阵进行合理分层，并作矢量UV分解，再利用矩阵快速填充技术可大大提高本文提出的各向异性MoM-UV算法的效率。

3 数值算例及结果分析
当表面阻抗满足Zu=Zv时，该算法退化为各向同性情形；当时，该算法退化为完纯导电(PEC)情形。

给出各向异性阻抗平板的单站RCS和各向同性阻抗球面的双站RCS两个典型算例，分别与MoM结果和Mie级数结果比较，验证算法的精度，并考察不同UV分层数情形的计算效率，数值结果为主频2.8 GHz单CPU计算所得。

算例1 各向异性阻抗平板。

考察边长10 m无限薄正方形平板，各向异性阻抗参数为Zu=2，Zv=5，ξ=35°.平面波入射角θ0=0°～90°，φ0=25°，频率为f=300 MHz，电场θ极化。

UV分层数L=4，计算得到的单站RCS结果如图2所示，与文献[6]中提出的各向异性MoM算法的计算结果吻合良好，相应的计算效率见表1.
图2 各向异性阻抗平板的单站RCS表1 各向异性阻抗平板算例—计算时间和内存需求
方法未知量耗时/h内存/MBMoM1513064.83511MoM-UV151300.5213
算例2 各向同性阻抗球面。

考察入射角θ0=0°，φ0=0°，频率f=300 MHz，电场θ极化的平面波照射直径2a=12 m的球，散射角θ=0°～180°，φ=0°.阻抗参数为Zu=Zv=0.1-j 0.01.考察UV分层数分别为L=3～7的5种情况，计算得到的归一化双站RCS结果如图3所示，与Mie级数结果吻合良好，相应的计算效率见表2.
图3 各向同性阻抗球面的双站RCS表2 各向同性阻抗球面算例—计算时间和内存需求
UV分层数未知量耗时/h内存
/GB329990113.928.9642999018.356.7352999019.076.5562999019.956.9372 9990123.657.61
典型算例验证了该各向异性MoM-UV算法的精度，表明效率与传统MoM相比有大幅提升，能在较大程度上增大可求解问题的规模。

通过研究发现，与PEC情形相比，相同电尺寸的阻抗面需要划分更多的三角面元才能达到较高的精度，相应的内存及计算时间需求高于PEC情形，凸显出多层UV分解在该三维各向异性阻抗面电磁散射问题求解中的重要作用。

通过比较表2中不同UV分层数情形的计算时间和内存需求，说明合理的分层数对该算法计算效率和精度有较大影响。

前面
已给出分层时的大致原则为递归直到第L层的子立方体的边长约为0.5 λ，则分层数L可用包围目标的立方体边长l和雷达波长λ表示，即L≈[log2(2l/λ)]。

算例2
中分层数为4或5时可使计算效率和精度达到最佳。

4 结论
基于多层UV矩阵分解技术，提出了用矩量法求解三维各向异性阻抗面电磁散射特性的MoM-UV快速数值算法。

UV分解技术相对较新，它不依赖于格林函数的具体形式，只针对远区相互作用矩阵进行低秩压缩，从而加速问题求解。

通过若干典型算例，验证了该算法的正确性，从内存耗用和计算时间可以看出，该MoM-UV 算法可用于求解较大规模的电磁散射问题。

当退化为各向同性或PEC情形时，该
算法仍然精确有效，可进行导电面、各向同性以及各向异性阻抗面的快速电磁仿真，为目标的雷达隐身提供理论支持。

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