四川省成都市龙泉驿区第一中学校高二数学12月月考试题 理

成都龙泉中学高2015级高二12月月考试题
数学（理工类）
（时间：120分钟 总分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．数列{}n a 的前n 项和25n S n n =-(n N *∈)，若p －q ＝4，则p q a a -=(
)
A ．20
B ．16
C ．12
D ．8
2.已知a 、b 为实数，则“2a
>2b
”是“ln a >ln b ”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.不等式|x+3|﹣|x ﹣1|≤a 2
﹣3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞） C ．[1，2]
D ．（﹣∞，1]∪[2，+∞）
4.在ABC △中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若222a bc c b =-+，且3=b a
， 则角C
的值为（ ）
A.︒120
B.︒90
C.︒60
D.︒30 5.下列命题中，真命题的个数有（ ）
③“a b >”是“2
2
ac bc >”的充要条件； ④()33x x
f x -=-是奇函数.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6.若不等式⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤≤≥+-a
y x y x 300
5表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）
A.)5,3(
B.)7,5(
C.]8,5[
D.)8,5[
7. 今年“五一”期间，某公园举行免费游园活动，免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，
接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时公园内的人数是( )
A ．212
－57 B ．211
－47 C ．210
－38 D ．29
－30
8.正项等比数列{n a }中，存在两项m a ,n a , 14a =，且6542a a a =+，则
14
m n
+的最小值是（ ） A ．
32 B ．2 C ．73 D ．256
9．已知焦点在y 轴上的椭圆方程为，则m 的范围为（ ） A ．（4，7）
B ．（5.5，7）
C ．（7，+∞）
D ． （﹣∞，4）
10.若直线)(2R k kx y ∈+=与椭圆1
2
2
=+m y x 恒有交点，则实数m 的取值范围为（ ）
A. ),4(+∞
B. ),4[+∞
C.)4,(-∞
D.]4,(-∞
11.若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）和圆2
222b x y c ⎛⎫
+=+ ⎪⎝⎭
，（c 为椭圆的半焦距），有四个不同的交
点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12.直线l 与抛物线26y x =交于A ，B 两点，圆222
(6)x y r -+=与直线l 相切于点M ,且M 为线
段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) A ．(3,23) B ．(3,33) C ．(3,32) D ．(3,33)
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置. 13.方程
()230
x m x m ++-=有两个正实根，则m 的取值范围是________．
14.在ABC △中，三边c b a ,,成等比数列，且=
=
=ABC S B b △则,3
,2π
；
15．等腰Rt △ABC 中，斜边
，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一焦点在线段AB 上，且椭
圆经过A ，B 两点，则该椭圆的离心率是_______________．
16.抛物线y 2
=2px （p ＞0）上一点M （1，m ） （m ＞0）到其焦点的距离为5，双曲线2
21x y a
-=的左顶点为A ．若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
已知M 是关于x 的不等式
()()()241230
x a x a a +--+-<的解集，且M 中的一个元素是0，
求实数a 的取值范围，并用a 表示出M ．
18.（本题满分12分）在A B C △中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，满足
3
,53
cos =∙=A .
(1)求ABC △的面积； (2)若3=-c b ，求a 的值.
19.（本题满分12分）已知各项均为正数的数列
}
{n a ，其前n 项和为
n
S .点
)
,(n n S a 在函数
12)(-=x x f 图象上.数列}{n b 满足：12log +=n n a b .
(1)求数列
}
{n a 、
}
{n b 的通项公式；
(2)若n n n a b c =
，数列}{n c 的前n 项和n T ，求证：1
2
2n n n
T -+≥恒成立.
20．(本小题满分12分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为25－x 万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)?
21. （本小题满分12分）
如图，长为1
2的矩形ABCD ，以A 、B 为焦点的椭圆M ：222
21x y a b +=恰好过C 、
D 两点.
（1）求椭圆M 的标准方程
（2）若直线l ：3+=kx y 与椭圆M 相交于P 、Q 两点，求
POQ
S ∆的最大值
22.（本小题满分12分）
已知点A ，B 的坐标分别为（0，﹣3），（0，3）．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是﹣3． （1）求点M 的轨迹方程；
（2）斜率为k 的直线l 过点E （0，1），且与点M 的轨迹交于C ，D 两点，k AC ，k AD 分别为直线AC ，AD 的斜率，探索对任意的实数k ，k AC •k AD 是否为定值，若是，则求出该值，若不是，请说明理由．
成都龙泉中学高2015级高二12月月考试题
数学（理工类）参考答案
1—5 BBABC 6—10 DBABB 11—12 AD
13.
(],9-∞- 14、
3 15、
16、
17.解：原不等式可化为(x －a －1)(x ＋2a －3)<0， 1分
由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0， 3分 所以a <－1或a >3
2
.
4分 若a <－1，则3－2a >a ＋1，此时不等式的解集是(a ＋1,3－2a )； 6分 若a >3
2，由－2a ＋3－(a ＋1)＝－3a+2<0，所以3－2a <a ＋1，
此时不等式的解集是(3－2a,a ＋1).
9分
综上，当a <－1时，M 为(a ＋1,3－2a )，当a >3
2时，M 为(3－2a,a ＋1) . 10分
18、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵3=∙，∴3cos =A bc .………………………………（2分）
∵
53cos =
A ∴5=bc ，54
sin =
A ………………………………（4分） ∴
2sin 21
==
∆A bc S ABC ………………………………（6分）
（Ⅱ）∵
13)cos 1(2)(cos 22222=-+-=-+=A bc c b A bc c b a …………（10分） ∴13=a .…………………………………………………………（12分） 19、（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明： 点
)
,(n n S a 在函数12)(-=x x f 上，所以1
2-=n a S n …（1分）
当1=n 时，11=a ；……………………………………（2分） 当2≥n 时，1
122---=-=n n n n n a a S S a ，即
1
2-=n n a ；………………（3分）
又
1
2log +=n n a b ，所以
n
b n =………………………（4分）
(Ⅱ)解：
12
-==
n n n n n
a b c
……………………………………（5分）
12102232221-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=
∴n n n T ①……………………（6分）
n
n n n
n T 221222121121+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=∴- ②…………………（7分）
①-②得：n
n n n n T 221212112
112--+⋅⋅⋅+++=-…………………………（8分） 解得
122
4-+-
=n n n T ………………………… ……………………………（9分）
2
1
14()22n n n n T --∴+
=-…………………………………………………（10分）
令2
1()4()2n g n -=-，()g n 在(0,)+∞单调递增………………………（11分） ()(1)2g n g ∴≥= 原结论成立。

…………………………………………（12分）
20、解：(1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，
则y ＝25x －⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤6x ＋
x （x －1）
2
·2－50，
(0＜x ≤10，x ∈N)，即y ＝－x 2
＋20x －50，(0＜x ≤10，x ∈N)， 由－x 2
＋20x －50＞0，
解得10－52＜x ＜10＋52，而2＜10－52＜3， 故从第3年开始运输累计收入超过总支出． (2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出． 所以销售二手货车后，小王的年平均利润为
y －
＝1x 1y ＋(25－x )]＝1
x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝
⎛
⎭⎪⎫
x ＋25x ，
而19－⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋25x ≤19－2
x ·25
x
＝9，当且仅当x ＝5时取得等号．
即小王应当在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．
21.（1）设B (c,0)，由条件知，C （c,a b 2
). 1分
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧+===∴2222321c b a c a b ，解得a=2,b=1 3分
故M 的方程为 x 2
4
＋y 2
＝1.
4分
(2)将l ：3+=kx y 代入 x 2
4
＋y 2
＝1
(1＋4k 2
)x 2
＋24kx ＋32＝0.
5分
当Δ＝64(k 2
－2)>0，即k 2
>2时， 6分
从而|PQ |＝k 2
＋1|x 1－x 2|＝
14)
2(641222
+-∙
+k k k . 7分
又点O 到直线PQ 的距离d ＝
13
2
+k ， 8分
所以△POQ 的面积S △OPQ ＝1
2
d |PQ |＝142
1222+-k k .
9分
设22-k ＝t ，则t >0，S △OPQ ＝19
4212
941294122=∙≤+=+t t t t t t .
当且仅当t ＝23
时等号成立，且满足Δ>0，
所以，△POQ 的面积最大值为1 12分
22.解：（1
）
=1，（x ≠0）．（2）k AC •k AD 为定值﹣6．
设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．直线l 的方程为：y=kx+1．联立,（3+k 2
）x 2
+2kx ﹣8=0， ∴x 1+x 2=
﹣
， x 1x 2
=
．
∴（y 1+3）（y 2+3）=y 1y 2+3（y 1+y 2）+9 =（kx 1+1）（kx 2+1）+3（kx 1+kx 2+2）+9
=k 2x 1x 2+4k （x 1+x 2）
+16=
﹣
+16 =．∴k AC •k AD
=
•
==﹣6为定值．。